Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

30.§. A neutrino

30.§. A neutrino

Az a tény, hogy egy 1∕2 spinű részecske leírásához két spinort (ξ és η) kell használni, amint azt a  20. §-ban láttuk, a részecske tömegével áll kapcsolatban. Ez az ok elesik, ha a részecske tömege nulla. Egy ilyen részecskét leíró hullámegyenletet már egyetlen spinor (például egy pontozott spinor, η) segítségével is fel lehet írni:

3.215. egyenlet - (30,1)

pαβ̇ηβ̇=0,


vagy ugyanez más alakban:

3.216. egyenlet - (30,2)

(p0+pσ)η=0.


20. §-ban azt is megjegyeztük, hogy az m-et tartalmazó hullámegyenlet automatikusan szimmetrikus a térbeli tükrözésre nézve (ξ↔η transzformáció). Ha a részecskét egyetlen spinorral írjuk le, ez a szimmetria elvész. Azonban nincs is rá szükség, mert a tükrözéssel szembeni szimmetria a természetnek nem univerzális tulajdonsága.

Egy m=0 tömegű részecske energiája és impulzusa között fennáll az ε=|p|összefüggés. Így síkhullám (ηp∼e–ipx) esetén a (30,2) egyenletből azt kapjuk, hogy

3.217. egyenlet - (30,3)

(nσ)ηp=ηp,


ahol n a p irányú egységvektor. Ugyanilyen egyenletnek tesz eleget a „negatív frekvenciás” hullámfüggvény , (η–p∼eipx) is:

3.218. egyenlet - (30,4)

(nσ)ηp=ηp.


A másodkvantált téroperátor:

3.219. egyenlet - (30,5)

η=p(ηpap+ηpbp+),η+=p(ηpap++ηpbp).(30,5)


Innen következik, mint általában, hogy η–p∗ az antirészecske hullámfüggvénye.

A pαβ̇ operátorok (20,1) definíciójából látható, hogy pαβ̇∗=–pα̇β. Így a komplex konjugált η∗ spinor kielégíti a pα̇βηβ̇∗=0 egyenletet, vagy ami ugyanaz,

pα̇βηβ̇∗=0.

Vezessük be az ηβ̇∗=ξβ jelölést, azt a tényt fejezve ki ezzel, hogy a komplex konjugálás pontozott spinorból pontozatlant csinál. Tehát az antirészecske hullámfüggvénye eleget tesz a

3.220. egyenlet - (30,6)

pα̇βξβ=0


vagy a

3.221. egyenlet - (30,7)

(p0pσ)ξ=0


egyenletnek. Innen síkhullámra

3.222. egyenlet - (30,8)

(nσ)ξp=ξp.


Viszont (1/2)nσ a spin mozgásirányú vetületének operátora. Ezért a (30,3)és (30,8) egyenletek azt jelentik, hogy adott impulzusúállapotok automatikusan helicitás-sajátállapotok – a spin mozgásirányú vetületének határozott értéke van. Ha a részecske spinje az impulzussal ellentétes irányú (–1∕2 helicitás), akkor az antirészecske spinje az impulzus irányába mutat (+1∕2 helicitás).

Úgy tűnik, hogy ilyen tulajdonságú részecskék a természetben létező neutrinók. Megállapodás szerint a –1∕2 helicitású részecskét neutrinónak, a +1∕2 helicitású, részecskét antineutrinónak nevezzük.[94]

Azzal kapcsolatban, hogy a neutrinoállapotok a spin iránya szerint nem degeneráltak, emlékeztetünk a  8. §-ban tett megjegyzésre, amely szerint egy 0 tömegű részecskére csak az impulzus irányára vonatkozó axiális szimmetria jellemző. Valódi semleges részecske – a foton – esetén ez a szimmetria tartalmazza a tengely körüli elforgatásokat és a tengelyen átmenő síkokban történő tükrözéseket. Neutrino esetén a tükrözési szimmetria hiányzik, csak a tengely körüli elforgatások csoportja marad meg, amely megőrzi az impulzusmomentum tengelyirányú vetületét, és az előjelét sem változtatja meg. A tükrözési szimmetria csak akkor létezik, ha egyidejűleg a részecskét antirészecskére cseréljük.

Azt is meg kell jegyeznünk, hogy a kötelezően longitudinális polarizáció azt jelenti, hogy a neutrino spinje egyáltalán nem választható szét a pálya-impulzusmomentumtól (akárcsak a foton esetében, ahol a polarizáció feltétlenül transzverzális, l.  6. §).

Egyetlen egy η (vagy ξ) spinorral mindössze négy bilineáris kombináció képezhető. Ezek együtt négyesvektort alkotnak:

3.223. egyenlet - (30,9)

jμ=(ηη,ηση).


Könnyű belátni, hogy a

(p0+pσ)η=0, η∗(p0–pσ)=0

egyenletek miatt teljesül a ∂μjμ=0 kontinuitási egyenlet, azaz jμ a részecskék áramsűrűségének négyesvektorát jelenti.

A neutrinót leíró síkhullámokat célszerű úgy normálni, ahogy azt a  23. §-ban a tömeggel rendelkező részecskékkel tettük:

3.224. egyenlet - (30,10)

ηp=12𝜀upeipx,ηp=12𝜀upeipx,


ahol a spinoramplitúdók az

3.225. egyenlet - (30,11)

u±p(1,σ)u±p=2(𝜀,p)


invariáns feltétel segítségével vannak normálva. Ekkor a részecskék sűrűsége és áramsűrűsége: j0=1, j=p∕ε=n.

Mivel egy adott impulzusú, szabad neutrino mindig teljesen polarizált, ebben az esetben értelmetlen (spin szerinti) kevert állapotról beszélni. Ennek ellenére néha célszerű lehet a 2×2-es polarizációs „sűrűségmátrixot” használni, amelyen egyszerűen a

3.226. egyenlet - (30,12)

ϱα̇β=uα̇uβ̇


másodrendű spinort értjük (ekkor Spϱ=2ε). Vegyük észre, hogy ennek a mátrixnak ki kell elégítenie az

(ε+pσ)ϱ=ϱ(ε+pσ)=0

egyenleteket. Innen látszik, hogy

3.227. egyenlet - (30,13)

ϱ=𝜀pσ.


Mikor különböző kölcsönhatási folyamatokat vizsgálunk, a neutrinók más, tömeggel rendelkező (1∕2 spinű) részecskékkel együtt léphetnek fel. Az utóbbiakat négykomponensű hullámfüggvényekkel kell leírni. Az ilyen esetekben az egységes jelölésmód céljából a neutrinóra is érdemes formálisan bevezetni egy „bispinor” hullámfüggvényt, amelynek két komponense nulla: ψ=(0 / η). Azonban ψ-nek ez az alakja általában véve nem marad meg, ha más (nem spinor) reprezentációra térünk át. Ezt a nehézséget megkerülhetjük, ha észrevesszük, hogy a spinorreprezentációban azonosan igaz, hogy

(1+γ5/2)(ξ / η)=(0 / η), (η∗ξ∗)(1–γ5/2)=(η∗0),

ahol tetszőleges „ballaszt” spinor, amely az eredményekből kiesik [a γ5 mátrixot (22,18)-ból vettük]. Így a neutrino valódi „kétkomponensű jellege” minden reprezentációban fennáll, ha az őt leíró ψ hullámfüggvény a Dirac-egyenlet megoldásam=0 esetén:

3.228. egyenlet - (30,14)

p̂ψ=0,


amely ezenkívül az (1/2)(1+γ5)ψ=ψ, vagyis a

3.229. egyenlet - (30,15)

γ5ψ=ψ


kiegészítő feltételnek is eleget tesz.

Ezt a feltételt figyelembe vehetjük, ha mindenütt, ahol ψ-nek és ψ̄-nak szerepelnie kell, helyettük a következő kifejezéseket írjuk:

3.230. egyenlet - (30,16)

ψ1+γ52ψ,ψ̄ψ̄1γ52.


Így az áramsűrűség négyesvektora a következő alakot ölti [a ψ̄γμψ kifejezésben a (30,16) helyettesítéssel]:

3.231. egyenlet - (30,17)

jμ=14ψ̄(1γ5)γμ(1+γ5)ψ=12ψ̄γμ(1+γ5)ψ.


Hasonlóképpen a neutrino 4×4-es sűrűségmátrixa:

3.232. egyenlet - (30,18)

ϱ=14(1+γ5)p̂(1γ5)=12(1+γ5)p̂.


Spinorreprezentációban, amint azt várható, ez a (30,13)2×2-es mátrixra redukálódik:

ϱ=(0 0 / ε–σp 0).

Az antineutrinóra vonatkozó megfelelő képletek γ5 előjelében különböznek.

A neutrino elektromosan semleges részecske. A fenti tulajdonságú neutrino azonban nem valódi semleges részecske. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a kétkomponensű spinor segítségével leírt „neutrinotér” a számára lehetséges részecskeállapotokat tekintve (de természetesen nem a többi fizikai tulajdonságában) ekvivalens egy négykomponensű bispinorral leírt valódi semleges térrel. Adott helicitású részecskék és antirészecskék helyett egy részecskénk lenne, két lehetséges helicitásállapotban, és a tükrözési szimmetria automatikusan fennállna. Megjegyzendő azonban, hogy a „négykomponensű” neutrino zérus tömege „véletlen” jellegű volna, mivel ez nem lenne kapcsolatban a részecskét leíró hullámegyenlet szimmetriatulajdonságaival (amely nemzérus tömeget is megengedne). Ezért egy ilyen részecske esetén a különböző kölcsönhatások figyelembevétele automatikusan ahhoz vezetne, hogy a részecskének kicsi, de mégsem szigorúan zérus nyugalmi tömege jelenne meg.



[94] A neutrino létezését Pauli jósolta meg elméleti alapon, a β-bomlás tulajdonságainak magyarázatára (1931). A (30,1) egyenletet először H. Weyl vizsgálta (1929). A neutrino elméletét a fenti egyenletek alapján L. D. Landau , T. D. Lee és C. N. Yang , A. Salam fogalmazták meg (1957).