Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

34.§. A hidrogénatom finomszerkezete

34.§. A hidrogénatom finomszerkezete

Határozzuk meg a hidrogénatom – a mozdulatlan mag Coulomb-terében mozgó elektron – energiaszintjeinek relativisztikus korrekcióit.[104] A hidrogénatomban az elektron sebességének nagyságrendje v∕c∼α≪1. Ezért a keresett korrekciókat a perturbációelmélet alkalmazásával – mint a közelítő (33,12) Hamilton-operátor relativisztikus tagjainak a perturbálatlan állapotokon (azaz a nemrelativisztikus hullámfüggvényen) vett várható értékét – adhatjuk meg. A nagyobb általánosság kedvéért a mag töltését Ze-nek vesszük, feltéve eközben, hogy Zα≪1.

A mag terének erőssége E=Zer∕r3, amelyhez tartozó potenciál kielégíti a ΔΦ=–4πZeδ(r) egyenletet. Ezt (33,12) utolsó három tagjába helyettesítve és figyelembe véve, hogy az elektron töltése negatív, a következő alakú perturbáló Hamilton-operátort kapjuk:

4.22. egyenlet - (34,1)

V=p48m3+Zα2r3m2ls+Zαπ2m2δ(r).


Minthogy a Schrödinger-egyenlet alapján

p2ψ=2m(ε0+(Zα/r))ψ

(ahol ε0=–(mZ2α2/2n2) a perturbálatlan nívó , n a főkvantumszám), így a

p4¯=4m2(ε0+(Zα/r))2¯

várható érték adódik az első tagra. Ezt az átlagot, csakúgy, mint (34,1) második tagjáét, a következő képletek segítségével számítjuk ki (l. III. 36. §):

4.23. egyenlet - (34,2)

r1¯=mαZn2,r2¯=(mαZ)2n3l+12r3¯=(mαZ)3n3ll+12(l+1)


(ez utóbbi nyilván csak l≠0 esetén érvényes); míg az ls operátor sajátértékei:

ls=(1/2)[j(j+1)–l(l+1)–(3/4)] l≠0esetén,ls=0 l=0esetén.

Végül a harmadik tagot a következő képletek segítségével átlagolhatjuk:

4.24. egyenlet - (34,3)

ψ(0)=1πZαmn32,l=0;ψ=(0),l0.


A fenti összefüggések alapján egyszerű számítással a következő képlet adódik jés l minden értékére:

4.25. egyenlet - (34,4)

Δ𝜀=m(Zα)42n31j+1234n.


(34,4) egyenlet adja meg a hidrogénnívók relativisztikus korrekcióit – a finomszerkezet energiáit.[105] Emlékeztetünk arra a körülményre, mely szerint a nemrelativisztikus elméletben a nívók a spinirány és lértéke szerint egyaránt elfajultak. A finomszerkezet (a spin–pálya kölcsönhatás ) megszünteti ezt a degenerációt, de nem teljesen: az azonos nés jértékű, de eltéről=j±(1/2)értékűállapotok kétszeres elfajulást mutatnak (viszont az adott n esetén lehetséges maximálisj=jmax=lmax+(1/2)=n–(1/2) kvantumszámmal jellemzett állapot nem elfajult).[106]Így a hidrogén energiaszintjei a finomszerkezet figyelembevételével a következők lesznek:

1s1∕2; 2s1∕2,2p1∕2︸,2p3∕2; 3s1∕2,3p1∕2︸,3p3∕2,3d3∕2︸,3d5∕2. …………

Az n főkvantumszámú szint tehát a finomszerkezet n komponensére bomlik fel.

A továbbiakban látni fogjuk, hogy az itt fennmaradt elfajulást az úgynevezett sugárzási korrekciók szüntetik meg (Lamb-eltolódás) , amelyet az egyelektronos feladat Dirac-egyenlete nem vesz figyelembe.

Előretekintve, már itt rámutatunk arra, hogy ezek a korrekciók ∼mZ4α5ln(1∕α) nagyságrendűek. A spin–pálya kölcsönhatásból származó másodrendű korrekció ∼m(Zα)6 nagyságrendű lenne, így a sugárzási korrekciókhoz viszonyított aránya ∼Z2α∕ln(1∕α). Hidrogén esetén (Z=1) ez a hányados nyilván igen kicsiny, és ezért az egyelektronos Dirac-egyenlet pontos megoldásának nincs értelme. Nagyobb Z-jű magok esetén azonban ez a feladat értelmessé válik (36. §).



[104] A mag mozgásának e korrekciók nagyságára gyakorolt hatása kisebb rendű, így ezzel itt nem foglalkozunk.

[105] Ezt a képletet csakúgy, mint a pontosabb (36,10) egyenletet elsőként A. Sommerfeld vezette le a régi Bohr-elméletből, még a kvantumelmélet felfedezése előtt.

[106] Ez a degeneráció a Coulomb-tér esetében fennálló speciális megmaradási tétel következménye: a Dirac-egyenlet Hamilton-függvényeH=αp+βm–e2∕r felcserélhető az I=(r/r)Σ+(i/me2)β(Σl+1)γ5(H–mβ)operátorral (M. H. Johnson , B. A. Lipman , 1950).Nemrelativisztikus határátmenetben I→ΣA, ahol A=(r/r)+(1/2me2)(l×p–p×l),ami a Coulomb-térbeli klasszikus mozgás integráljának megfelelő operátor (l. I. 15. §). A Coulomb-térbeli nemrelativisztikus, véletlenszerű degeneráció az A mennyiség megmaradásával kapcsolatos.