Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

29.§. A polarizációs sűrűségmátrix

29.§. A polarizációs sűrűségmátrix

Egy p impulzusú részecske szabad mozgását leíró ψ hullámfüggvény (síkhullám) koordinátafüggését az eipr szorzótényező tartalmazza, az up amplitúdó a spin-hullámfüggvény szerepét játssza. Ilyen (tiszta) állapotban a részecske teljesen polarizált (l.  59. §). A nemrelativisztikus elméletben ez azt jelenti, hogy a részecske spinjének meghatározott iránya van a térben (pontosabban, létezik olyan irány, amelyre vonatkoztatva a spinvetület +1∕2 határozott értéket vesz fel). A relativisztikus elméletben, tetszőleges vonatkoztatási rendszerben nem lehet így jellemezni az állapotokat, mivel (mint azt a  23. §-ban már megjegyeztük) a spin vektora nem marad meg. Az állapot tisztasága csak annyit jelent, hogy a részecske nyugalmi rendszerében a spinnek határozott iránya van.

Részlegesen polarizált állapothoz nem tartozik meghatározott amplitúdó; csak a ϱik (i,k=1,2,3,4) bispinor indexek) polarizációs sűrűségmátrix . Úgy definiáljuk ezt a mátrixot, hogy tiszta állapotban a

3.193. egyenlet - (29,1)

ϱik=upiūpk


szorzattá egyszerűsödjék. Ennek megfelelően a ϱ mátrixot a

3.194. egyenlet - (29,2)

Spϱ=2m


feltétellel normáljuk [l. (23,4)].

Tiszta állapotban a spin átlagértékét az

3.195. egyenlet - (29,3)

s̄=12ψΣψd3x=14𝜀upΣup=14𝜀ūpγ0Σup


kifejezés határozza meg. Részlegesen polarizált állapotban a megfelelő kifejezés:

3.196. egyenlet - (29,4)

s̄=14𝜀Sp(ϱγ0Σ)=14𝜀Sp(ϱγ5γ).


Az up, ūp amplitúdók a (p̂–m)up=0és ūp(p̂–m)=0 algebrai egyenletrendszereknek tesznek eleget. Ezért a (29,1) mátrix kielégíti a

3.197. egyenlet - (29,5)

(p̄m)ϱ=ϱ(p̂m)=0


egyenleteket. Ugyanezeket a lineáris egyenleteket kell kielégítenie a sűrűségmátrixnakáltalános esetben (spin szerint) kevert állapot esetén is (lásd a hasonló levezetést III. 14. §-ban).

Ha a szabad részecskét nyugalmi rendszerében tekintjük, akkor alkalmazhatjuk rá a nemrelativisztikus elméletet. Viszont ebben az elméletben egy részlegesen polarizált állapot teljesen meghatározható három paraméter, a spinvektor s̄ átlagértékének három komponense segítségével (l. III. 59. §). Így nyilvánvaló, hogy ugyanezek a paraméterek határozzák meg a részlegesen polarizált állapotot tetszőleges Lorentz-transzformáció elvégzése után, tehát mozgó részecske esetén is.

Jelöljük a nyugalmi rendszerbeli spinvektor kétszeresét ζ-val (tiszta állapotban |ζ|=1, kevertben |ζ|<1). A polarizációs állapot négydimenziós leírásához célszerű bevezetni az aμ négyesvektort, amely a nyugalmi rendszerben egybeesik a háromdimenziós ζ vektorral; mivel ζ axiális vektor, így aμ négyes pszeudovektor. Ez a négyesvektor a nyugalmi rendszerben merőleges a négyesimpulzusra [itt aμ=(0,ζ), pμ=(m,0)], így tetszőleges vonatkoztatási rendszerben

3.198. egyenlet - (29,6)

aμpμ=0.


Ugyancsak tetszőleges rendszerben igaz, hogy

3.199. egyenlet - (29,7)

aμaμ=ζ2


Az aμ négyesvektor komponenseit egy olyan vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske v=p∕ε sebességgel mozog, a nyugalmi rendszerből való Lorentz-transzformációval kaphatjuk meg:

3.200. egyenlet - (29,8)

a0=|p|mζ,a=ζ,a=𝜀mζ,


ahol a ∥és ⊥ indexek a ζés a vektoroknak a p iránnyal párhuzamos és arra merőleges komponenseit jelölik.[92] A fenti képleteket vektoralakban is felírhatjuk:

3.201. egyenlet - (29,9)

a=ζ+p(ζp)m(𝜀+m),a0=ap𝜀=pζm,a2=ζ2+(pζ)2m2.


Tekintsünk kezdetben egy polarizálatlan állapotot ζ=0. A sűrűségmátrix ekkor csak a p négyesimpulzust tartalmazhatja paraméterként. Egy ilyen mátrix, ha a (29,5) egyenleteket is kielégíti, csak

3.202. egyenlet - (29,10)

ϱ=12(p̂+m)


alakú lehet (I. E. Tamm , 1930, H. B. G. Casimir , 1933). Az együtthatót úgy választottuk meg, hogy a (29,2) normálási feltétel is teljesüljön.

Ha az állapot részlegesen polarizált (ζ≠0), a sűrűségmátrixot

3.203. egyenlet - (29,11)

ϱ=14m(p̂+m)ϱ(p̂+m)


alakban keressük, amely automatikusan kielégíti a (29,5) egyenleteket. ζ esetén a ϱ′ mátrixnak az egységmátrixba kell átmennie; mivel (p̂+m)2=2m(p̂+m)(29,11) ekkor megegyezik (29,10)-zel. Továbbá a ϱ′ mátrixnak lineárisan kell tartalmaznia az a négyesvektort, azaz

3.204. egyenlet - (29,12)

ϱ=1Aγ5â


alakúnak kell lennie (a második tagban az a pszeudovektor és a γ5γ„mátrixértékű négyespszeudovektor”„skalárszorzata” szerepel). Az A együttható meghatározásához írjuk fel a sűrűségmátrixot a nyugalmi rendszerben:

ϱ=(m/4)(1+γ0)(1+Aγ5γζ)(1+γ0)=(m/2)(1+γ0)(1+Aγ5γζ),

és számítsuk ki (29,4) alapján a spin átlagértékét. A  22. §-ban felsorolt szabályokat felhasználva, könnyen látható, hogy a mátrix keresett nyomában az egyetlen, zérustól különböző tag:

2s̄=(1/2m)Sp(ϱγ5γ)=–(A/4)Sp((γζ)γ)=Aζ.

Ezt a kifejezést ζ-val egyenlővé téve, azt kapjuk, hogy A=1. A ϱ végleges alakját úgy kapjuk meg, hogy (29,12)-t (29,11)-be helyettesítjük, majd a ϱ′és (p̂+m) tényezőket felcseréljük; a és p merőlegesek, így γp antikommutál γa-val:

âp̂=2ap–p̂â=–p̂â,

és emiatt p̂ kommutál γ5â-pal.

Tehát a részlegesen polarizált elektron sűrűségmátrixa:

3.205. egyenlet - (29,13)

ϱ=12(p̂+m)(1γ5â)


(L. Michel , A. S. Wightman , 1955). Ha a ϱ sűrűségmátrix ismert, akkor az állapotot jellemzőa négyesvektort (és vele együtt a ζ vektort) az

3.206. egyenlet - (29,14)

aμ=12mSp(ϱγ5γμ)


képlet segítségével határozhatjuk meg.

A pozitron sűrűségmátrixára vonatkozó képletek hasonlóak az elektronra levezetett képletekhez. Ha a pozitront (amelynek négyesimpulzusa p) up(poz) pozitronamplitúdóval írnánk le, és a ϱ(poz) mátrixot ennek megfelelően vezetnénk be, minden ugyanaz lenne, mint az elektron esetében, és a ϱ(poz) mátrixot a (29,13) képlet adná meg. A tényleges számításokban azonban, amikor pozitronok részvételével végbemenő szórási folyamatok hatáskeresztmetszeteit határozzuk meg, nem az up(poz), hanem (mint azt a későbbiekben látni fogjuk) az u–p(poz) „negatív frekvenciás” amplitúdó jelenik meg. Az ennek megfelelő polarizációs sűrűségmátrixot (jelöljük ϱ(–)-szal) úgy kell meghatározni, hogy tiszta állapot esetén az u–piū–pk kifejezéssel egyezzék meg.

(26,1) szerint a pozitronamplitúdó up(poz)=UCū–p. Fordítva:

u–p=UCup(poz), ū–p=UC+up(poz)=up(poz)UC∗

[l. (28,3)]. Ha

ϱik(–)=u–piū–pk, ϱik(poz)=upi(poz)ūpk(poz),

a fenti képletek segítségével azt kapjuk, hogy

3.207. egyenlet - (29,15)

ϱ()=UCϱ̃(poz)UC.


ϱ(poz) helyébe a (29,13) kifejezést írva és [(26,3), (26,21) segítségével] egyszerűátalakításokat végezve, a következő eredmény adódik:

3.208. egyenlet - (29,16)

ϱ()=12(p̂m)(1γ5â).


Speciális esetben, polarizálatlan állapotra

3.209. egyenlet - (29,17)

ϱ()=12(p̂m).


A továbbiakban, ha a pozitron sűrűségmátrixáról beszélünk, a ϱ(–) mátrixotértjük majd ezen, és a (–) indexet elhagyjuk a (ϱ(poz) mátrixra gyakorlatilag nem lesz szükségünk).

A különböző számításokban gyakran kell spinállapotok szerint átlagolni ūFu(≡ūiFikuk) alakú kifejezéseket, ahol F valamilyen (4×4-es) mátrix, u pedig egy adott p négyesimpulzushoz tartozó bispinor amplitúdó. Az ilyen átlagolás ekvivalens azzal, hogy az ukūi szorzatot a részlegesen polarizált állapot ϱki sűrűségmátrixával helyettesítjük.

Speciális esetben, ha teljesen átlagolunk a két független spinállapotra, ez ekvivalens azzal, hogy polarizálatlan állapotot tekintünk; ekkor (29,10) szerint

3.210. egyenlet - (29,18)

12polarūpFup=12Sp(p̄+m)F.


A negatív frekvenciás hullámfüggvényekre ehhez hasonlóan

3.211. egyenlet - (29,19)

12polarūpFup=12Sp(p̂m)F.


Ha nem átlagolnunk, hanem összegeznünk kell a spinállapotok szerint, akkor az eredmény a fentieknek kétszerese lesz.

Kövessük nyomon, hogy határesetben hogyan megy át a (29,13) sűrűségmátrix a megfelelő nemrelativisztikus kifejezésbe. Térjünk át ezért az elektron nyugalmi rendszerére. A hullámfüggvények standard reprezentációja esetén ebben a rendszerben az up amplitúdók kétkomponensűekké válnak; velük együtt a sűrűségmátrixnak is egy 2×2-es mátrixba kell átmennie. Valóban, a nyugalmi rendszerben

ϱ=(m/2)(γ0+1)(1–γ5γζ),

és a γ mátrixokra vonatkozó (21,20) és (22,18) kifejezésekkel azt kapjuk, hogy

3.212. egyenlet - (29,20)

ϱ=ϱnemrel000,ϱnemrel=m(1+σζ)


(a nullák 2×2-es nullamátrixokat jelölnek). Ha a nemrelativisztikus elméletben2m helyett – a szokásos módon – egységre normáljuk a sűrűségmátrixot (Spϱnemrel=1), akkor a fenti kifejezést 2m-mel osztani kell; tehát a nemrelativisztikus sűrűségmátrix

(1/2)(1+σζ),

ami megegyezik a III. (59,4), (59,5) képletekkel.

Hasonlóképpen a pozitron sűrűségmátrixának nemrelativisztikus határesete:

ϱ=(0 0 / 0 ϱnemrel), ϱnemrel=–m(1+σζ).

Végül nézzük meg, hogyan egyszerűsödik a sűrűségmátrix ultrarelativisztikus esetben . Ha (29,8)-ban |p|≈ε-t írunk [ezzel elhanyagoljuk az (m∕ε)2 relatív nagyságrendű mennyiségeket], majd ezeket a kifejezéseket (29,13)-ba vagy (19,16)-ba helyettesítjük, és az x-tengelyt p irányában vesszük fel, azt kapjuk, hogy

ϱ=(1/2)[ε(γ0–γ1)±m][1–γ5((ε/m)(γ0–γ1)ζ∥+ζ⊥γ⊥)],

ahol a felső előjel az elektron, az alsó a pozitron esetére vonatkozik. A szorzat felbontása után a vezető tagok kiesnek, a következő nagyságrendű tagok pedig a

ϱ=(1/2)ε(γ0–γ1)[1–γ5(±ζ∥+ζ⊥γ⊥)]

kifejezést eredményezik. Ha ε(γ0–γ1) helyett ismét p̂-ot írunk, akkor

3.213. egyenlet - (29,21)

ϱ=12p̂[1γ5(±ζ+ζγ)].


Ez a sűrűségmátrix keresett kifejezése az ultrarelativisztikus esetben. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a képletben a ζ polarizációs vektor mindhárom komponense azonos nagyságrendű. Itt ζ∥ a vektornak azt a komponensét jelenti, amely paralel (ha ζ∥>0) vagy antiparalel (ha ζ∥<0) a részecske impulzusával. Speciális esetben, ha a részecske helicitás-sajátállapotban van, ζ∥=2λ=±1; ekkor a sűrűségmátrix különösen egyszerű alakot kap:[93]

3.214. egyenlet - (29,22)

ϱ=12p̂(1±2λγ5).




[92] A spinvektor s̄ átlagértékének (mint minden impulzusmomentum jellegű mennyiségnek) a komponensei, transzformációs tulajdonságaikat tekintve, a relativisztikus mechanikában egy antiszimmetrikus Sλμ tenzor térkomponenseiként írhatók fel. Az aλ négyesvektor Sλμ=(1/2m)eλμνϱaνpϱ, aλ=–(2/m)eλμνϱSμνpϱszerint fejezhető ki ezzel a tenzorral. Aláhúzzuk, hogy az aλ négyesvektor a térbeli része egy tetszőleges koordináta-rendszerben egyáltalán nem egyezik meg a 2s̄ vektorral. Könnyű belátni, hogy 2s̄∥=(1/m)(a∥ε–a0 |p|)=ζ∥, 2s̄⊥=(ε/m)a⊥=(ε/m)ζ⊥.

[93] Ez megegyezik, amint annak lennie kell, a neutrinó vagy az antineutrinó sűrűségmátrixával – ezek nulla tömegű és adott helicitású részecskék (lásd alább,  30. §).