Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

37.§. Szórás centrális erőtérben

37.§. Szórás centrális erőtérben

A rögzített erőcentrum terében szóródó részecske hullámfüggvényeinek aszimptotikus kifejezését írjuk

4.58. egyenlet - (37,1)

ψ=u𝜀peipz+u𝜀peiprr.


alakban.[116] Itt uεp a beeső síkhullám bispinor amplitúdója . Az uεp′′ bispinor az n′ szórásirány függvénye, alakjára nézve (de természetesen nem normáját tekintve) minden adott n′értékre megegyezik az n′ irányban terjedő síkhullám bispinor amplitúdójával.

24. §-ban láttuk, hogy a síkhullám bispinor amplitúdóját egyértelműen meghatározza a háromdimenziós w spinor – egy kétkomponensű mennyiség –, amely a részecskének a nyugalmi rendszerbeli nemrelativisztikus hullámfüggvényét adja meg. Ezzel a spinorral kifejezhetjük a részecske áramát is: az arányos w∗w-vel (az arányossági együttható csak az ε energiától függ, tehát azonos a beeső és a szórt részecskére). Ezért a hatáskeresztmetszet, dσ=(w′∗w′∕w∗w) dΩ, vagy ha (mint a  24. §-ban) a beeső hullámot a w∗w feltétellel normáljuk,

dσ=w′∗w′dΩ.

Vezessük be az f szórási operátort a következő definíció szerint:

4.59. egyenlet - (37,2)

w=fw.


Minthogy w,w′ kétkomponensű mennyiségek, az ily módon definiált operátor teljesen analóg azzal a szórási operátoramplitúdóval, amely a spines részek nemrelativisztikus szórását írja le (III. 140. §). Ezért közvetlenül áthozhatók az ott kapott összefüggések, melyek az operátort a hullámfüggvénynek a szóró térben elszenvedett fáziseltolásai segítségével fejezik ki. Csak ezeket a fáziseltolódásokat kell átjelölni, a III. 140. §-ban bevezetett élt és δl+és δl– fázisokat δϰ segítségével kifejezve. Emlékeztetünk arra, hogy és δl+ az δl– pályamomentumúés a j=l+(1/2), ill. j=l–(1/2) teljes impulzusmomentumú részek fáziseltolását jelölte. A (35,3) definíciónak megfelelően ϰ=–l–1, haj=l+(1/2), és ϰ=l, ha j=l–(1/2). Ezért a következő módon kell átjelölnünk a nemrelativisztikus fázisokat:

δl+→δ–(l+1), δl–→δl

(ne feledjük, hogy δ indexei ezentúl ϰ értékeit jelölik). Így a következő összefüggésekre jutunk:

4.60. egyenlet - (37,3)

f=A+Bνσ,


A =(1/2ip)∑l=0∞[(l+1)(e2iδ–l–1–1)+l(e2eiδl–1)]Pl(cos), (37,4) B =(1/2p)∑l=1∞(e2iδ–l–1–e2iδl)Pl1(cos), (37,5)

ahol ν=(n×n′/|n×n′|).

Minthogy w a nyugalmi rendszerbeli hullámfüggvény, ezért a szórás polarizációs tulajdonságait f segítségével a III. 140. §-beli összefüggésekkel azonos képletek írják le.

Coulomb-tér esetén A() és B() egy közös függvény segítségével fejezhető ki. Röviden vázoljuk a szükséges számítások menetét.[117]

Coulomb-térbeli szórás esetén a δϰ fázisokat (36,17) adja meg, amelyet a következő alakban írhatunk:

4.61. egyenlet - (37,6)

e2iδϰ=ϰiZe2mpϰ|ϰ|Cϰ,Cϰ=Γ(γiν)Γ(γ+1+iν)eiπ(|ϰ|γ)(37,6)


(megjegyezzük, hogy eiπl=eiπϰ, ha ϰ>0, és eiπl=eiπϰ, ha ϰ<0. Az íly módon bevezetett mennyiségekkel a (37,4)(37,5) sorokat a következő alakbanírhatjuk:

4.62. egyenlet - (37,7)

A(𝜃)=1pG(𝜃)iZe2mp2F(𝜃),B(𝜃)=iptg𝜃2G(𝜃)+Ze2mp2 ctg𝜃2F(𝜃),(37,7)


ahol

4.63. egyenlet - (37,8)

G(𝜃)=i2l=1l2Cl(Pl+Pl1),F(𝜃)=i2l=1lCl(PlPl1).(37,8)


A B() sor átalakításához a következő, a Legendre-polinomok közöttérvényes, rekurzív összefüggéseket alkalmaztuk:

Pl1+Pl–11 =–ctg(/2)⋅l(Pl–Pl–1), (37,9) Pl1–Pl–11 =tg(/2)⋅l(Pl+Pl–1). (37,10)

Másrészt az

4.64. egyenlet - (37,11)

(1+ cos𝜃)ddcos𝜃[Pl(cos𝜃)Pl1(cos𝜃)]=l[Pl(cos𝜃)+Pl1(cos𝜃)]


azonosság értelmében az F()és G() függvények a következő módon függnek össze:

4.65. egyenlet - (37,12)

G=(1 cos𝜃)dFdcos𝜃=ctg𝜃2dFd𝜃.


Ezáltal maguk az A(), B() függvények is az egyetlen F() függvény segítségével fejezhetők ki.[118]



[116] A 37. §, 38. §-okban p a |p|-t jelöli, és az amplitúdók indexeként ε-t és p-t külön kiírjuk.

[117] R. L. Gluckstern , S. R. Lin , J.Math. Phys. 5, 1594 (1964).

[118] Az F() függvény nem fejezhető ki elemi függvények segítségével zárt alakban. Azonban kettős, határozott integrál formájában felírható (l. a  IV.22. lábjegyzetet).