ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

30.§. A neutrino

Az a tény, hogy egy 1∕2 spinű részecske leírásához két spinort ( és ) kell használni, amint azt a 20. §-ban láttuk, a részecske tömegével áll kapcsolatban. Ez az ok elesik, ha a részecske tömege nulla. Egy ilyen részecskét leíró hullámegyenletet már egyetlen spinor (például egy pontozott spinor, ) segítségével is fel lehet írni:

3.215. egyenlet - (30,1)

p^{α \dot{β}} η_{\dot{β}} = 0,

vagy ugyanez más alakban:

3.216. egyenlet - (30,2)

(p_{0} + p σ) η = 0 .

A 20. §-ban azt is megjegyeztük, hogy az -et tartalmazó hullámegyenlet automatikusan szimmetrikus a térbeli tükrözésre nézve ( ξ↔η transzformáció). Ha a részecskét egyetlen spinorral írjuk le, ez a szimmetria elvész. Azonban nincs is rá szükség, mert a tükrözéssel szembeni szimmetria a természetnek nem univerzális tulajdonsága.

Egy m=0 tömegű részecske energiája és impulzusa között fennáll az ε=|p| összefüggés. Így síkhullám ( ηp∼e–ipx ) esetén a (30,2) egyenletből azt kapjuk, hogy

3.217. egyenlet - (30,3)

(n σ) η_{p} = - η_{p},

ahol a irányú egységvektor. Ugyanilyen egyenletnek tesz eleget a „negatív frekvenciás” hullámfüggvény , ( η–p∼eipx ) is:

3.218. egyenlet - (30,4)

(n σ) η_{- p} = - η_{- p} .

A másodkvantált téroperátor:

3.219. egyenlet - (30,5)

\begin{matrix} \begin{aligned} η & = \sum_{p} (η_{p} a_{p} + η_{- p} b_{p}^{+}), \\ η^{+} & = \sum_{p} (η_{p}^{*} a_{p}^{+} + η_{- p}^{*} b_{p}) . \end{aligned} & (30,5) \end{matrix}

Innen következik, mint általában, hogy η–p∗ az antirészecske hullámfüggvénye.

A pαβ̇ operátorok (20,1) definíciójából látható, hogy pαβ̇∗=–pα̇β . Így a komplex konjugált spinor kielégíti a pα̇βηβ̇∗=0 egyenletet, vagy ami ugyanaz,

Vezessük be az ηβ̇∗=ξβ jelölést, azt a tényt fejezve ki ezzel, hogy a komplex konjugálás pontozott spinorból pontozatlant csinál. Tehát az antirészecske hullámfüggvénye eleget tesz a

3.220. egyenlet - (30,6)

p_{\dot{α} β} ξ^{β} = 0

vagy a

3.221. egyenlet - (30,7)

(p_{0} - p σ) ξ = 0

egyenletnek. Innen síkhullámra

3.222. egyenlet - (30,8)

(n σ) ξ_{p} = ξ_{p} .

Viszont (1/2)nσ a spin mozgásirányú vetületének operátora. Ezért a (30,3)és (30,8) egyenletek azt jelentik, hogy adott impulzusúállapotok automatikusan helicitás-sajátállapotok – a spin mozgásirányú vetületének határozott értéke van. Ha a részecske spinje az impulzussal ellentétes irányú ( –1∕2 helicitás), akkor az antirészecske spinje az impulzus irányába mutat ( +1∕2 helicitás).

Úgy tűnik, hogy ilyen tulajdonságú részecskék a természetben létező neutrinók. Megállapodás szerint a –1∕2 helicitású részecskét neutrinónak, a +1∕2 helicitású, részecskét antineutrinónak nevezzük.^[94]

Azzal kapcsolatban, hogy a neutrinoállapotok a spin iránya szerint nem degeneráltak, emlékeztetünk a 8. §-ban tett megjegyzésre, amely szerint egy tömegű részecskére csak az impulzus irányára vonatkozó axiális szimmetria jellemző. Valódi semleges részecske – a foton – esetén ez a szimmetria tartalmazza a tengely körüli elforgatásokat és a tengelyen átmenő síkokban történő tükrözéseket. Neutrino esetén a tükrözési szimmetria hiányzik, csak a tengely körüli elforgatások csoportja marad meg, amely megőrzi az impulzusmomentum tengelyirányú vetületét, és az előjelét sem változtatja meg. A tükrözési szimmetria csak akkor létezik, ha egyidejűleg a részecskét antirészecskére cseréljük.

Azt is meg kell jegyeznünk, hogy a kötelezően longitudinális polarizáció azt jelenti, hogy a neutrino spinje egyáltalán nem választható szét a pálya-impulzusmomentumtól (akárcsak a foton esetében, ahol a polarizáció feltétlenül transzverzális, l. 6. §).

Egyetlen egy (vagy ) spinorral mindössze négy bilineáris kombináció képezhető. Ezek együtt négyesvektort alkotnak:

3.223. egyenlet - (30,9)

j^{μ} = (η^{*} η, η^{*} σ η) .

Könnyű belátni, hogy a

egyenletek miatt teljesül a ∂μjμ=0 kontinuitási egyenlet, azaz a részecskék áramsűrűségének négyesvektorát jelenti.

A neutrinót leíró síkhullámokat célszerű úgy normálni, ahogy azt a 23. §-ban a tömeggel rendelkező részecskékkel tettük:

3.224. egyenlet - (30,10)

η_{p} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} u_{p} e^{- i p x}, η_{- p} = \frac{1}{\sqrt{2 𝜀}} u_{- p} e^{i p x},

ahol a spinoramplitúdók az

3.225. egyenlet - (30,11)

u_{\pm p}^{*} (1, σ) u_{\pm p} = 2 (𝜀, p)

invariáns feltétel segítségével vannak normálva. Ekkor a részecskék sűrűsége és áramsűrűsége: j0=1 , j=p∕ε=n .

Mivel egy adott impulzusú, szabad neutrino mindig teljesen polarizált, ebben az esetben értelmetlen (spin szerinti) kevert állapotról beszélni. Ennek ellenére néha célszerű lehet a 2×2 -es polarizációs „sűrűségmátrixot” használni, amelyen egyszerűen a

3.226. egyenlet - (30,12)

ϱ_{\dot{α} β} = u_{\dot{α}} u_{\dot{β}}^{*}

másodrendű spinort értjük (ekkor Spϱ=2ε ). Vegyük észre, hogy ennek a mátrixnak ki kell elégítenie az

egyenleteket. Innen látszik, hogy

3.227. egyenlet - (30,13)

ϱ = 𝜀 - p σ .

Mikor különböző kölcsönhatási folyamatokat vizsgálunk, a neutrinók más, tömeggel rendelkező ( 1∕2 spinű) részecskékkel együtt léphetnek fel. Az utóbbiakat négykomponensű hullámfüggvényekkel kell leírni. Az ilyen esetekben az egységes jelölésmód céljából a neutrinóra is érdemes formálisan bevezetni egy „bispinor” hullámfüggvényt, amelynek két komponense nulla: ψ=(0 / η) . Azonban -nek ez az alakja általában véve nem marad meg, ha más (nem spinor) reprezentációra térünk át. Ezt a nehézséget megkerülhetjük, ha észrevesszük, hogy a spinorreprezentációban azonosan igaz, hogy

(1+γ5/2)(ξ / η)=(0 / η), (η∗ξ∗)(1–γ5/2)=(η∗0),

ahol tetszőleges „ballaszt” spinor, amely az eredményekből kiesik [a mátrixot (22,18)-ból vettük]. Így a neutrino valódi „kétkomponensű jellege” minden reprezentációban fennáll, ha az őt leíró hullámfüggvény a Dirac-egyenlet megoldása m=0 esetén:

3.228. egyenlet - (30,14)

\hat{p} ψ = 0,

amely ezenkívül az (1/2)(1+γ5)ψ=ψ , vagyis a

3.229. egyenlet - (30,15)

γ^{5} ψ = ψ

kiegészítő feltételnek is eleget tesz.

Ezt a feltételt figyelembe vehetjük, ha mindenütt, ahol -nek és -nak szerepelnie kell, helyettük a következő kifejezéseket írjuk:

3.230. egyenlet - (30,16)

ψ \to \frac{1 + γ^{5}}{2} ψ, \bar{ψ} \to \bar{ψ} \frac{1 - γ^{5}}{2} .

Így az áramsűrűség négyesvektora a következő alakot ölti [a ψ̄γμψ kifejezésben a (30,16) helyettesítéssel]:

3.231. egyenlet - (30,17)

j^{μ} = \frac{1}{4} \bar{ψ} (1 - γ^{5}) γ^{μ} (1 + γ^{5}) ψ = \frac{1}{2} \bar{ψ} γ^{μ} (1 + γ^{5}) ψ .

Hasonlóképpen a neutrino 4×4 -es sűrűségmátrixa:

3.232. egyenlet - (30,18)

ϱ = \frac{1}{4} (1 + γ^{5}) \hat{p} (1 - γ^{5}) = \frac{1}{2} (1 + γ^{5}) \hat{p} .

Spinorreprezentációban, amint azt várható, ez a (30,13) 2×2 -es mátrixra redukálódik:

Az antineutrinóra vonatkozó megfelelő képletek előjelében különböznek.

A neutrino elektromosan semleges részecske. A fenti tulajdonságú neutrino azonban nem valódi semleges részecske. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a kétkomponensű spinor segítségével leírt „neutrinotér” a számára lehetséges részecskeállapotokat tekintve (de természetesen nem a többi fizikai tulajdonságában) ekvivalens egy négykomponensű bispinorral leírt valódi semleges térrel. Adott helicitású részecskék és antirészecskék helyett egy részecskénk lenne, két lehetséges helicitásállapotban, és a tükrözési szimmetria automatikusan fennállna. Megjegyzendő azonban, hogy a „négykomponensű” neutrino zérus tömege „véletlen” jellegű volna, mivel ez nem lenne kapcsolatban a részecskét leíró hullámegyenlet szimmetriatulajdonságaival (amely nemzérus tömeget is megengedne). Ezért egy ilyen részecske esetén a különböző kölcsönhatások figyelembevétele automatikusan ahhoz vezetne, hogy a részecskének kicsi, de mégsem szigorúan zérus nyugalmi tömege jelenne meg.

^[94] A neutrino létezését Pauli jósolta meg elméleti alapon, a -bomlás tulajdonságainak magyarázatára (1931). A (30,1) egyenletet először H. Weyl vizsgálta (1929). A neutrino elméletét a fenti egyenletek alapján L. D. Landau , T. D. Lee és C. N. Yang , A. Salam fogalmazták meg (1957).