Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

27.§. A részecskék és antirészecskék belső szimmetriája

27.§. A részecskék és antirészecskék belső szimmetriája

Egy 1∕2 spinű részecske hullámfüggvénye a részecske nyugalmi rendszerében egy háromdimenziós spinorrá egyszerűsödik (jelöljük ezt Φα-val). A részecske belső paritásának fogalma azzal kapcsolatos, hogy ez a spinor hogyan viselkedik térbeli tükrözés esetén. Bár (amint arra a  19. §-ban már utaltunk) a háromdimenziós spinorok két lehetséges transzformációs törvénye (Φα→±iΦα) nem ekvivalens egymással, mégsem lehet egy spinorhoz abszolút értelemben paritást rendelni. Így nincs értelme egy 1∕2 spinű részecske paritásáról önmagában beszélni. Beszélhetünk azonban két ilyen részecske relatív belső paritásáról .

Két (háromdimenziós) spinorból Φ(1)-ből és Φ(2)-ből képezhetjük a Φα(1)Φ(2)α skalárt. Ha ez valódi skalár, akkor azt mondják, hogy a spinorok által leírt részecskék azonos belső paritásúak; ha ez pszeudoskalár, akkor a részecskék ellenkező belső paritásáról beszélnek.

Most megmutatjuk, hogy (1∕2 spin esetén) a részecskék és antirészecskék ellenkező belső paritásúak (V. B. Bereszteckij , 1948).

Ehhez vegyük észre, hogy ha a (19,5)P-transzformáció (spinorreprezentációban),

3.171. egyenlet - (27,1)

P:ξαiηα̇,ηα̇iξα


mindkét oldalára alkalmazzuk a (26,7a)/(26,7b)C műveletet, akkor

ηcα̇∗→iξαc∗→iηcα̇∗,

ahol a c index a ψc=(ξc / ηc) bispinor komponenseit jelöli, amely a ψ=(ξ / η) bispinor töltéskonjugáltja. Komplex konjugálás és az indexek áthelyezése után azt kapjuk, hogy:

3.172. egyenlet - (27,2)

P:ηα̇ciξcα,ξcαiηα̇c.


Látható, hogy a töltéskonjugált bispinorok egyformán transzformálódnak.

Legyen ψ(e) a részecske (elektron), ψ(p) pedig az antirészecske (pozitron) hullámfüggvénye. Az utóbbi egy olyan bispinor, amit a Dirac-egyenlet valamelyik „negatív frekvenciás” megoldásából töltéskonjugáció segítségével kaptunk. A nyugalmi rendszerben mindkettő háromdimenziós spinorrá válik:

ξ(e)α=ηα̇(e)=Φ(e)α, ξ(p)α=ηα̇(p)=Φ(p)α.

(27,1) és (27,2) szerint a Φ(e) és a Φ(p) spinorok térbeli tükrözés esetén egyaránt a

3.173. egyenlet - (27,3)

ΦαiΦα


szabály szerint transzformálódnak. A Φ(e)Φ(p) szorzat előjelet vált, és ezzel a fenti állításunkat bebizonyítottuk.

A másodkvantálás keretei közt a részecskék és antirészecskék ellenkező paritása abban nyilvánul meg, hogy térbeli tükrözés esetén eltüntető operátoraik szorzata előjelet vált: apσbpσ→–apσbpσ. [l. (26,23)].

Valódi semlegesnek neveznek egy részecskét akkor, ha az „megegyezik” a saját antirészecskéjével (12. §). Az ilyen részecskék terének ψ-operátora kielégíti a

Ψ(t,r)=ΨC(t,r)

feltételt. 1∕2 spinű részecskékre ez a következő feltételeket jelenti (spinorreprezentációban):

3.174. egyenlet - (27,4)

ξα=iηα̇+,ηα̇=iξα+.


Mint minden olyan összefüggés, amely valamilyen fizikai tulajdonságot fejez ki, ezek a feltételek is invariánsak a CPT transzformációra nézve.[84] Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy nemcsak a CPT transzformációval szemben invariánsak, hanem mind a hárommal szemben külön-külön is.

19. §-ban a spinorok térbeli tükrözését olyan műveletként határoztuk meg, amelyre P2=–1, és eddig ezt a definíciót használtuk. Könnyű belátni, hogy a részecskék és antirészecskék belső paritására vonatkozó eredmény nem függ attól, hogy hogyan definiáljuk a térbeli tükrözést.

Ha a P2=1 feltétellel definiáljuk, akkor (27,1) helyett

3.175. egyenlet - (27,5)

P:ξαηα̇,ηα̇ξα


adódik. A töltéskonjugált függvény ekkor a

ξcα→–ηα̇c, ηα̇c→–ξcα

szabály szerint transzformálódik – ez (27,5)-től előjelben különbözik. Ennek megfelelően a háromdimenziós (Φ spinorok transzformációja:

Φ(e)α→Φ(e)α, Φ(p)α→–Φ(p)α,

tehát a Φ(e)Φ(p) szorzat most is pszeudoskalár.

A térbeli tükrözés két felfogása, fizikai következményeit tekintve, csak egy dologban különbözhet egymástól. Ha a (27,5) definíciót használjuk, akkor a tér valódi semlegességének feltétele nem invariáns erre a transzformációra (vagy CP-re): a (27,4) egyenlőségek két oldalának előjele egymáshoz képest megváltozik. Valódi semleges 1∕2 spinű részecskéket nem ismerünk, és ma még nem lehet megmondani, hogy a térbeli tükrözés két definíciója között fennálló különbségnek van-e valóságos fizikai tartalma.[85]

Feladat

Határozzuk meg a pozitrónium (elektronból és pozitronból álló, a hidrogénatomhoz hasonló rendszer) töltésparitását.

Megoldás. Két fermionból álló rendszer hullámfüggvénye antiszimmetrikus kell, hogy legyen a részecskék koordinátáinak, spin- és töltésváltozóinak egyidejű felcserlésével szemben (lásd a  13. § feladatát). Az ezeknek megfelelő szorzótényezők sorra (–1)l, (–1)1+S (ahol S=0 vagy 1, a rendszer teljes spinje) és a keresett C. A (–1)l(–1)1+SC=–1 feltételből azt kapjuk, hogy

C=(–1)1+S.

Mivel az elektron és a pozitron ellentétes belső paritásúak, így (a rendszer paritása P=(–1)l+1. A kombinált paritás: CP=(–1)S+1.



[84] Pontosabban, a CPT-transzformációt úgy kell meghatározni, hogy a (27,4) típusú kifejezéseket változatlanul hagyja. Ezt az UT, mátrix definíciójában fellépő fázisszorzó konkrét választásával értük el (lásd a III. fejezet  25. lábjegyzetét).

[85] Arra, hogy a térbeli tükrözés két definíciója nem teljesen ekvivalens, G. Racah mutatott rá (1937).