Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

36.§. Mozgás Coulomb-térben

36.§. Mozgás Coulomb-térben

A legfontosabb speciális eset, a Coulomb-térben való mozgás tanulmányozását a hullámfüggvény kis távolságokon mutatott viselkedésével kezdjük. A határozottság kedvéért vonzó teret választunk: Z=–Zα∕r.[109]

Kis r esetén a (35,5) egyenletekben az (ε±m)-mel arányos tagok elhagyhatók; ekkor

(fr)′+(ϰ/r)fr–(Zα/r)gr=0,
(gr)′–(ϰ/r)gr+(Zα/r)fr=0.

Az fr és gr függvények egyenrangúan lépnek be az egyenletrendszerbe. Ezért mindkettőre r-nek azonos hatványfüggvényét tételezzük fel: fr=arγ,gr=brγ. Az egyenletekbe való behelyettesítéssel az

a(γ+ϰ)–bZα=0, aZα+b(γ–ϰ)=0

egyenletre jutunk, ahonnan

4.36. egyenlet - (36,1)

γ2=ϰ2(Zα)2.


Legyen (Zα)2<ϰ2. Ekkor γ valós, és a két érték közül a pozitívat kell választanunk: az ennek megfelelő megoldás vagy nem divergál az r=0 pontban, vagy a másiknál kevésbé gyorsan teszi azt.[110] Ily módon:

4.37. egyenlet - (36,2)

f=Zαγ+ϰg=constr1+γ,γ=ϰ2Z2α2=(j+12)2Z2α2.(36,2)


Bár a hullámfüggvény r=0 esetén divergálhat (ha γ<1), |ψ|2 integrálja konvergens marad.

Ha (Zα)2>ϰ2, akkor γ (36,2)-ből vett mindkét értéke képzetes. A megfelelő megoldások r→0 esetén oszcillálnak [r–1cos(|γ|lnr) szerint], ami megint csak, mint azt korábban már megmutattuk, a relativisztikus elméletben megengedhetetlen vonzócentrumba-esésnek felel meg. Minthogy ϰ2≧1, eszerint a Dirac-elméletben a tisztán Coulomb-térben való mozgás vizsgálatának csak Zα<1, azaz Z<137 esetén van értelme.

A valóságos helyzetben természetesen a mag véges mérete miatt kis távolságokon a mag potenciáljának menete eltér a Coulomb-potenciáltól. Ez elvileg a nagyobb Z-jű magok létezését is lehetővé teszi.[111]

Meg kell jegyeznünk, hogy a sugárzási korrekciók miatt a potenciál menete kis távolságokra még pontszerű mag esetén is eltér a Coulomb-félétől, ami szintén megváltoztatja a fenti eredményt. 1-hez közeli Zα-k esetére azonban ezeket a korrekciókat mindeddig nem tanulmányozták.

Fogjunk hozzá a hullámegyenlet pontos megoldásához (G. Darwin , 1928; W. Gordon , 1928).

a) Diszkrét spektrum (ε<m). Az f és g függvényeket az

4.38. egyenlet - (36,3)

f=m+𝜀eϱ2ϱγ1(Q1+Q2),g=m𝜀eϱ2ϱγ1(Q1Q2)(36,3)


alakban keressük, ahol Q1, Q2 ismeretlen függvények; bevezettük a

4.39. egyenlet - (36,4)

ϱ=2λr,λ=m2𝜀2,γ=ϰ2Z2α2


jelöléseket. Ez az alak természetes választásnak tűnik, minthogy ismerjük a függvény (36,2)ϱ→0 viselkedését és exponenciális csillapodását (∼e–ϱ∕2) aϱ→∞ esetén. Minthogy ϱ→∞ esetén az fés g függvények egyformán viselkednek, ezért ϱ→∞-re várhatóan Q1≫Q2.

(36,3)-at (35,4)-be helyettesítve, a következő egyenletekre jutunk:

ϱ(Q1+Q2)′+(γ+ϰ)(Q1+Q2)–ϱQ2+Zα√((m–ε/m+ε))(Q1–Q2)=0,
ϱ(Q1–Q2)′+(γ–ϰ)(Q1–Q2)+ϱQ2–Zα√((m+ε/m–ε))(Q1+Q2)=0

(a vessző ϱ szerinti deriválást jelent). Összegük és különbségük a következő egyenletekre vezet:

4.40. egyenlet - (36,5)

ϱQ1+γZα𝜀λQ1+ϰZαmλQ2=0ϱQ2+γ+Zα𝜀λϱQ2+ϰ+ZαmλQ1=0(36,5)


vagy Q1, illetve Q2 kiküszöbölésével

ϱQ1″+(2γ+1–ϱ)Q1′–(γ–(Zαε/λ))Q1=0,
ϱQ2″+(2γ+1.ϱ)Q2′–(γ+1–(Zαε/λ))Q2=0

[vegyük figyelembe, hogy γ2–(Zαε∕λ)2=ϰ2–(=αm∕λ)2]. Ezeknek az egyenleteknek ϱ=0 esetén véges megoldásai:

4.41. egyenlet - (36,6)

Q1=AFγZα𝜀λ,2γ+1,ϱ,Q2=BFγ+1Zα𝜀λ,2γ+1,ϱ,(36,6)


ahol F(α,β,z) az elfajult hipergeometrikus függvény. A (36,5) egyenletek valamelyikét a ϱ=0 helyen véve, az Aés Bállandók között a következőösszefüggés adódik:

4.42. egyenlet - (36,7)

B=γZα𝜀λϰZαmλA.


Mindkét (36,6)-beli hipergeometrikus függvénynek polinommá kell redukálódnia (ellenkező esetben eϱ ként növekednének, és velük eϱ∕2-ként növekedne a teljes hullámfüggvény is). Az F(α,β,z) függvény akkor redukálódik polinommá, ha az α paraméter negatív egész vagy nulla. Vezessük ezért be a

4.43. egyenlet - (36,8)

γZα𝜀λ=nr


jelölést. Ha nr=1,2,…, akkor mindkét hipergeometrikus függvény polinom. Ha azonban nr=0, akkor csak egyikük viselkedik polinomként. Az nr=0 eset azonbanγ=Zαε∕λ-nak felel meg, és ekkor, mint az könnyen belátható, Zαm∕λ=|ϰ|. Haϰ<0, akkor a B együttható nulla, azaz Q2=0, és az fés g azonos aszimptotikájára vonatkozó korábbi követelmény teljesül. Ha ϰ>0, akkorB=–A, és Q2 az nr=0 esetben divergenssé válik. Így az nr kvantumszám következőértékei megengedettek:

4.44. egyenlet - (36,9)

nr=0,1,2,,haϰ<0;1,2,3,,haϰ>0.


(36,8) definícióból a diszkrét spektrum megengedett energiaértékeire a következő kifejezés adódik:

4.45. egyenlet - (36,10)

𝜀m=1+(Zα)2(ϰ2(Zα)2+nr)212.


Ha Zα≪1, a sorfejtés első tagjai a következők:

(ε/m)–1=–((Zα)2/2(|ϰ|+nr)2){1+((Zα)2/|ϰ|+nr)[(1/|ϰ|)–(3/4(|ϰ|+nr))]}

Bevezetve az nr+|ϰ|=n(=1,2,… ) jelölést és figyelembe véve, hogy |ϰ|=j+(1/2), a (34,4) képletre jutunk, melyet korábban a perturbációszámítás segítségével kaptunk meg. Mint erre már a  34. §-ban rámutattunk, e sorfejtés további tagjai értelmetlenek, minthogy azokat a sugárzási korrekciók mindenképp felülmúlják. A (36,10) képlet Zα∼1 esetén pontos formájában értelmes marad. Megjegyezzük, hogy az energiaszinteknek a (34,4) képletben jelenlevő kétszeres elfajulását a pontos összefüggés is őrzi, minthogy csak |ϰ| jelenik meg benne, így a különböző l-ekhez tartozó szintek azonos j esetén egybeesnek.

A hullámfüggvényben már csak az A normálási állandó meghatározása marad vissza. A diszkrét spektrum hullámfüggvényét, mint mindig, az ∫|ψ|2dV=1 feltétellel normáljuk; az f és g függvény szempontjából ez az

∫0∞(f2+g2)r2dr=1

feltétellel ekvivalens. A megadása legegyszerűbb az r→∞ esetén adódó aszimptotikus alakok révén. Az

F(–nr,2γ+1,ϱ)≡(Γ(2γ+1)/Γ(nr+2γ+1))(–ϱ)nr

aszimptotikus alak [l. III. (d,14)] segítségével adódik, hogy

f≡(–1)nrA√(m+ε)(Γ(2γ+1)/Γ(nr+2γ+1))e–λr(2λr)γ+nr–1.

Ezt a későbbi, (36,22) kifejezéssel összehasonlítva, A-ra a következő kifejezést kapjuk:

A=(λ2/Γ(2γ+1))[(2Γ(2γ+1+nr)((Zαm/λ)–ϰ)/Zαm2⋅nr!)]1∕2.

Végül összegyűjtjük a kapott képleteket, és leírjuk a normált hullámfüggvények végleges alakját:

4.46. egyenlet - (36,11)

fg=±(2λ)32Γ(2λ+1)(m±𝜀)Γ(2γ+nr+1)4mZαmλZαmλϰnr!12(2λr)γ1eλr××ZαmλϰF(nr,2γ+1,2λr)nrF(1nr,2γ+1,2λr)(36,11)


(a felső előjelek f-re, az alsók g-re vonatkoznak).

b) Folytonos spektrum (ε>m). Nem szükséges a hullámegyenleteket újból megoldani a folytonos spektrum állapotaira. A diszkrét spektrum hullámfüggvényeiből ez az eset a következő helyettesítéssel adódik:[112]

4.47. egyenlet - (36,12)

m𝜀iem,λip,nrγiZα𝜀p


(√(m–e) analitikus folytatása során az előjelválasztásra vonatkozó tudnivalókat l. III. 128. §-ban). A függvények normálását azonban újra el kell végeznünk.

(36,11)-ben elvégezve a fenti helyettesítést, f és g a következő alakú lesz:

f / g}=√(ε+m) / i√(ε–m)}⋅A′eipr(2pr)γ–1[eiξF(γ–iν,2γ+1,–2ipr)∓ ∓e–iξF(γ+1–iν,2γ+1,–2ipr)],

ahol A′ az új normálási állandó, és bevezettük a következő jelöléseket:

4.48. egyenlet - (36,13)

ν=Zα𝜀p,e2iξ=γiνϰiνm𝜀


[ξ valós, mivel γ2+((Zαε/p))2=ϰ2+((Zαm/p))2].

Az ismert

F(α,β,z)=ezF(β–α,β,–z)

összefüggés szerint [l. III. (d,10)]:

F(γ+1–iν,2γ+1,2ipr)=e–2iprF(γ+iν,2γ+1,2ipr)=
=e–2iprF∗(γ–iν,2γ+1,–2ipr).

Ezért írható, hogy

4.49. egyenlet - (36,14)

fg=2iA𝜀±m(2pr)γ1{ei(pr+ξ)F(γiν,2γ+1,2ipr)}.


E függvények aszimptotikus alakját a III. (d,14) képlet révén adhatjuk meg, amelyből ez esetben csak az első tag marad vissza, mivel a második tag 1∕r magasabb hatványával csökken:[113]

f / g}=2iA′√(ε±m)Γ(2γ+1)(2pr)γ–1ℑ / ℜ{((2ipr)–γ+iνei(pr+ξ)/Γ(γ+1+iν))}=

4.50. egyenlet - (36,15)

=iA𝜀+mpreπν2Γ(2γ+1)|Γ(γ+1+iν)|sincospr+δϰ+νln2prπl2,


ahol

4.51. egyenlet - (36,16)

δϰ=ξ argΓ(γ+1+iv)πγ2+πl2,


vagy

4.52. egyenlet - (36,17)

e2iδϰ=ϰiνm𝜀γiνΓ(γ+1iν)Γ(γ+1+iν)eiπ(lγ).


A későbbi utalásokhoz jegyezzük meg a fázis ultrarelativisztikus határesetbeli kifejezését (ε≫m,ν≈Zα):

4.53. egyenlet - (36,18)

e2iδϰ=ϰγiZαΓ(γ+1iZα)Γ(γ+1+iZα)eiπ(lγ).


(36,15)-öt összehasonlítva a (35,7) általános összefüggéssel, amely a normált gömbhullám kifejezését adja meg [figyelembe véve még f és g (35,1) definícióját], lehetségessé válik az A′ normáló konstans meghatározása:

(iA′/p)e–(πν/2)(Γ(2γ+1)/|Γ(γ+1+iν)|)=(1/√(πε)).

Ezzel a folytonos spektrum hullámfüggvényeinek végleges alakja:[114]

4.54. egyenlet - (36,19)

fg=2m±𝜀π𝜀eπν2|Γ(γ+1+iν)|Γ(2γ+1)(2pr)γr{ei(pr+ξ)F(γiν,2γ+1,2ipr)}.


Analitikusan folytatva az ε<m tartományba, a (36,17) kifejezés a következő alakotölti:

4.55. egyenlet - (36,20)

e2iδϰ=ϰZαmλγZα𝜀λΓ(γ+1Zα𝜀λ)Γ(γ+1+Zα𝜀λ)eiπ(lγ).


Ennek a kifejezésnek pólusai vannak a γ+1–Zαε∕λ=1–nr,nr=1,2,… pontokban (a számlálóbeli Γ-függvény pólusai), valamint a γ–Zαε=–nr=0 pontban (amennyiben egyidejűleg ϰ<0); amint azt elvárjuk, e pontok egybeesnek a diszkrét energiaértékekkel.

Így valamely pólus közelében (nr≠0)

e2iδϰ≈(((Zαm/λ)–ϰ)eiπ(l–γ)/nrΓ(2γ+1+nr))Γ(γ+1–(Zαε/λ)).

A Γ-függvény alakját pólushelye körül a közismert Γ(z)Γ(1–z)=π∕sinπz összefüggés segítségével határozhatjuk meg:

Γ(γ+1–(Zαε/λ))≈(π/Γ(nr)sinπ(γ+1–Zαε∕λ)),
sinπ(γ+1–(Zαε/λ))≈πcosπnr⋅(d/dε)((Zαε/λ))⋅(ε–ε0)=(–1)nr(πZαm2/λ3)(ε–ε0)

(ε0 az energiaszint). Ily módon[115]

4.56. egyenlet - (36,21)

e2iδϰ(1)l+nreiπγZαmλϰnr!Γ(2γ+1+nr)λ3Zαm21𝜀𝜀0.


Az előző szakasz végén olyan összefüggést vezettünk le, amely kapcsolatot teremt az e2iδϰ függvény pólushelyén vett reziduuma és a megfelelő kötött állapot hullámfüggvénye aszimptotikus kifejezésének együtthatója között. Coulomb-tér esetében azonban a (35,10) képlet valamelyest megváltozik, amely változás azzal kapcsolatos, hogy a (35,7)-beli állandó δϰ fáziseltolás helyett (36,15)-ben δϰ+νln(2pr) áll. Ezért (35,10) bal oldalán nem e2iδϰ írandó, hanem

exp(2iδϰ+2iνln2pr)→e2iδϰ(2iλr)2(nr+γ).

(36,21) összefüggést felhasználva és az A0 együtthatót (35,10)-ből meghatározva (amely r hatványfüggvénye lesz ez esetben), adódik a diszkrét spektrumbeli normált hullámfüggvény aszimptotikus alakja:

4.57. egyenlet - (36,22)

f=(Zαmλϰ)(m+𝜀)λ22nr!Zαm2Γ(2γ+1+nr)12(2λr)nr+γeλrr.


Ezt a képletet használtuk fel a (36,11)-beli együttható meghatározására.



[109] A szokásos egységekben U=–Ze2∕r. A relativisztikus egységekre való áttérés során e2-t dimenziótlan α helyettesítjük.

[110] A kevésbé divergens megoldás választását egy valamely értéknél „levágott” potenciál vizsgálatával és az r0→0 határátmenet későbbi elvégzésével lehet megalapozni, amint azt III. 35. §-ban tettük.

[111] Ezt a kérdést „levágott” potenciálok esetére V. Sz. Popov tanulmányozta (Jagyernaja Fizika, 12, 429 (1970); ZSETF, 59, 965 (1970)).

[112] E szakaszban a továbbiak során p a |p|=√(ε2–m2)-et jelöli.

[113] Csakúgy, mint a Schrödinger-egyenlet esetén, a Coulomb-potenciál csökkenésének lassúsága a hullám fázisának deformációjára vezet, a fázis az r lassan változó függvényévé válik.

[114] Taszító tér esetében a hullámfüggvényeket Zα előjelének (és egyúttal ν előjelének) megváltoztatásával kapjuk.

[115] Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ez a képlet nr=0 esetén is érvényes marad.