Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

41.§. Spin mozgása külső térben

41.§. Spin mozgása külső térben

A Dirac-egyenlet esetében a kváziklasszikus közelítésre való áttérést ugyanúgy végezzük el, mint a nemrelativisztikus elméletben. A (32,7a) másodrendű egyenletben ψ-t a

ψ=ue(i/h)S

alakban helyettesítjük be[125] (ahol S skalár, u lassan változó bispinor). Eközben feltételezzük, hogy a kváziklasszikusság feltétele teljesül: a részecske impulzusa a ℏ∕|p| hullámhossz-nagyságrendű távolságon csak lassan változhat.

A ℏ szerinti sorfejtésben nulladik közelítésben a szokásos klasszikus, relativisztikus Hamilton–Jacobi-egyenletet kapjuk az S hatásra. Ekkor az összes spint tartalmazó (és ℏ-sal arányos) tag kiesik a mozgásegyenletből. Más szavakkal, az elektron mágneses momentumának az elektron mozgására gyakorolt hatása mindig a kvantumos korrekciók nagyságrendjébe esik. Ez teljesen természetes a spin tisztán kvantumos természete miatt, melynek nagysága ℏ-sal arányos.

Ezzel a helyzettel kapcsolatban nyer értelmet az a kérdés, amely a külső térben meghatározott kváziklasszikus mozgást végző elektron spinjének viselkedésére vonatkozik. Ennek a feladatnak a megoldását a Dirac-egyenlet megoldása következő, ℏ szerinti közelítésének megadása jelenti. Ehelyett azonban egy szemléletesebb és a Dirac-egyenlethez közvetlenül nem kapcsolódó megoldást mutatunk be. Ennek előnye, hogy tetszőleges részecske mozgására alkalmazható, többek között az anomális giromágneses hányadossal rendelkezőkére is, melyeket a Dirac-egyenlet nem ír le.

Célunk a részecske spinje mozgásegyenletének felírása a részecske tetszőleges, előre megadott mozgása esetén. Kezdjük a nemrelativisztikus esettel.

A külső térben elhelyezett részecske Hamilton-operátora

4.101. egyenlet - (41,1)

H=HμσH,


ahol H′-ben a spint nem tartalmazóösszes tagot összefoglaltuk (l. III. 111. §), μ a részecske mágneses momentuma. Ez az alak független a részecske fajtájától. Elektronokraμ=eℏ∕2mc (az elektron töltése e=–|e| !), nukleonokra μ-be még egy anomális részt is befoglaltunk,[126]

4.102. egyenlet - (41,2)

μ=μe2mc.


A kvantummechanika általános szabályainak megfelelően a spinre vonatkozó operátor-mozgásegyenletet az

4.103. egyenlet - (41,3)

ṡ=i(HssH)=i2(HσσH)


alakban írhatjuk. Ebbe (41,1)-et behelyettesítve,

ṡi=–(iμ/2ℏ)Hk(σkσi–σiσk)=–(μ/ℏ)eiklHkσl,

4.104. egyenlet - (41,4)

ṡ=2μs×H.


Átlagoljuk ezt az operátorkifejezést egy adott pálya mentén haladó hullámcsomagra. Ez a művelet a spinnek az s̄ átlagértékkel, a H vektornak a H(t) függvénnyel (amely a mágneses tér változását írja le pontról pontra a részecske pályamenti mozgása során) való helyettesítését jelenti. Nemrelativisztikus közelítésben (azaz a Pauli-egyenlet keretei között) a részecske nyulgami rendszerében s=σ∕2 a spin operátora, melynek középértékét a  29. §-ban ζ∕2-vel jelöltük. Így a

4.105. egyenlet - (41,5)

dζdt=2μζ×H(t)


egyenletre jutunk. Ebben a formájában az egyenlet tisztán klasszikus jellegű. A mágneses momentum vektorának a mágneses tér iránya körüli, –2μH∕ℏ szögsebességgel történő precesszióját írja le, miközben a momentum nagysága változatlan marad.[127]

Ugyanebben a nemrelativisztikus esetben a részecske sebessége a

(dv/dt)=(e/mc)v×H

egyenlet szerint változik, azaz a v vektor H iránya körül –eH∕mc sebességgel forog. Ha μ′=0, akkor μ=(eℏ/2mc), és a szögsebesség egybeesik a ζ vektor forgásának –2μH∕ℏ szögsebességével; más szavakkal, a polarizáció vektora állandó szöget zár be a mozgás irányával (alább meglátjuk, hogy ez az eredmény relativisztikus esetben is érvényben marad).

Végezzük most el (41,5) relativisztikus általánosítását. A polarizáció kovariáns leírására a  29. §-ban bevezetett a négyesvektort használjuk, a spin mozgásegyenletének a spinnek a részecske τ sajátideje szerinti deriváltját, da∕dτ kell meghatároznia.[128]

A keresett egyenlet alakját már a relativisztikus invariancia követelménye meghatározza, ha figyelembe vesszük, hogy a jobb oldalnak lineárisan és homogén módon kell tartalmaznia az elektromágneses térerősség négyestenzorátFμν-t, az aμ vektort, és mellettük még tartalmazhatja az uμ=pμ∕m négyes sebességvektort. Ezekkel a feltételekkel az egyenlet alakja csak a következő lehet:

4.106. egyenlet - (41,6)

daμdτ=αFμνaν+βuμFνλuνaλ,


ahol α,βállandó együtthatók. Könnyű belátni, hogy az aμuμ feltétel és azFμν tenzor antiszimmetrikussága (azazFμνuμuν=0) nem teszi lehetővé a fenti követelményeknek megfelelő egyéb alak felírását.

A v→0 határátmenetben ennek az egyenletnek (41,5)-tel kell megegyeznie. Ez esetben aμ=(0,ζ),uμ=(1,0),τ=t behelyettesítésével

(dζ/dt)=αζ×H

adódik. Ezt (41,5)-tel összehasonlítva: α=2μ.

β meghatározásához vegyük figyelembe, hogy aiui=0. Ezt az egyenlőséget τ szerint deriválva és a töltés külső térbeli klasszikus mozgásegyenletét,

m(duμ/dτ)=eFμνuν

(l. II. 23. §) felhasználva, kapjuk az

uμ(daμ/dτ)=–aμ(duμ/dτ)=–aμ(e/m)Fμνuν=(e/m)Fμνuμaν

egyenlőséget. Ezért (41,6)-ot mindkét oldalról uμ-vel szorozva és az uμuμ=1 egyenlőséget figyelembe véve, majd az Fμνuμaν közös szorzótényezővel egyszerűsítve,

β=–2(μ–(e/2m))=–2μ′

adódik.

Ezzel a spin mozgásának relativisztikus egyenletére adódó végső alak:

4.107. egyenlet - (41,7)

daμdτ=2μFμνaν2μuμFνλuνaλ


V. Bargmann , L. Michel , V. Telegdi , 1959).[129]

Térjünk át az a négyesvektorról ζ-ra, amely a részecske polarizációját közvetlenül jellemzi annak „pillanatnyi” nyugalmi rendszerében; a és ζ között (29,7)(29,9) ad kapcsolatot. Azonnal megjegyezzük: (41,7)-ből automatikusan következik, hogy aμdaμ∕dτ=0, tehát aμaμ=const. Minthogy aμaμ=–ζ2, így ennek természetes jelentése: a részecske mozgása során a ζ polarizáció abszolút nagysága változatlan marad.

A polarizáció változását meghatározó egyenletet (41,7)-ből háromdimenziós jelölésekre áttérve kapjuk meg. Ennek térszerű komponenseit írjuk ki:

(da/dt)=(2μm/ε)a×H+(2μm/ε)(av)E–(2μ′ε/m)v(aE)+
+(2μ′ε/m)v(v(a×H))+(2μ′ε/m)v(av)(vE).

Ebbe behelyettesítjük (29,9)-et, figyelembe véve a differenciálásnál a p=εv,ε2=p2+m2 egyenlőségeket és a

4.108. egyenlet - (41,8)

dpdt=eE+eE+ev×H,d𝜀dt=e(vE)


mozgásegyenleteket. Elemi, bár elég hosszú számítás a következő egyenletre vezet:[130]

4.109. egyenlet - (41,9)

dζdt=2μm+2μ(𝜀m)𝜀ζ×H+2μ𝜀𝜀m(vH)v×ζ+2μm+2μ𝜀𝜀+mζ×(E×v).


A polarizáció térbeli irányának abszolút változása kevésbé érdekes, mint a mozgás irányához viszonyított változás. Ezért ζ-t a

4.110. egyenlet - (41,10)

ζ=nζ+ζ


alakban írjuk (ahol n=v∕v, és a ζ∥ vetületre írjuk fel a mozgásegyenletet. A számítást (41,8)(41,9) segítségével elvégezve, a következő eredményre jutunk:[131]

4.111. egyenlet - (41,11)

dζdt=2μζH×n+2vμm2𝜀2μ(ζE).


Példák sorát mutatjuk be a szakasz feladatai között a kapott egyenletek alkalmazására. Itt csak azt jegyezzük meg, hogy a tisztán mágneses térben lejátszódó mozgás során az anomális mágneses momentum nélküli részecske polarizációja állandó szöget zár be a sebességgel (ζ∥=const). Így ez az eredmény, melyet fentebb a nemrelativisztikus esetre vezettünk le, teljesen általános jellegű.

Határoljuk jobban körül a kapott egyenletek érvényességi tartományát. A szakasz elején említett feltétel, amely a részecske impulzusának elegendően lassú változását követeli, az E és H térerősségek nagyságára vonatkozó meghatározott feltétellé alakítható; például a Larmor-sugárnak mágneses térben (∼p∕eH) elég nagynak kell lennie a részecske hullámhosszához viszonyítva. Emellett, szigorúan véve, a térerősségek nem túl gyors térbeli változásának követelményét is teljesíteni kell: a térnek a kváziklasszikus hullámcsomag méretein belül lassan kell változnia. Így a térerősség lassan változik a részecske hullámhossza (1∕p), sőt a Compton-hullámhossz[132] nagyságrendjébe eső távolságokon.

Egyébként a makroszkopikus terekben való mozgás esetében a terek lassú változásának feltétele nyilvánvalóan teljesül, így csak elegendő kicsiny voltukat kell megkövetelnünk.

33. §-ban megadtuk a külső térben mozgó elektron Hamilton-operátorának első relativisztikus korrekcióit. Elektronra, amely elektromos térben mozog, a közelítő Hamilton-operátor a következő alakú (l. (33,12)]:

4.112. egyenlet - (41,12)

H=He4mσE×pm(p=i),


ahol H′-ben gyűjtöttük össze a spint nem tartalmazó tagokat. Esetünkben a tér lassú változása miatt H′-ben az E deriváltjaitól függő tagokat (így pl.divE-t) el lehet hagyni, hasonlóan a p4-nel arányos tagot is, amelynek nincs köze a bennünket itt érdeklő effektusokhoz, így H′ (mágneses tér távollétében) a következő nemrelativisztikus Hamilton-operátorrá redukálódik: H′=(p2/2m)+eΦ.

(41,12) képletet (41,9)-ből kiindulva is megkaphatjuk, nem utalva közvetlenül a Dirac-egyenletre. Általánosítása ugyanígy végezhető el a kváziklasszikus esetben anomális mágneses momentummal rendelkező részecskékre is.

A sebességben elsőrendű tagokat megtartva (41,9)-ből az elektromos térben mozgó részecske mozgásegyenlete a következőnek adódik:

(dζ/dt)=(μ+μ′)ζ×(E×v)=((e/2m)+2μ′)ζ×(E×v).

Ha megköveteljük, hogy ez az egyenlet kvantummechanikailag a spinoperátornak a Hamilton-operátorral való [((41,3) szerinti] felcseréléséből következzék, akkor könnyen ellenőrizhető, hogy

4.113. egyenlet - (41,13)

H=Hμ+e4mσE×pm


írandó Hamilton-operátorként. Ez éppen a keresett összefüggés. μ′=0 esetén visz-szakapjuk (41,12)-t. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy az e∕2m„normális” mágneses momentum az anomálishoz képest egy felesleges 1∕2 szorzóval jelenik meg (41,13)-ban.[133]

Feladatok

1. Határozzuk meg a részecske polarizációjának változását egy olyan síkban való haladásakor, amely merőleges a homogén mágneses térre (v⊥H).

Megoldás. (41,9) jobb oldalán csak az első tag marad, azaz a ζ vektor H iránya (a z tengely) körül

–(2μm+2μ′(ε–m)/ε)H=–((e/ε)+2μ′)H

szögsebességgel precesszál. Ugyanezzel a szögsebességgel forog az xy síkban a ζ vektor vetülete (jelöljük ζ1-gyel). A v vektor ugyanebben a síkban eH∕ε szögsebességgel forog (amint ez a ṗ=εv̇=ev×H mozgásegyenletből látható). Ebből világos, hogy ζ1 a v iránya körül –2μ′H szögsebességgel forog.

2. A fenti feladat, a mágneses térrel párhuzamos haladás esetén.

Megoldás. Párhuzamos v és H esetén a (41,9) egyenlet a következő alakú:

(dζ/dt)=(2μm/ε)ζ×H,

azaz ζ a közös v és H irány körül –2μmH∕ε szögsebességgel forog.

3. A fenti feladat, homogén elektromos térbeli mozgás esetére.

Megoldás. Legyen E párhuzamos az x tengellyel, a részecske mozogjon az xy síkban (py=const). A (41,9)-ből látható, hogy ζ a z tengely körül forog

–((e/ε+m)+2μ′)E(py/ε)

szögsebességgel. Bontsuk fel ζ-t ζz és (az xy síkba eső) ζ1 összetevőkre. Ekkor

ζ∥=ζ1cosφ, ζ⊥E=–ζ1sinφ⋅(vy/v).

(41,11)-ből adódik, hogy ζ1 a v iránya körül

φ̇=(2vy/v2)((μm2/ε2)–μ′)=(py/ε)((em/p2)–2μ′)

pillanatnyi szögsebességgel forog.



[125] Egyelőre a szokásos egységrendszert használjuk.

[126] Figyelembe véve a sugárzási korrekciókat, az elektron mágneses momentuma is tartalmaz egy igen kicsiny anomális részt.

[127] Klasszikusan a (41,5) egyenletet közvetlenül a (dM/dt)=μ×Hegyenletből kaphatjuk, ahol M a rendszer impulzusmomentuma, μ a mágneses momentuma; μ×H a rendszerre ható forgatónyomaték. M=(1/2)ℏζ, μ=(μ/2s)ζ=μζbehelyettesítésével (41,5)-öt kapjuk.

[128] Az alábbiakban újra a c=1,ℏ=1 egységrendszert használjuk.

[129] Hasonló egyenletet, más alakban elsőként Ja. I. Frenkel vezetett be (1926).

[130] Ha bevezetjük, mint gyakran teszik, a töltött részek g giromágneses együtthatóját (Landé-faktor) a μ=g(e/2m)(1/2)(=g(e/2mc)(ℏ/2)) definíció szerint, akkor az egyenlet a következő alakot ölti: (sζ/dt)=(e/2m)(g–2+2(m/ε))ζ×H+(e/2m)(g–2)(ε/ε+m)(vH)v×ζ+(e/2m)(g–(2ε/ε+m))ζ×(E×v). (41,9a)

[131] Valamivel rövidebben megkapható ez az egyenlet, ha (41,7) időkomponensét írjuk ki.

[132] Ez utóbbi követelmény annak következménye, hogy a sebességdiszperziónak a hullámcsomagon belül, annak nyugalmi rendszerében c-hez képest kicsinynek kell lennie; ellenkező esetben ebben a rendszerben nem lehetne a nemrelativisztikus képleteket használni. Ha a tér túl gyorsan változik, az egyenletekben lényeges kiegészítő tagok léphetnek fel, melyek a tereknek térkoordináták szerinti deriváltjait tartalmazzák.

[133] Ez az a „Thomas-féle 1∕2 amelyről a IV. fejezet  7. lábjegyzetében szó esett. Az itt bemutatott levezetés tisztán rámutat eredetére.