Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

38.§. Szórás ultrarelativisztikus határesetben

38.§. Szórás ultrarelativisztikus határesetben

Külön vizsgáljuk az ultrarelativisztikus szórás esetét (ε≫m). Első közelítésben teljesen elhanyagoljuk m-et a hullámegyenletben. Ekkor ψ-t érdemes spinorreprezentációban használni, ψ=(ξ / η),m=0 esetén a ξ-re és η-ra vonatkozó egyenletek szeparálódnak

4.66. egyenlet - (38,1)

iσξ=(𝜀U)ξ,iση=(𝜀U)η(38,1)


(„neutrino” alakúak lesznek, l. 30. §).

A p irányban polarizált elektron helicitásállapotát a ψ=(ξ / η) függvény írja le, a –p irányúét pedig ψ=(0 / η). A ξ-re és η-ra vonatkozó egyenlet szeparálhatósága miatt nyilvánvaló, hogy a szórás során ez a tulajdonság változatlanul megmarad. Más szavakkal, ultrarelativisztikus elektronok szórása során a helicitás megmarad . Szimmetriamegfontolásokból (longitudinális polarizáció ) nyilvánvaló, hogy az azimutális aszimmetria határozott helicitású részecskék szórása során eltűnik. Az is világos, hogy a határozott helicitású elektronok szórási hatáskeresztmetszete független a helicitás előjelétől; ez annak következménye, hogy a centrális tér invariáns inverzió (középpontos tükrözés) esetén, a helicitás viszont ekkor előjelet vált.

(37,3)(37,5) képletek ultrarelativisztikus esetben jelentősen egyszerűsíthetők (D. R. Yennie , D. G. Ravenhall , R. N. Wilson , 1954).

Legyen a beeső elektron az n irányban polarizált. Síkhullámot tekintve, határozott nσ érték esetén a ξ [=(φ+χ)∕√2] spinor ugyanazzal a háromdimenziós w spinorral arányos, amely a standard reprezentációban fordul elő. Ezért a beeső és szórt hullámok amplitúdói közötti összefüggést az új reprezentációban is ugyanaz az f operátor adja meg.

A szórás eredményeként a polarizáció az impulzussal együtt az n′ irányba fordul. Az f operátornak az elektron spin-hullámfüggvényére való hatása így a spinnek a ν=n×n′ tengely körüli szögű elforgatására ( az n és n′ közötti szög) redukálódik. Ezt az elforgatást a koordináta-rendszer azonos tengely körüli – szöggel, tehát ellentétes irányú elforgatásával helyettesíthetjük. Ebből következik, hogy az f operátornak meg kell egyeznie a hullámfüggvényt az említett koordinátatranszformáció során a megfelelő módon transzformáló, azaz a (18,17) operátorral a →– helyettesítés elvégzése után. (37,3)-at (18,17)-tel összehasonlítva, a következő kapcsolatot találjuk A és B között:

4.67. egyenlet - (38,2)

BA=itg𝜃2.


Így ultrarelativisztikus határesetben

4.68. egyenlet - (38,3)

f=A(𝜃)1itg𝜃2νσ.


(37,4) kifejezését szintén egyszerűbb alakra hozhatjuk, felhasználva a δϰ és δ–ϰ fázisok között ebben a határesetben fellépő összefüggést. Levezetéséhez vegyük észre, hogy a (35,4) egyenlet az m-mel arányos tagok elhagyása után invariáns a következő helyettesítésre:

ϰ→–ϰ, f→g, g→–f,

amely nem érinti a részecskének vagy a térnek egyetlen paraméterét sem. Ezért az fϰ∕gϰ=–g–ϰ∕f–ϰ összefüggésnek fenn kell állnia, amelyből az aszimptotikus kifejezések behelyettesítése után

tg(pr–(lπ/2)+δϰ)=–ctg(pr–(l′π/2)+δ–ϰ),
δϰ=δ–ϰ–(l′–l)(π/2)+(n+(1/2))π

adódik, amiből következik, hogy

4.69. egyenlet - (38,4)

e2iδϰ=e2iδϰ.


Ezt az összefüggést felhasználva [és az (37,4)-beli összeg első tagjában az összegező indexet l-ről l–1-re változtatva] kapjuk, hogy[119]

4.70. egyenlet - (38,5)

A(𝜃)=12ipl=1l(e2iδϰ1)[Pl(cos𝜃)+Pl1(cos𝜃)].


(38,2)-ből ℜ(AB∗)=0 következik. Ez azt jelenti, hogy a vizsgált közelítésben a hatáskeresztmetszet független a kezdeti polarizációs állapottól, és a polarizálatlan nyaláb polarizálatlan marad a szórás után is [l. a III. (140,8)…(140,10) összefüggéseket]. Megjegyezzük még, hogy →π esetén A() (38,5)-beli kifejezése (π–)2-ként tart nullához [vegyük figyelembe, hogy Pl(–1)=(–1)l]. Ezzel együtt nullához tart a hatáskeresztmetszet is,

4.71. egyenlet - (38,6)

dσdΩ=|A|2+|B|2=|A(𝜃)|2 cos2𝜃2.


A felsorolt tulajdonságok természetesen nem maradnak érvényben az m∕ε szerinti közelítés során. Az elemzés többek között megmutatja, hogy →π esetén a hatáskeresztmetszet (m=ε)2-tel arányos határértékhez tart.

Coulomb-tér esetén ultrarelativisztikus határesetben a fázisok energiafüggetlenek, amint az (36,18)-ból látható.[120] Ezért a tisztán Coulomb-térben a hatáskeresztmetszet ε≫m esetén

4.72. egyenlet - (38,7)

dσ=τ(𝜃)𝜀2dΩ


alakú, ahol τ csak függvénye.



[119] (37,5) analóg transzformációjával újra (38,2)-re jutunk. Ennek bizonyítása során fel kell használnunk a Legendre-polinomokra vonatkozó (37,10) rekurzív összefüggést is.

[120] Ez közvetlenül látható a (38,1) egyenletekből is, minthogy Coulomb-tér esetén r→r′∕ε helyettesítéssel ε teljesen eltűnik az egyenletből.