Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

35.§. Mozgás centrális erőtérben

35.§. Mozgás centrális erőtérben

Vizsgáljuk az elektron mozgását centrális elektromos térben.

Minthogy centrális térben történő mozgás során az impulzusmomentum és a paritás (a tér középpontjára mint origóra vonatkoztatva) megmarad, így e mozgás hullámfüggvényeinek szögfüggésére mindaz érvényes, amit a  24. §-ban a szabad részek gömbhullámaira vonatkozólag elmondtunk. Csak a radiális függvények változnak meg. Ennek megfelelően a stacionárius állapotok hullámfüggvényét (a standard reprezentációban) a következő alakban keressük:

4.26. egyenlet - (35,1)

ψ=ψχ=f(r)Ωjlm(1)1+ll2g(r)Ωjlm,


ahol l=j±(1/2), l′=2j–l, és –1 hatványát a későbbi előnyös írásmód kedvéért vezettük be.

A Dirac-egyenlet standard reprezentációban a következő egyenletrendszert jelenti φ-re és χ-re:

4.27. egyenlet - (35,2)

(𝜀mU)φ=σpχ,(𝜀+mU)χ=σpφ,(35,2)


ahol U(r)=eΦ(r) az elektron potenciális energiája a sztatikus térben. A (35,1) kifejezés behelyettesítése a (35,2) egyenletek jobb oldalának kiszámítására redukálódik.

Az Ωjl′m gömbharmonikust Ωjlm segítségével kifejezve,

Ωjl′m=il–l′(σ(r/r))Ωjlm

[l. (24,8)] adódik, és így

(σp)χ=–i(σp)(σr)(g/r)Ωjlm

írható. A (σp)(σr) szorzatot a (33,5) kifejezés segítségével átírva, a vektorműveletek elvégzése után

(σp)χ =–i[pr+iσ(p×r)](g/r)Ωjlm=[–divr–(r∇)–σ(r×p)](g/r)Ωjlm= =–[g′+(2/r)g+(g/r)σl]Ωjlm

adódik, ahol l=r×p a pályamomentum operátora ; a vessző r szerinti differenciálást jelent. A σl=2ls operátor sajátértékei:

σl=j2–l2–s2=j(j+1)–l(l+1)–(3/4)={j–(1/2), hal=j–(1/2), / –j–(3/2), hal=j+(1/2).

A képletek egységes írásmódja kedvéért kényelmes a következő jelölést bevezetni:

4.28. egyenlet - (35,3)

ϰ=j+12=(l+1),haj=l+12,+j+12=l,haj=l12.


A ϰ szám a 0érték kivételével befutja az összes egész számot (miközben a pozitív számok a j=l–(1/2) esetnek, a negatívok a j=l+(1/2) esetnek felelnek meg). Ekkor lσ=–(1+ϰ), így

(σp)χ=–(g′+(1–ϰ/r)g)Ωjlm.

E kifejezést a (35,2) egyenletek közül az elsőbe behelyettesítve, az Ωjlm gömbi spinor mindkét oldalon egyszerűsödik. Hasonló módon eljárva a második egyenlette1,[107] a radiális függvényekre a következő egyenletrendszert kapjuk:

4.29. egyenlet - (35,4)

f+1+ϰrf(𝜀+mU)g=0,g+1ϰrg+(𝜀mU)f=0,(35,4)


vagy

4.30. egyenlet - (35,5)

(fr)+ϰr(fr)(𝜀+mU)gr=0,(gr)ϰr(gr)+(𝜀mU)fr=0.(35,5)


Vizsgáljuk az f és g függvények viselkedését kis távolságok esetén, feltéve, hogy az U(r) függvény r→0-ra gyorsabban nő, mint 1∕r. Így kis r-ekre a (35,4) egyenletek a következő alakúak lesznek:

f′+Ug=0 g′–Uf=0.

Ezeknek van valós megoldásuk:

4.31. egyenlet - (35,6)

f=const sinUdr+δ,g=const cosUdr+δ,


ahol δ tetszőleges állandó. Ezek a függvények r→0 esetén oszcillálnak, anélkül, hogy határértékhez tartanának. Könnyen belátható, hogy ez a helyzet a részecske centrumba „esésének” felel meg.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy a vizsgált esetben a hullámegyenletnek tetszőleges ε mellett folytonos spektruma van, még |ε|<m esetén is. Valóban, a kis távolságok tartománya ekkor semmiféle megkötést nem ró ki a megoldás kiválasztására: a határfeltételek r=0-nál az oszcilláló függvényekre lényegében nem léteznek, így a δ fázisszög kiválasztása önkényes marad. Ezért a hullámfüggvény nagy r-ekre való megfelelő viselkedése [amely a (35,8) függvénnyel összeilleszthető] tetszőleges ε esetén δ megfelelő választásával megvalósítható.

A folytonos spektrumú esetben azonban tetszőleges hullámcsomag idővel kifolyik a tér bármely véges részéből (amint ezt a III. 10. § végén közölt megfontolások mutatják). Minthogy |ε|<m esetén a részecske nem távolodhat el végtelen messzire, így az origóba kell mennie, azaz beesik az erőcentrumba. A mozgás mintegy a kis r-ek felé közelítve végtelen. Ám a fent leírt helyzet a relativisztikus kvantumelmélet szemszögéből teljesen megengedhetetlen. A helyzet az, hogy a spektrum |ε|<m esetén való folytonossága miatt a pozitív és negatív frekvenciás megoldások nem válnak szét. Ez lehetetlenné teszi a rendszer valamiképpen is ésszerű leírását. Például a rendszer teljesen instabil: bármely perturbáció végtelen számú részecske–antirészecske pár keltésére vezet. Ezért az olyan tereket, amelyeknek potenciálja r→0 esetén 1∕r-nél gyorsabban növekszik, a Dirac-elméletben egyáltalán nem szabad vizsgálni. Hangsúlyozzuk, hogy ez tetszőleges előjelű potenciálokra igaz. Bár „bezuhanásról” csak vonzás esetén beszélhetünk, az U=eΦ potenciál előjele az e töltés előjelétől függ, és így egyik esetben az elektron-, a másikban a pozitronnívók fognak anomálisan viselkedni.

Vizsgáljuk a továbbiakban a hullámfüggvények viselkedését nagy távolságokra. Ha az U(r) tér elég gyorsan csökken r→∞ esetén, akkor a hullámfüggvény aszimptotikus alakjának meghatározásakor teljesen el lehet hanyagolni a teret az egyenletekben. Így ε>m esetén, azaz a folytonos spektrumú tartományban, a szabad mozgás egyenletére jutunk, azaz a hullámfüggvények aszimptotikus alakja (egy gömbhullám) csak kiegészítő „fáziseltolás” megjelenésében különbözik a szabad részecskéétől, amelynek értékét a tér kis távolságokon mutatott viselkedése határozza meg.[108] Ezek a fáziseltolások j és l, vagy ami ugyanaz, az előbb bevezetett ϰ szám értékétől (és természetesen az ε energiáétól) függenek. Ezeket δϰ-val jelölve és felhasználva a szabad gömbhullám (24,7) kifejezését, azonnal megadhatjuk a keresett aszimptotikus kifejezést:

4.32. egyenlet - (35,7)

ψ2π1r12𝜀𝜀+mΩjlm sinprπl2+δϰ𝜀mΩjlm sinprπl2+δϰ


(ahol p=√(ε2–m2)). A közös együtthatót a radiális függvények (24,5) szerinti normáltsága határozza meg.

A diszkrét spektrum (ε<m) hullámfüggvényeir→∞ esetén exponenciálisan csökkennek az

4.33. egyenlet - (35,8)

f=m+𝜀m𝜀g=A0rexp(rm2𝜀2)


törvény szerint, ahol A0állandó.

Csakúgy, mint a nemrelativisztikus elméletben, a δϰ fáziseltolások (pontosabban az e2iδϰ–1 mennyiségek) a szórásamplitúdót adják meg az adott térben (erről részletesebben a  37. §-ban lesz szó). Nem elemezzük itt e mennyiségek analitikus tulajdonságait (vö. III. 128. §), de megjegyezzük, hogy e2iδϰ, mint az energia függvénye, az eddigiekhez hasonlóan pólusokkal rendelkezik a részecske kötött állapotainak megfelelő pontokban. Az e2iδϰ függvény reziduuma e pontokban meghatározott módon kapcsolódik a diszkrét spektrum hullámfüggvényeinek aszimptotikus kifejezésében előforduló állandóhoz. E kapcsolat megadására általánosítsuk a III. (128,17) nemrelativisztikus összefüggést. Az ehhez szükséges számítások teljesen hasonló módon végezhetők el, mint III. 128. §-ban.

Differenciáljuk  (35,5) egyenleteket az energia szerint:

((∂rf/∂ε))′+(ϰ/r)(∂rf/∂ε)–(ε+m–U)(∂rg/∂ε) =rg, ((∂rg/∂ε))′–(ϰ/r)(∂rg/∂ε)+(ε–m–U)(∂rf/∂ε) =–rf

Szorozzuk e két egyenletet rendre rg-vel és –rf-fel, a (35,5) két egyenletét pedig rendre –rg-vel és rf-fel, azután a négy egyenletet adjuk össze. Az összes egyszerűsítés után a

(∂/∂r)[r2(g(∂f/∂ε)–f(∂g/∂ε))]=r2(f2+g2)

egyenlet adódik. Integráljuk ezt r szerint:

r2(g(∂f/∂ε)–f(∂g/∂ε))=∫0r(f2+g2)r2dr,

majd térjünk át az r→∞ határesetre. A normálási feltétel értelmében a jobb oldali integrál értéke 1-hez tart. A bal oldalon vegyük figyelembe, hogy az aszimptotikus tartományban az f és g függvényeket a következő egyenlőség köti össze:

rg=((rf)′/ε+m)

[ez (35,5)-ből az U és az 1∕r-et tartalmazó tagok elhanyagolásával adódik]. Ekkor igaz a következő egyenlőség:

4.34. egyenlet - (35,9)

1𝜀+m(rf)rferfrf𝜀=1.


Ez a képlet csak egy együtthatóban (ε+m a 2m helyett) különbözik az analóg nemrelativisztikus (a χ függvényre vonatkozó) összefüggéstől. Ezért nem szükséges a további számítások megismétlése, hanem azonnal a végső alakot adjuk meg, amely az ε=ε0 pont körül érvényes (ε0 a szint energiája):

4.35. egyenlet - (35,10)

e21δϰ=(1)l2A02𝜀𝜀0m𝜀0m+𝜀0,


ahol A0(35,8) aszimptotikus kifejezés együtthatója.

Feladat

Adjuk meg a hullámfüggvény aszimptotikus alakját kis r-ekre az U∼r–ϰ,s<1 térben.

Megoldás. Szabad részecske esetén kis r-ekre: f∼rl,g∼rl′, azaz l<l′ esetén f≫g, viszont l>l′ esetén f≪g. Tegyük fel (amint azt majd az eredmény igazolja), hogy ez a reláció fennáll a vizsgált tér esetén is. l<l′ (azaz l=j–(1/2),ϰ=–l–1) esetén (35,4) első egyenletében a g-vel arányos tagot el lehet hagyni, így mint előbb, f∼rl. A második egyenletből ekkor g∼rfU, azaz g∼rl+1–s=rl′–s. Hasonló módon vizsgálhatjuk az l>l′ esetet. Az eredmény:

hal<l′: f∼rl, g∼rl′–s; hal>l′: f∼rl–s, g∼rl′.



[107] Nem szükséges megismételni a számításokat. Elegendő észrevenni, hogy az első egyenletből a másodikra [mint ezt a (35,1), (35,2) egyenletekből láthatjuk] az f→g, g→–f, m→–m, l→l′, ϰ→–ϰhelyettesítéssel térhetünk át.

[108] Vö. III. 33.§. Csakúgy, mint a nemrelativisztikus esetben, U(r) gyorsabban kell, hogy csökkenjék, mint 1∕r. Az U∼1∕r esetet a  36. §-ban külön vizsgáljuk.