Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

31.§. A 3/2 spinű részecskék hullámegyenlete

31.§. A 3/2 spinű részecskék hullámegyenlete

Egy 3∕2 spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy háromdimenziós, harmadrendű szimmetrikus spinor (amelynek 2s+1=4 független komponense van) ír le. Ennek megfelelően, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben a részecske leírásában a ξαβ̇γ̇, ηα̇βγ és a ζαβγ, χα̇β̇γ̇ négyesspinorok szerepelhetnek, amelyek szimmetrikusak az egyforma (pontozott vagy pontozatlan) indexeikben; tükrözéskor az első és a második párban levő spinorok egymásba mennek át.

Ahhoz, hogy a nyugalmi rendszerben a ξαβ̇γ̇ és ηα̇βγ négyesspinorok mindhárom indexükben szimmetrikus hármasspinorokba menjenek át, eleget kell tenniük a

3.233. egyenlet - (31,1)

pα̇βηα̇βγ=0,pαβ̇ξαβ̇γ̇=0


feltételeknek. Valóban, a nyugalmi rendszerben

pα̇β→p0δαβ=mδαβ

[amint ez (20,1)-ből látható]. Ezért a (31,1) feltételek a

δαβη′αβγ=0, δαβξ′αβγ=0

egyenlőségekhez vezetnek, ahol a vesszős mennyiségek a megfelelő háromdimenziós spinorokat jelentik; más szóval, ezek a spinorok az αβ indexeket összeejtve nullát adnak, ez pedig azt jelenti, hogy szimmetrikusak ezekben az indexeikben, tehát mindhárom indexükben is.

A ξ és η spinorok között differenciális kapcsolatot létesítenek a következő összefüggések:

3.234. egyenlet - (31,2)

pδγ̇ηαδβ̇=mξαβ̇γ̇,pδγ̇ξαβ̇γ̇=mηαδβ̇.(31,2)


A fenti egyenletek bal oldalainak szimmetrikus voltát (a β̇, γ̇ vagy az α, δ indexekben) a (31,1) feltételek biztosítják – ezeket az indexeket összeejtve, nullát kapunk. A (31,2) egyenletek miatt a nyugalmi rendszerben a ξ′és η′ háromdimenziós spinorok, amint az várható is, egybeesnek. A (31,2) egyenletekből η-t vagy ξ-t kiküszöbölve, azt találjuk, hogy a ξés η spinorok mindegyik komponense kielégíti a

3.235. egyenlet - (31,3)

(p2m2)ξαβ̇γ̇=0


másodrendű egyenletet.

(31,1), (31,2) egyenletek egy 3∕2 spinű részecske hullámegyenleteinek teljes rendszerét alkotják.[95] A ζ és χ spinorok hozzávétele semmi újat nem hozna. Ezek a következőképpen adhatók meg:

mζαβγ =pαδ̇ηδ̇βγ, mχα̇β̇γ̇ =pα̇δχβ̇γ̇δ.

A 3∕2 spinű részecskékre vonatkozó egyenleteket olyan alakban is megfogalmazhatjuk, amely a spinorok vektortulajdonságait használja fel (W. Rarita , J. Schwinger , 1941; A. Sz. Davidov , I. E. Tamm , 1942).Az αβ̇ spinorindexeknek egy négydimenziós vektorindex feleltethető meg. Így a ξαβ̇γ̇ harmadrendű spinor helyettesíthető a ψμγ̇ „kevert” mennyiséggel, amelynek egy vektor- és egy spinorindexe van. Az ηβ̇αγ spinornak is megfeleltetünk egy ψμγ mennyiséget, a két spinor együttesének pedig a ψμ „vektor”-bispinort (a bispinorindexet nem írjuk ki). A hullámegyenlet ekkor az egyes vektorkomponensekre felírt „Dirac-egyenlet” lesz:

3.236. egyenlet - (31,4)

(p̂m)ψμ=0,


és teljesülnie kell még a következő kiegészítő feltételnek is:

3.237. egyenlet - (31,5)

γμψμ=0.


A γμ mátrixok spinorreprezentációban felírt kifejezését, valamint a spinorok és vektorok komponensei közti kapcsolatot leíró (18,6), (18,7) képleteket felhasználva, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy (31,4) tartalmazza a (31,2) egyenleteket, és a (31,5) feltétel ekvivalens azzal a követelménnyel, hogy a ξαβ̇γ̇és ηα̇βγ spinorok szimmetrikusak legyenek a β̇γ̇, ill. a βγ indexekben. A (31,4) egyenletet γμ-vel szorozva,(31,5) miatt azt kapjuk, hogy

γμγνpνψμ=0,

vagy a γμ mátrixok felcserélési szabályát felhasználva,

3.238. egyenlet - (31,6)

2gμνpνψμγνpνγμψμ=0.


A második tag (31,5) miatt zérus, tehát az elsőből

3.239. egyenlet - (31,7)

pμψμ=0.


Könnyen látható, hogy ez a feltétel, amely automatikusan következik (31,4)-bőlés (31,5)-ből, ekvivalens a (31,1) feltételekkel.

Végül, a hullámegyenletet úgy is meg lehet fogalmazni, hogy bevezetjük a három bispinorindexszel rendelkező, mindhárom indexében szimmetrikus ψikl(i,k,l=1,2,3,4) mennyiséget (V. Bargmann , E. P. Wigner , 1948). A ψikl komponensek összessége ekvivalens a ξ, η, ζ, χ spinorok komponenseinek összességével. A hullámegyenlet „Dirac-egyenletek” rendszereként írható fel:

3.240. egyenlet - (31,8)

pμγimμψmkl=mψikl.


Könnyű belátni, hogy ezek az egyenletek már a szükséges számú (négy független) ψikl komponenst eredményezik, így nem kell kiegészítő feltételeket kiróni. Valóban, a nyugalmi rendszerben (31,8) a

γim0ψmkl=ψikl

egyenlőségekre vezet, amelyek következtében (standard reprezentációban) az összes i,k,l=3,4 komponens eltűnik, azaz ψikl háromdimenziós harmadrendű spinorba megy át.

A fentebb tárgyalt eredmények nyilvánvaló módon általánosíthatók tetszőleges félegész s spinű részecskére. A (31,4) és (31,5) képlethez hasonló leírásban a hullámfüggvény (2s–1)∕2 rendű szimmetrikus négyestenzor lesz, egy bispinorindexszel. A (31,8) alakú egyenletek használata esetén a hullámfüggvénynek 2s bispinorindexe van, és ezekben szimmetrikus.



[95] A fenti egyenletek Lagrange-függvényes megfogalmazásáról lásd Fierz és Pauli II. fejezet, 19. lábjegyzetben idézett cikkét.