Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Az a tény, hogy egy spinű részecske leírásához két spinort (
és
) kell használni, amint azt a 20. §-ban láttuk, a részecske tömegével áll kapcsolatban. Ez az ok elesik, ha a
részecske tömege nulla. Egy ilyen részecskét leíró hullámegyenletet már egyetlen spinor
(például egy pontozott spinor,
) segítségével is fel lehet írni:
A 20. §-ban azt is megjegyeztük, hogy az
-et tartalmazó hullámegyenlet automatikusan szimmetrikus a térbeli
tükrözésre nézve (
transzformáció). Ha a részecskét egyetlen spinorral írjuk le, ez a
szimmetria elvész. Azonban nincs is rá szükség, mert a tükrözéssel szembeni szimmetria a
természetnek nem univerzális tulajdonsága.
Egy tömegű részecske energiája és impulzusa között fennáll az
összefüggés. Így síkhullám (
) esetén a (30,2) egyenletből azt
kapjuk, hogy
ahol a
irányú egységvektor. Ugyanilyen egyenletnek tesz eleget a „negatív
frekvenciás” hullámfüggvény ,
(
) is:
Innen következik, mint általában, hogy az antirészecske hullámfüggvénye.
A operátorok (20,1) definíciójából
látható, hogy
. Így a komplex konjugált
spinor kielégíti a
egyenletet, vagy ami ugyanaz,
Vezessük be az jelölést, azt a tényt fejezve ki ezzel, hogy a komplex konjugálás
pontozott spinorból pontozatlant csinál. Tehát az antirészecske hullámfüggvénye eleget
tesz a
egyenletnek. Innen síkhullámra
Viszont a spin mozgásirányú vetületének operátora. Ezért a (30,3)és (30,8)
egyenletek azt jelentik, hogy adott impulzusúállapotok automatikusan
helicitás-sajátállapotok – a spin mozgásirányú vetületének határozott értéke van. Ha a
részecske spinje az impulzussal ellentétes irányú (
helicitás), akkor az antirészecske spinje az impulzus irányába mutat
(
helicitás).
Úgy tűnik, hogy ilyen tulajdonságú részecskék a természetben létező
neutrinók. Megállapodás szerint a helicitású részecskét neutrinónak, a
helicitású, részecskét antineutrinónak nevezzük.[94]
Azzal kapcsolatban, hogy a neutrinoállapotok a spin iránya szerint nem degeneráltak,
emlékeztetünk a 8. §-ban tett megjegyzésre, amely
szerint egy tömegű részecskére csak az impulzus irányára vonatkozó axiális
szimmetria jellemző. Valódi semleges részecske – a foton – esetén ez a szimmetria
tartalmazza a tengely körüli elforgatásokat és a tengelyen átmenő síkokban történő
tükrözéseket. Neutrino esetén a tükrözési szimmetria hiányzik, csak a tengely körüli
elforgatások csoportja marad meg, amely megőrzi az impulzusmomentum tengelyirányú
vetületét, és az előjelét sem változtatja meg. A tükrözési szimmetria csak akkor
létezik, ha egyidejűleg a részecskét antirészecskére cseréljük.
Azt is meg kell jegyeznünk, hogy a kötelezően longitudinális polarizáció azt jelenti, hogy a neutrino spinje egyáltalán nem választható szét a pálya-impulzusmomentumtól (akárcsak a foton esetében, ahol a polarizáció feltétlenül transzverzális, l. 6. §).
Egyetlen egy (vagy
) spinorral mindössze négy bilineáris kombináció képezhető. Ezek együtt
négyesvektort alkotnak:
Könnyű belátni, hogy a
egyenletek miatt teljesül a kontinuitási egyenlet, azaz
a részecskék áramsűrűségének négyesvektorát jelenti.
A neutrinót leíró síkhullámokat célszerű úgy normálni, ahogy azt a 23. §-ban a tömeggel rendelkező részecskékkel tettük:
invariáns feltétel segítségével vannak normálva. Ekkor a részecskék sűrűsége
és áramsűrűsége: ,
.
Mivel egy adott impulzusú, szabad neutrino mindig teljesen polarizált, ebben az
esetben értelmetlen (spin szerinti) kevert állapotról beszélni. Ennek ellenére néha
célszerű lehet a -es polarizációs „sűrűségmátrixot” használni, amelyen egyszerűen a
másodrendű spinort értjük (ekkor ). Vegyük észre, hogy ennek a mátrixnak ki kell elégítenie az
egyenleteket. Innen látszik, hogy
Mikor különböző kölcsönhatási folyamatokat vizsgálunk, a neutrinók más, tömeggel
rendelkező ( spinű) részecskékkel együtt léphetnek fel. Az utóbbiakat
négykomponensű hullámfüggvényekkel kell leírni. Az ilyen esetekben az egységes
jelölésmód céljából a neutrinóra is érdemes formálisan bevezetni egy „bispinor”
hullámfüggvényt, amelynek két komponense nulla:
. Azonban
-nek ez az alakja általában véve nem marad meg, ha más (nem spinor)
reprezentációra térünk át. Ezt a nehézséget megkerülhetjük, ha észrevesszük, hogy a
spinorreprezentációban azonosan igaz, hogy
ahol tetszőleges „ballaszt” spinor, amely az eredményekből kiesik [a
mátrixot (22,18)-ból vettük]. Így a
neutrino valódi „kétkomponensű jellege” minden reprezentációban fennáll, ha az őt leíró
hullámfüggvény a Dirac-egyenlet megoldása
esetén:
kiegészítő feltételnek is eleget tesz.
Ezt a feltételt figyelembe vehetjük, ha mindenütt, ahol -nek és
-nak szerepelnie kell, helyettük a következő kifejezéseket írjuk:
Így az áramsűrűség négyesvektora a
következő alakot ölti [a kifejezésben a (30,16)
helyettesítéssel]:
Hasonlóképpen a neutrino -es sűrűségmátrixa:
Spinorreprezentációban, amint azt várható, ez a (30,13)-es mátrixra redukálódik:
Az antineutrinóra vonatkozó megfelelő képletek előjelében különböznek.
A neutrino elektromosan semleges részecske. A fenti tulajdonságú neutrino azonban nem valódi semleges részecske. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a kétkomponensű spinor segítségével leírt „neutrinotér” a számára lehetséges részecskeállapotokat tekintve (de természetesen nem a többi fizikai tulajdonságában) ekvivalens egy négykomponensű bispinorral leírt valódi semleges térrel. Adott helicitású részecskék és antirészecskék helyett egy részecskénk lenne, két lehetséges helicitásállapotban, és a tükrözési szimmetria automatikusan fennállna. Megjegyzendő azonban, hogy a „négykomponensű” neutrino zérus tömege „véletlen” jellegű volna, mivel ez nem lenne kapcsolatban a részecskét leíró hullámegyenlet szimmetriatulajdonságaival (amely nemzérus tömeget is megengedne). Ezért egy ilyen részecske esetén a különböző kölcsönhatások figyelembevétele automatikusan ahhoz vezetne, hogy a részecskének kicsi, de mégsem szigorúan zérus nyugalmi tömege jelenne meg.