Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

33.§. Sorfejtés 1/c hatványai szerint

33.§. Sorfejtés 1/c hatványai szerint[99]

Mint a  21. §-ban láttuk, nemrelativisztikus határesetben (v→0) a ψ=(φ / χ) komponensei közül kettő (χ) zérussá válik. Ezért kis elektronsebességek esetén χ≪φ. Az egyenlőtlenség révén közelítő egyenletre juthatunk, amely csak a kétkomponensű φ mennyiséget tartalmazza, amennyiben a hullámfüggvényt formálisan sorba fejtjük 1∕c hatványai szerint.

Induljunk ki az elektronra külső térben érvényes Dirac-egyenletből

4.11. egyenlet - (33,1)

iψt=cαpecA+βmc2+eΦψ.


A részecske relativisztikus energiakifejezése annak mc2 nyugalmi energiáját is tartalmazza. A nemrelativisztikus határátmenet előtt ezt a tagot ki kell küszöbölnünk, ezért ψ helyett bevezetjük a

ψ=ψ′e–imc2t∕ℏ

összefüggéssel definiált ψ′ hullámfüggvényt. Ekkor

(iℏ(∂/∂t)+mc2)ψ′={cα(p–(e/c)A)+βmc2+eΦ}ψ′.

ψ′-t a ψ′=(φ′ / χ′) alakban előállítva, a következő egyenletrendszerre jutunk:

(iℏ(∂/∂t)–eΦ)φ′ =cσ(p–(e/c)A)χ′, (33,2) (iℏ(∂/∂t)–eΦ+2mc2)χ′ =cσ(p–(e/c)A)φ′ (33,3)

(az alábbiakban φ-ről és χ-ről a vesszőket elhagyjuk; ez azonban nem vezethet félreértésekre, mivel ebben a szakaszban csak a transzformált ψ mennyiséggel dolgozunk).

Az első közelítésben (33,3) bal oldalán csak a 2mc2χ tag marad vissza, és így az adódik, hogy

4.12. egyenlet - (33,4)

χ=12mcσpecAφ


(megjegyzendő, hogy χ∼φ∕c). Ezt a kifejezést (33,2)-be helyettesítve, kapjuk, hogy

(iℏ(∂/∂t)–eΦ)φ=(1/2m)(σ(p–(e/c)A))2φ.

A Pauli-mátrixokra a következő összefüggés érvényes:

4.13. egyenlet - (33,5)

(σa)(σb)=ab+iσ(a×b),


ahol a, b tetszőleges vektorok [lásd (20,9)]. A vizsgált esetben a=b=p–(e/c)A, de az a×b vektorszorzat nem nulla, mivel pés A nem feleserélhetők:

[(p–(e/c)A)(p–(e/c)A)]φ=i(eℏ/c)(A×∇+∇×A)φ=i(eℏ/c)rotA⋅φ.

Ennek alapján

4.14. egyenlet - (33,6)

σpecA2=pecA2ecσH


(ahol H=rotA a mágneses térerősség), és φ-re és következő egyenlet adódik:

4.15. egyenlet - (33,7)

iφt=Hφ=12mpecA2+eΦe2mcσHφ.


Ez a Pauli-egyenlet . A nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettől a Hamilton-operátor utolsó tagjában különbözik, amely a külső mágneses térbe helyezett mágneses dipólus potenciális energiájával egyező alakú (összehasonlításul l. III. 111. §). Így az 1∕c hatványai szerinti első közelítésben az elektron olyan részecskeként viselkedik, melynek töltése mellett

4.16. egyenlet - (33,8)

μ=e2mcσ=emcs


mágneses momentuma van. A giromágneses tényező (e∕mc) kétszerte nagyobb, mint a pályamozgással kapcsolt mágneses momentum esetén lenne.[100]

A ϱ=ψ∗ψ=φ∗φ+χ∗χ sűrűségben a második tag első közelítésben elhagyható, így ϱ=|φ|2, amint azt a Schrödinger-egyenlet megköveteli.

Az áramsűrűség alakja

j=cψ∗αψ=c(φ∗σχ+χ∗σφ).

(33,4)-ből behelyettesíthetjük a

χ=(1/2mc)σ(–iℏ∇–(e/c)A)φ, χ∗=(1/2mc)(iℏ∇–(e/c)A)φ∗⋅σ

alakokat, egyidejűleg kihasználjuk, hogy a σ szorzókat tartalmazó tagok a (33,5) képlet segítségével a következőképpen alakíthatók át:

4.17. egyenlet - (33,9)

(σa)σ=a+iσ×a,σ(σa)=a+ia×σ.


A végeredmény:

4.18. egyenlet - (33,10)

j=i2m(φφφφ)emcAφφ+2mrot(φσφ),


amely megegyezik a III. (115,4) kifejezéssel, melyet a nemrelativisztikus elméletből kaptunk.

Adjuk most meg a második közelítést az 1∕c hatványok szerinti sorfejtést folytatva.[101] Ennek során feltesszük, hogy csak elektromos külső tér van jelen (A=0).

Először is vegyük észre, hogy az ∼1∕c2-es tagok figyelembevételével a ϱ sűrűségre a

ϱ=|φ|2+|χ|2=|φ|2+(ℏ2/4m2c2)|σ∇φ|2

alak adódik. Ez a kifejezés eltér a Schrödinger-félétől. Figyelembe véve, hogy célunk egy, a Schrödinger-egyenlettel analóg egyenlet megtalálása (második közelítésben), be kell vezetnünk φ helyett egy másik (kétkomponensű) mennyiséget, φSchr-t, amellyel az időben állandó integrál ∫|φSchr|2dV alakú lesz, amint azt a Schrödinger-egyenlet megköveteli.

A szükséges transzformáció megvilágítására írjuk fel az előbbi integrált:

∫φSchr∗φSchrdV=∫{φ∗φ+(ℏ2/4m2c2)(∇φ∗⋅σ)(σ∇φ)} dV,

és végezzük el a következő parciális integrálást:

∫(∇φ∗⋅σ)(σ∇φ) dV=–∫φ∗(σ∇)(σ∇)φdV=–∫φ∗ΔφdV

(ugyanez adódik φ és φ∗ felcserélésével is). Így

∫φSchr∗φSchrdV=∫{φ∗φ–(ℏ2/8m2c2)(φ∗Δφ+φΔφ∗)} dV,

ahonnan látszik, hogy

4.19. egyenlet - (33,11)

φSchr=1+p28m2c2φ,φ=1p28m2c2φSchr.


Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az állapot stacionárius, azaz a –iℏ(∂/∂t) operátor helyére az ε energia írható (levonva belőle a nyugalmi energiát). Ekkor a (33,4)-re a következő közelítésben (33,3)-ból χ-re a

χ=(1/2mc)(1–(ε–eΦ/2mc2))(σp)φ

kifejezést kapjuk. Ezt behelyettesítve (33,2)-be, majd φ-t φSchr-rel (33,11) szerint kifejezve, mindvégig elhagyva az 1∕c2-nél magasabb rendű tagokat, egyszerű számolással εφSchr=HφSchr alakú egyenletet vezethetünk le φSchr-re, melynek Hamilton-operátora

H=(p2/2m)+eΦ–(p4/8m3c2)+(e/4m2c2){(σp)Φ(σp)–(1/2)(p2Φ+Φp2)}.

A kapcsos zárójelbeli kifejezés a következő egyenletek segítségével átalakítható:

(σp)Φ(σp)=Φp2+(σpΦ)(σp)=Φp2+iℏ(σE)(σp);
p2Φ–Φp2=–ℏ2ΔΦ+2iℏEp

(ahol E=–∇Φ az elektromos térerősség ). A Hamilton-operátor végleges alakja:

4.20. egyenlet - (33,12)

H=p22m+eΦp48m3c2e4m2c2σ(E×p)e28m2c2divE.


Az utolsó három tag a keresett 1∕c2 rendű korrekciót adja. Közülük az első a mozgási energia relativisztikus impulzusfüggésének következménye (a c√(p2+m2c2)–mc2 különbség sorfejtése). A második tag, amelyet a spin–pálya kölcsönhatás energiájának is szokás nevezni – a mozgó mágneses momentum és az elektromos tér kölcsönhatásának energiája.[102] Az utolsó tag csak azokban a pontokban különbözik nullától, ahol a külső teret létrehozó töltés található [így Ze töltésű pontszerű részecske Coulomb-tere esetén: ΔΦ=–4πZeδ(r) (C. G. Darwin , 1928)].

Ha az elektromos tér gömbszimmetrikus (centrális), akkor

E=–(r/r)(dΦ/dr),

és a spin–pálya kölcsönhatás operátorát a következő alakban állíthatjuk elő:

4.21. egyenlet - (33,13)

e4m2c2rσ(r×p)dΦdr=22m2c2rdUdrls.


Itt l a pályamomentum-operátor, s=(1/2)σ az elektron spinoperátora,U=eΦ pedig az elektron külső térbeli potenciális energiája .[103]



[99] Ebben a szakaszban a szokásos mértékegységeket használjuk.

[100] Ezt a figyelemreméltó eredményt Dirac vezette le 1928-ban. A (33,7) egyenletet kielégítő kétkomponensű mennyiségeket W. Pauli vezette be 1927-ben, még a Dirac-egyenlet felfedezése előtt.

[101] Az alábbiakban V. B. Bereszteckij és L. D. Landau módszerét követjük (1949).

[102] Bevezetve a (33,8) mágneses momentumot és a v=p∕m sebességet, ezt az energiát –(1/2c) alakban írhatjuk. Első pillantásra az eredmény természetellenesnek tűnhet, minthogy a részecskével együtt mozgó rendszerre áttérve, H=(1/c)(E×v) mágneses tér lép fel, amelyben a mágneses momentum energiája–μH. Ez az okoskodás azonban még nem veszi kellő módon figyelembe a részecskével együtt mozgó vonatkoztatási rendszer gyorsuló jellegét. Az 1∕2 szorzó megjelenése (L. Thomas , 1926) a relativisztikus invariancia általános, az elektronnak mint „spinor” részecskének specifikus tulajdonságait (így giromágneses faktorát) figyelembe vevő követelményének következménye. (l.  41. §).

[103] (33,13) képletet használtuk III. 72. §-ban.