Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

28.§. Bilineáris kifejezések

28.§. Bilineáris kifejezések

Vizsgáljuk meg a ψ és ψ∗ függvények komponenseiből összeállítható bilineáris kifejezések transzformációs tulajdonságait. Az ilyen kifejezéseknek nagy szerepe van a kvantummechanikában, ezek közé tartozik például az áramsűrűség (21,11)-ben felírt négyesvektora.

Mivel ψ és ψ∗ négy-négy komponenssel rendelkezik, összesen 4⋅4=16 független bilineáris kombinációt képezhetünk belőlük. E mennyiségek transzformációs tulajdonságai nyilvánvalóak a  19. §-ban tárgyaltak alapján, ahol felsoroltuk két tetszőleges bispinor (ami most ψ és ψ∗) összeszorzásának lehetséges módjait. Eszerint képezhetünk egy skalárt (jelöljük ezt S-sel), egy pszeudoskalárt (P), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens egy valódi Vμ négyesvektorral (4 független mennyiség), egy kevert másodrendű spinort, amely ekvivalens egy Aμ négyes pszeudovektorral (4 mennyiség) és egy másodrendű bispinort, amely ekvivalens egy Tμν antiszimmetrikus négyestenzorral (6 mennyiség).

Szimmetrikus alakban (ψ tetszőleges reprezentációja esetén) ezek a kombinációk a következőképpen írhatók fel:

3.176. egyenlet - (28,1)

S=ψ̄ψ,P=ψ̄γ5ψ,Vμ=ψ̄γμψ,Aμ=ψ̄γμγ5ψ,Tμν=iψ̄σμνψ,


ahol

3.177. egyenlet - (28,2)

σμν=12(γμγνγνγμ)=(α,iΣ)


[(28,2)-ben a komponensek felsorolása (19,5) szerintértendő].[86] A fenti mennyiségek mind valósak.

Az, hogy S skalár, P pedig pszeudoskalár, nyilvánvaló a spinorreprezentációban:

S=ξ∗η+η∗ξ, P=i(ξ∗η–η∗ξ),

ami éppen megfelel a (19,7) és (19,8) kifejezéseknek. Ezután a Vμ mennyiségek vektorjellege is nyilvánvaló a Dirac-egyenlet alapján: a pμγμψ=mψ egyenlőséget balról ψ̄-sal beszorozva azt kapjuk, hogy

(ψ̄pμγμψ)=mψ̄ψ;

mivel a jobb oldalon skalár áll, így a bal oldalnak is skalárnak kell lennie.

(28,1) mennyiségek képzési szabálya nyilvánvaló: úgy képezzük őket, mintha a γμ mátrixok négyesvektort alkotnának, γ5 pszeudoskalár lenne, a két oldalon álló ψ̄ és ψ pedig együtt skalárt alkotna.[87] A szimmetrikus négyestenzor jellegű mennyiségek hiánya, ami nyilvánvaló a spinorreprezentációban, ebből a szabályból is rögtön következik; mivel a γ mátrixok szimmetrikus kombinációja γμγν+γνγμ=2gμν, ezért az ilyen kifejezés skalárrá egyszerűsödne.

Másodkvantált bilineáris kifejezéseket úgy kaphatunk, ha (28,1)-ben a ψ-függvényeket ψ-operátorokkal helyettesítjük. A nagyobb általánosság kedvéért a két ψ-operátort különböző részecskékhez tartozónak tekintjük majd, ezért a és b indexekkel látjuk el őket. Vizsgáljuk meg, hogyan transzformálódnak az ilyen, operátort tartalmazó kifejezések töltéskonjugáció esetén. Észrevéve, hogy[88]

3.178. egyenlet - (28,3)

ΨC=UCΨ̄,Ψ̄C=UC+Ψ,


(26,3)és (26,21) felhasználásával azt kapjuk, hogy

Ψ̄aCΨbC =(UC+Ψa)(UCΨ̄b)=ΨaUC∗UCΨ̄b=–ΨaUC+UCΨ̄b=–ΨbΨ̄b, Ψ̄aCγμΨbC =ΨaUC∗γμUCΨ̄b=–ΨaUC+γμUCΨ̄b=Ψaγ̃μΨ̄b.

Mikor az operátorokat felcserélve visszatérünk az eredeti sorrendhez (a Ψ̄-operátor Ψ-től balra áll), a Fermi-féle (25,4) felcserélési szabály szerint a szorzat előjelet vált (és ezenkívül megjelennek a tér állapotától független tagok, amiket elhagyunk, akárcsak a  13. § hasonló levezetéseinél). Így végül

Ψ̄aCΨbC=Ψ̄bΨa, Ψ̄aCγμΨbC=–Ψ̄γμΨa.

Hasonlóan átalakítva a többi bilineáris kifejezést is, azt kapjuk, hogy[89]

3.179. egyenlet - (28,4)

C:SabSba,PabPba,VabμVbaμ,AabμAbaμ,TabμνTbaμν.


Hasonló módon állapíthatjuk meg e bilineáris kifejezések viselkedését az időtükrözés esetén. Itt emlékeznünk kell arra, hogy ez az operáció (l. 13. §) felcseréli az operátorok sorrendjét, így például

(Ψ̄aΨb)T=ΨbTΨ̄aT.

Behelyettesítve ide a

3.180. egyenlet - (28,5)

ΨT=UTΨ̄,Ψ̄T=UT+Ψ


összefüggéSt, azt kapjuk, hogy

(Ψ̄aΨb)T=–(UTΨ̄b)(UT+Ψa)=–Ψ̄bŨTUT+Ψa=Ψ̄bUTUT+Ψa=Ψ̄bΨa.

A többi bilineáris kifejezést is ugyanúgy vizsgálva, a következőket kapjuk:

3.181. egyenlet - (28,6)

T:SabSba,PabPba,(V0,V)ab(V0,V)ba,(A0,A)ab(A0,A)ba,Tabμν=(p,a)ab(p,a)ba


[pés a háromdimenziós vektorok, amelyek (19,15) szerint Tμν komponenseivel ekvivalensek].

Térbeli tükrözés esetén a mennyiségek tenzorjellegének megfelelően

3.182. egyenlet - (28,7)

T:SabSba,PabPba,(V0,V)ab(V0,V)ba,(A0,A)ab(A0,A)ba,Tabμν=(p,a)ab(p,a)ba


Végül a három művelet együttes alkalmazása esetén[90]

3.183. egyenlet - (28,8)

CPT:SabSab,PabPab,VabμVabμ,AabμAabμ,TabμνTabμν,


ami éppen megfelel annak, hogy ez a transzformáció négyestükrözést jelent. Mivel a négyestükrözés ekvivalens a négydimenziós tér elforgatásával, ezért erre nézve a (tetszőleges rendű) valódi és pszeudotenzorok nem különböznek.

Tekintsük most a négy különböző ψa, ψb, ψc, ψd függvényből páronként képzett bilineáris kifejezések szorzatát. Attól függően, hogy e függvények közül melyeket szorzunk meg egymással, különböző eredményeket kapunk. Minden ilyen szorzatot vissza lehet azonban vezetni rögzített párokból képzett bilineáris kifejezések szorzataira (W. Pauli , M. Fierz , 1936). A következőkben levezetjük azt az összefüggést, amin ez alapul.

Tekintsük az alábbi 4×4-es mátrixokat:

3.184. egyenlet - (28,9)

1,γ5,γμ,iγμγ5,iσμν


(1 az egységmátrix). Ezt a 16 (=1+1+4+4+6) mátrixot valamilyen sorrendben megszámozva, γA-val jelöljük (A=1,…,16); ugyanezeket a mátrixokat lehúzott (μ,ν) tenzorindexekkel pedig γA-val. Ezeknek a következő tulajdonságaik vannak:

3.185. egyenlet - (28,10)

SpγA=0(γA1),γAγA=1,14SpγAγB=δBA.


Az utóbbi tulajdonság következtében a γA mátrixok lineárisan függetlenek. Mivel számuk megegyezik a 4×4-es mátrix elemeinek számával, a γA mátrixok teljes rendszert alkotnak, amely szerint tetszőleges 4×4-es Γ mátrix kifejthető:

3.186. egyenlet - (28,11)

Γ=AcAγA,cA=14SpγAΓ,


vagy a mátrixindexeket kiírva (i,k=1,2,3,4):

Γik=(1/4)∑AΓlmγmlAγAik.

Feltéve, hogy a Γ mátrixnak egyetlen eleme különbözik nullától (Γlm), a keresett összefüggést (a „teljesség feltételét” ) kapjuk:

3.187. egyenlet - (28,12)

δilδkm=14AγAikγmlA.


A fenti egyenlőség mindkét oldalát ψ̄iaψkbψ̄mcψld-vel megszorozva,

3.188. egyenlet - (28,13)

(ψ̄aψd)(ψ̄cψb)=14A(ψ̄aγAψb)(ψ̄cγAψd).


Ez a fentebb említett egyenlőségek közé tartozik: két skalár, bilineáris kifejezés szorzatát visszavezeti más párokból álló, bilineáris kifejezések szorzatára.[91]

Más hasonló egyenlőségeket úgy kaphatunk (28,13)-ból, hogy a

ψd→γBψd, ψb→γCψb

helyettesítéseket hajtjuk végre, és felhasználjuk a

γAγB=∑RcRγR, cR=(1/4)SpγAγBγR

kifejtést (l. a feladatokat).

A további hivatkozások kedvéért felsoroljuk a 2×2-es mátrixokra vonatkozó, (28,12)-vel analóg összefüggéseket. Itt a σA (A=1,…,4)

3.189. egyenlet - (28,14)

1,σx,σy,σz


2×2-es mátrixok lineárisan függetlenek, és teljes rendszert alkotnak. Ezekre fennáll, hogy

3.190. egyenlet - (28,15)

SpσA=0(σA1),12SpσAσB=δAB.


A teljesség feltétele:

3.191. egyenlet - (28,16)

δαγδβδ=12AσαβAσδγA=12σαβσδγ+12δαβδδγ


(α,β,⋯=1,2), vagy másképpen:

3.192. egyenlet - (28,17)

σαβσδγ=12σαγσδβ+32δαγδδβ.


Feladatok

1. Vezessünk le a (28,13)-nak megfelelő képleteket két (P, V, A, T típusú) bilineáris kifejezés skaláris szorzatára.

Megoldás. Vezessük be a következő jelöléseket:

JS =(ψ̄aψb)(ψ̄cψd), JP=(ψ̄aγ5ψb)(ψ̄cγ5ψd), JV =(ψ̄aγμψb)(ψ̄cγμψd), JA =(ψ̄aiγμγ5ψb)(ψ̄ciγμγ5ψd), JT =(ψ̄aiσμνψb)(ψ̄ciσμνψd),

és ugyanezek a betűk vesszővel ellátva jelentsék a ψb és ψd felcserélésével kapott kifejezéseket. A szövegben leírt módszerrel azt kapjuk, hogy

4JS′ =JS + JV + JT + JA + JP, 4JV′ =4JS – 2JV + 2JA – 4JP, 4JT′ =6JS – 2JT + 6JP, 4JA′ =4JS + 2JV – 2JA – 4JP, 4JP′ =JS – JV + JT – JA + JP

[az első sor a (28,13) képlet szerint].

2. Mutassuk meg, hogy

Jab,cd=–Jad,cb,

ahol

Jab,cd=(ψ¯aγμ(1+γ5)ψb)(ψ¯cγμ(1+γ5)ψd).

Megoldás. A vizsgált J mennyiségek skalárok a négyesforgatásokra nézve, de a térbeli tükrözésre nézve nincs meghatározott paritásuk. A fenti egyenlőség legegyszerűbben spinorreprezentációban kapható meg. Észrevéve, hogy

γμ(1+γ5)=(1/2)(1–γ5)γμ(1+γ5)

és

(1/2)(1+γ5)ψ=(1 / ηα̇), (1/2)ψ(1–γ5)=(ηα̇∗ / 0),

látjuk, hogy a Jab, cd „skalár” kifejezhető a

ζαβ(ab)=ηα̇a∗ηβ̇b, ζαβ(cd)=ηα̇c∗ηβ̇d

másodrendű spinorok segítségével, és ezért

Jab, cd∝ζαβ̇(ab)ζ(cd)αβ̇=ηα̇a∗ηcα̇∗ηβ̇bηdβ̇

alakúnak kell lennie.

A b és d indexeket felcserélve, és figyelembe véve, hogy

ηβ̇bηdβ̇=–ηbβ̇ηβ̇d,

a kívánt eredményt kapjuk.



[86] ψ unitér transzformációja esetén (a reprezentáció megváltoztatásakor) a különböző mennyiségek ψ→Uψ, γ→UγU–1, ψ̄→ψ̄U–1 szerint transzformálódnak, és a bilineáris kifejezések erre nézve nyilvánvalóan invariánsak.

[87] γ5 „pszeudoskalár” jellege maga is ezt a szabályt követi, mivel γ5=(i/24)eλμνϱγλγμγνγϱ.

[88] A második kifejezést megkaphatjuk az elsőből a következő módon: Ψ̄C=[UC∗(Ψγ0∗)]γ0=γ̃0UC∗γ0Ψ=–γ̃0UC+γ0Ψ=γ̃0γ0∗UC+Ψ=UC+Ψ[felhasználtuk a (26,3), (26,21) összefüggéseket és azt, hogy γ0 hermitikus].

[89] Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ψ-függvényekből (és nem a ψ-operátorokból) képezett bilineáris kifejezések esetében a (28,4) transzformációk előjele ellenkező lenne, mivel a ψ̄ és ψ eredeti sorrendjéhez való visszatérés nem járna az előjel megváltoztatásával.

[90] A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy a T- és P-transzformációk a függvények argumentumát is megváltoztatják; a (22,6)(22,8) kifejezések jobb oldalai (a transzformált kifejezések) ennek megfelelően az xT=(–t,r), xP=(t,–r), xCPT=(–t,–r)változók függvényei, a bal oldalak viszont az x=(t,–r) változótól függnek.

[91] A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy itt ψ-függvényekből álló bilineáris kifejezésekről van szó. Antikommutáló ψ-operátorokból képezett kifejezések esetén az átalakítás fordított előjelű lenne.