Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

40.§. Az elektron állapotai elektromágneses síkhullám terében

40.§. Az elektron állapotai elektromágneses síkhullám terében

A Dirac-egyenletet zárt alakban meg lehet oldani elektromágneses síkhullám terében mozgó elektron esetére (D. M. Volkov, 1937).

A k=(k2=0) hullámvektorú síkhullám csak a φ=kx kombináción keresztül függhet a négyes helyvektortól, azaz a vektorpotenciál

4.84. egyenlet - (40,1)

Aμ=Aμ(φ)


alakú, és eleget tesz a

∂μAμ=kμAμ′=0

Lorentz-feltételnek (a vessző φ szerinti deriválást jelent). Mivel A-ban a konstans tagok lényegtelenek, a vessző elhagyható, és a feltétel

4.85. egyenlet - (40,2)

kA=0


alakban írható.

Induljunk ki a (32,6) másodrendű egyenletből, amelyben a térerőtenzor helyébe az

4.86. egyenlet - (40,3)

Fμν=kμAnukνAμ


kifejezést kell írni.

A négyzetre emelés elvégzésekor (i∂–eA)2 esetében figyelembe kell venni a ∂μ(Aμψ)=Aμ∂μψ összefüggést. Ezután a

4.87. egyenlet - (40,4)

[22ie(A)+e2A2m2iek̂Â]ψ=0


egyenletre jutunk (∂2=∂μ∂μ).

A megoldást keressük

4.88. egyenlet - (40,5)

ψ=eipxF(φ)


alakban, ahol pállandó négyesvektor. Ha p-hez egy tetszőleges, const⋅k alakú vektort hozzáadunk, akkor ψ változatlan marad [csak F(φ)-t kell megfelelően újra definiálni]. Így p-re az általánosság megsértése nélkül kiróható egy mellékfeltétel:

4.89. egyenlet - (40,6)

p2=m2.


Tehát az elektromágneses tér kikapcsolásakor a pμ kvantumszámok átmennek a szabad részecske négyesimpulzusának komponenseibe. A p négyesvektor komponenseinek jelentése elektromágneses tér jelenléte esetén szemléletesebb, ha olyan speciális vonatkoztatási rendszert választunk, ahol A0=0. Legyen ebben a rendszerben Ax1 irányú, k pedig mutasson az x3 irányba (azaz a tér elektromos komponense x1, mágneses komponense pedig x2 irányú, maga a hullám x3 haladási irányú). Ekkor (40,5) a

p1=i(∂/∂x1), p2=i(∂/∂x2), p0–p3=i((∂/∂x0)–(∂/∂x3))

operátorok sajátfüggvénye, a hozzájuk tartozó sajátértékek rendre p1,p2,p0–p3 (maguk az operátorok, mint ez könnyen látható, felcserélhetők a Dirac-egyenlet Hamilton-operátorával ). Így az adott koordináta-rendszerben p1,p2 az általánosított impulzuskomponensek az x1 és x2 tengelyek mentén, p0–p3 pedig a teljes energia és; az x3 menti általánosított impulzus különbsége.

Ha (40,5)-öt  (40,4)-be helyettesítjük, észrevehetjük, hogy

∂μF=kμF′, ∂μ∂μF=k2F″=0,

így az F(φ)-re vonatkozó egyenlet:

2i(kp)F′+[–2e(pA)+e2A2–iek̂Â′]F=0.

Ennek az egyenletnek az integrálját az

F=exp{–i∫0kx[(e/(kp))(pA)–(e2/2(kp))A2]dφ+(ek̂Â/2(kp))}(u/√(2p0))

összefüggés adja, ahol u∕√(2p0) tetszőleges állandó bispinor (amelynek formájáról alább még szó lesz).

k ̂ Â-nak összes, az elsőnél magasabb fokú hatványa nullát ad, mivel

k̂Âk̂Â=–k̂k̂ÂÂ+2(kA)k̂Â=–k2A2=0.

Ezért a következő helyettesítés végezhető el:

exp(ek̂Â/2(kp))=1+(e/2(kp))k̂Â,

Így ψ a következő alakú:

4.90. egyenlet - (40,7)

ψp=1+e2(pk)k̂Âu2p0eiS,


ahol[124]

4.91. egyenlet - (40,8)

S=px0kxe(kp)(pA)e22(kp)A2dφ.


A konstans u bispinorra kiszabott feltételek megvilágítására tételezzük fel, hogy a hullámnak egy tetszőlegesen kicsiny csillapodása van. Ekkor A→0, ha x→∞, és ψ-nek át kell mennie a szabad Dirac-egyenlet megoldásába , azaz u=u(p)-nek ki kell elégítenie a

4.92. egyenlet - (40,9)

(p̂m)u=0


egyenletet. Ezzel a megkötéssel a másodrendű egyenlet „felesleges” megoldásait elvetjük. Minthogy u független a koordinátáktól, ez a feltétel véges x-re isérvényes marad, ahol a hullám kicsiny csillapítása nincs hatással ψ alakjára.Így u(p) megegyezik a szabad síkhullám bispinor amplitúdójával; feltesszük, hogy azonos módon a (23,4) feltétellel normált: ūu=2m.

A fenti megfontolások rögtön lehetővé teszik a (40,7) hullámfüggvény normálását. A folytonos spektrum hullámfüggvényeinek normaintegrálját a tér távoli tartományai szabályozzák. A tér enyhe csillapodását bevezetve, ezekben a tartományokban a hullámfüggvény a szabad mozgást leíró függvényekkel esik egybe. Ebből következik, hogy a (40,7) függvények ugyanazt a normafeltételt elégítik ki, mint a szabad hullámok:

4.93. egyenlet - (40,10)

1(2π)3ψpψpd3x=1(2π)3ψ̄pγ0ψpd3x=δ(pp).


Adjuk meg a (40,7) függvényeknek megfelelő áramsűrűséget. Figyelembe véve, hogy

ψ̄p=(ū/√(2p0))[1+(e/2(pk))Âk̂]eiS,

közvetlen szorzással kapjuk, hogy

4.94. egyenlet - (40,11)

jμ=ψ̄pγμψp=1p0pμeAμ+kμe(pA)(kp)e2A22(kp).


Ha Aμ(φ) periodikus függvény, amelynek középértéke nulla, akkor a közepesáramsűrűség:

4.95. egyenlet - (40,12)

jμ¯=1p0pμe22(kp)Ā2kμ.


Adjuk meg a kinetikai impulzus átlagértékét a ψp állapotra. A kinetikai impulzus operátora a p–eA=i∂–eA különbség. Közvetlen számítással adódik, hogy

ψp∗(pμ–eAμ)ψp=ψ̄pγ0(pμ–eAμ)ψp=pμ–eAμ+kμ((e(pA)/(kp))–(e2A2/2(kp)))+

4.96. egyenlet - (40,13)

+kμie8(kp)p0Fλν(uσλνu).


Ennek a négyesvektornak az időátlaga, melyet qμ-vel jelölünk,

4.97. egyenlet - (40,14)

qμ=pμe2Ā22(kp)kμ,


négyzete pedig

4.98. egyenlet - (40,15)

q2=m2,m=m1+e2m2Ā2,


m∗ az elektron „effektív tömege” szerepét játssza. (40,14)és (40,12)összehasonlításával látjuk, hogy

4.99. egyenlet - (40,16)

jμ¯=qμp0.


Megjegyezhetjük még, hogy a (40,10) normafeltétel kifejezhető a q vektor segítségével,

4.100. egyenlet - (40,17)

1(2π)3ψpψpd3x=q0p0δ(qq)


[a (40,10) képlet (40,17)-re valóátalakítását legegyszerűbb a fentebb már használt speciális vonatkoztatási rendszerben elvégeznip].



[124] Megjegyezzük, hogy S megegyezik a hullám terében mozgó részecske klasszikus hatásfüggvényével (l. II. 47. § 2. feladat).