Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

39.§. A folytonos spektrumbeli hullámfüggvények rendszere Coulomb-térbeli szórás során

39.§. A folytonos spektrumbeli hullámfüggvények rendszere Coulomb-térbeli szórás során

A későbbiekben (93. §) különböző rugalmatlan folyamatokat fogunk vizsgálni nehéz magok (Zα∼1) erőterében szóródó ultrarelativisztikus elektronok esetében. A megfelelő mátrixelemek kiszámításához szükségünk van azokra a hullámfüggvényekre, amelyeknek aszimptotikus (r→∞) alakja egy sík- és egy gömbhullámból tehető össze.

Látni fogjuk, hogy ultrarelativisztikus esetben (mikor az elektron energiájára ε≫m érvényes) a szórásban a fő szerepet a q=|p′–p|∼m impulzusátadások játsszák. Ennek az impulzusátadás-értéknek a ϱ∼(1/q)∼(1/m) „szórásparaméter” érték felel meg, az elektron pedig

4.73. egyenlet - (39,1)

𝜃qpm𝜀


szöggel hajlik el.[121] A centrumtól mért r távolság és a z=rcos koordináták segítségével kifejezve ez a

4.74. egyenlet - (39,2)

ϱrsin𝜃1m,p(rz)=pr(1 cos𝜃)1


tartományt jelenti. Mivel r∼ε∕m2, a nagy távolságok tartományát kell leírnunk.

Írjuk a Dirac-egyenletet a következő alakban:

4.75. egyenlet - (39,3)

(𝜀Umβ+iα)ψ=0,U=Zαr.


Alakítsuk másodrendű egyenletté, azaz alkalmazzuk (39,3)-ra az (ε–U+mβ–iα∇) operátort:

4.76. egyenlet - (39,4)

(Δ+p22𝜀U)ψ=(iαUU2)ψ.


Mivel a vizsgált tartományban r≫Zα∕ε, azért Z≪ε. Első közelítésbenígy (39,4) jobb oldala elhanyagolható. A visszamaradó egyenlet

4.77. egyenlet - (39,5)

Δ+p2+2𝜀Zαrψ=0,


amely formailag egyezik a Coulomb-térbeli nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettel ,

((1/2m)Δ+(p2/2m)+(Zα/r))ψ=0,

attól csak annyiban tér el, hogy a paraméterek értéke más (a „potenciális energiában” van egy felesleges ε∕m szorzó). Így a kívánt aszimptotikus alakú megoldást azonnal felírhatjuk (l. III. 136. §). A megoldás, amely aszimptotikusan egy sík- (∝eipr) és egy kifutó gömbhullámot tartalmaz, a következő:

4.78. egyenlet - (39,6)

ψ𝜀p(+)=Cu𝜀p2𝜀eiprFiZα𝜀p,1,i(prpr),C=eπZα𝜀2pΓ1iZα𝜀p,


ahol F az elfajult hipergeometrikus függvény, uεp pedig a síkhullám állandó bispinor amplitúdója, melyet a (23,4)-beli feltétellel normálunk:

4.79. egyenlet - (39,7)

ū𝜀pu𝜀p=2m.


(39,6) hullámfüggvény normálása olyan, hogy aszimptotikus alakjából a síkhullámot a szokásos

(uεp/√(2ε))eipr

alakban választhassuk le, ami az „egy részecske az egységnyi térfogatban” esetnek felel meg. Minthogy ultrarelativisztikus esetben p≈ε, így (39,6)-ban Zαε∕p≈Zα-val helyettesíthetünk, és így

4.80. egyenlet - (39,8)

ψ𝜀p(+)=Cu𝜀p2𝜀eiprF(iZα,1,i(prpr)),C=eZαπ2Γ(1iZα).


Felhívjuk a figyelmet arra, hogy bár a pr≫1 egyenlőtlenségnek eleget tevő távolságokat vizsgáljuk, ám ennek ellenére nem helyettesíthetjük a hipergeometrikus függvényt aszimptotikus alakjával, mivel F argumentumában nem pr, hanem pr(1–cos) szerepel, melynek nagy értékét nem feltételeztük.[122]

Az alkalmazások szempontjából a következő közelítés is érdekes, melynek spinorstruktúrája a (39,8)-beli uεp-től eltérő. Kiszámításához ψ-t a következő alakban írjuk:

ψ=(C/√(2ε))eipr(uεpF+φ).

(39,4) egyenlet jobb oldalán ekkor az U-ban elsőrendű tagot megőrizzük, és φ-re a következő egyenlet adódik:

4.81. egyenlet - (39,9)

(Δ+2ip2𝜀U)φ=iu𝜀pαU.


Ennek megoldását, figyelembe véve, hogy F kielégíti a

(Δ+2ip∇–2εU)F=0

egyenletet [amelyről (39,6)-ot (39,5)-be helyettesítve győződhetünk meg], a következő módon kaphatjuk. Alkalmazzuk a ∇ operációt az előző egyenletre; az adódik, hogy

(Δ+2ip∇–2εU)∇F=2εF∇U.

Hasonlítsuk ezt össze (39,9)-cel; azonnal látjuk, hogy

φ=–(i/2ε)(α∇)uεpF.

Ezután megadhatjuk ψ(+) és az aszimptotikus alakjában bejövő gömbhullámot tartalmazó ψ(–) végső alakját:

4.82. egyenlet - (39,10)

ψ𝜀p(+)=C2𝜀eipr1iα2𝜀F(iZα,1,i(prpr))u𝜀p,ψ𝜀p()=C2𝜀eipr1iα2𝜀F(iZα,1,i(pr+pr))u𝜀p,C=eπZα2Γ(1iZα)


(W. H. Furry, 1934). Felírjuk a megfelelő (ψ–ε–p) függvényeket is, amelyeket„negatív frekvencia” jellemez, és amelyek a pozitronokat tartalmazó folyamatok leírásához szükségesek. Ezeket a ψεp függvényekből p→–pés ε→–ε cserével kaphatjuk, miközben p=|p| változatlan marad [ez utóbbi miatt a hipergeometrikus függvény iZα paramétere jelet vált, amint ez a kiindulási (39,6) kifejezésből látható, ebben a paraméter iZαε alakban szerepel]. Így az adódik, hogy

4.83. egyenlet - (39,11)

ψ𝜀p(+)=C2𝜀eipr1+iα2𝜀F(iZα,1,i(pr+pr))u𝜀p,ψ𝜀p()=C2𝜀eipr1+iα2𝜀F(iZα,1,i(prpr))u𝜀p,C=eπZα2Γ(1+iZα).


Még egy megjegyzés helyénvaló a fenti számításokkal kapcsolatban. Az általunk kiszabott aszimptotikus feltétel egymagában ugyanis (mint ez már abból is látszik, hogy ψ-hez mindig hozzá lehet adni az aszimptotika sértése nélkül egy Coulomb-módon csökkenő, kifelé haladó gömbhullámot) nem határozza meg egyértelműen az egyenlet megoldását. A (39,5) egyenlet megoldását (39,6) alakban írva, hallgatólagosan kiválasztottuk az r=0 pontban véges megoldást. Ez a feltevés III. 135. § és 136. §-okban szükséges volt, minthogy a Schrödinger-egyenlet pontos, a teljes térben érvényes megoldását kerestük.[123] A most vizsgált esetben azonban a (39,5) egyenlet csak nagy távolságokra érvényes, így a választást ebből a szempontból is meg kell indokolni.

Az indokolás azon a tényen alapszik, hogy a ϱ=rsin nagy „szórásparaméter” értékekhez nagy l pályamomentum értékek és kis szórásszögek tartoznak, ui. ϱ∼1∕m esetén

1∼ϱp∼ϱε∼(ε/m)≫1,

a szöget kváziklasszikus módszerrel becsülhetjük meg:

∼(1/p)∫(dU/dr)dt∼(U′(ϱ)ϱ/p)∼(m/ε)≪1.

Ez azt jelenti, hogy ψ gömbhullámok szerinti kifejtésében (r és vizsgált tartományában) a fenti nagy l-lel rendelkező hullámok vesznek részt. Ám a nagy l-ű gömbhullám (hála a centrifugális gátnak) kis amplitúdójúra csökken le, mire a koordináta-rendszer kezdőpontját a „klasszikusan elérhetetlen” tartomány átmérője nagyságrendjébe eső távolságra megközelíti: r≪l∕ε. Ezért ha a (39,5) egyenlet és a pontos (39,4) egyenlet megoldásainak „összeillesztését” kis távolságokon, r∼r1 körül végezzük el, ahol l∕ε≫r1≫Zα∕ε, akkor a (39,5) egyenlet megoldására adódó határfeltétel annak kicsinységét követeli, ami az általunk választott megoldást részesíti előnyben.

Feladat

Határozzuk meg vonzó Coulomb-tér esetén (Zα≪1) a diszkrét spektrum hullámfüggvényének (∼Zα relatív nagyságrendű) korrekcióját .

Megoldás. Az elektron kötött állapotbeli sebessége, v∼Zα, tehát Zα≪1 esetén nulladik közelítésben a hullámfüggvény nemrelativisztikus, azaz

ψ=uψnemrel,

ahol ψnemrel a Schrödinger-hullámfüggvény , az u bispinor u=(w / 0) alakú, ahol w az elektron polarizációs állapotát leíró spinor. A következő közelítésben ψ=uψnemrel, és ezt (39,4)-be helyettesítve, ψ(1)-re az

((1/2m)Δ–|εn|+(Zα/r))ψ(1)=i(Zα/2m)(∇(1/r))(αu)ψnemrel

egyenlet adódik, ahol εn a nemrelativisztikus diszkrét energianívó. Itt a (Zα)2 nagyságrendű tagokat elhagytuk (figyelembe kell venni, hogy a nemrelativisztikus esetben a karakterisztikus távolság – a Bohr-sugár: r∼1∕mZα). Az egyenlet megoldása ψ(1)=–(i/2m)αu∇ψnemrel, azaz

ψ=(1–(i/2m)α∇)uψnemrel.



[121] Ebben a szakaszban p jelöli |p|-t.

[122] A III. 135. §-ban tetszőlegesen nagy r-ekkel foglalkoztunk, így a fenti cserét tetszőleges -ra el lehetett végezni.

[123] A megoldás III. 135. §-ban bemutatott menetében a (135,1) partikuláris integrált választva az általános integrálok β1,β2 együtthatókkal vett összege helyett, biztosítottuk ezt a feltételt.