Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

26.§. Töltéskonjugáció és a spinorok időtükrözése

26.§. Töltéskonjugáció és a spinorok időtükrözése

(25,1) kifejezésben szereplő ψpσ=upσe–ipx szorzótényező, amely az apσ, operátor mellett áll, egy p impulzusú és σ polarizációjú részecske (a továbbiakban elektront fogunk mondani) hullámfüggvénye:

ψpσ(e)=ψpσ.

A bpσ operátor mellett álló ψ̄–p–σ szorzótényezőt egy ugyanazon p-hez és σ-hoz tartozó pozitron hullámfüggvényének kell tekinteni. Ezek az elektron és pozitron hullámfüggvények azonban különböző bispinor reprezentációban vannak kifejezve. Ez abból látható, hogy ψ és ψ̄ különböző transzformációs tulajdonságú, komponenseik pedig különböző egyenletrendszereknek tesznek eleget. Hogy ezt a hiányosságot eltüntessük, ψ̄–p–σ komponensein olyan unitér transzformációt kell végrehajtanunk, hogy az új, négykomponensű függvény ugyanannak az egyenletnek tegyen eleget, mint ψpσ.[80] Et a hullámfüggvényt fogjuk a (p impulzusú és σ polarizációjú) pozitron hullámfüggvényének nevezni. UC-vel jelölve a keresett unitér transzformáció mátrixát:

3.147. egyenlet - (26,1)

ψpσ(p)=UCψ̄pσ.


Azt a C műveletet, amelynek segítségével ezt a hullámfüggvényt ψ–p–σ-ból megkapjuk, a hullámfüggvény töltéskonjugációjának nevezzük. Ez a fogalom természetesen nincsen csupán a síkhullámokra korlátozva. Bármely ψ függvénynek létezik „töltéskonjugáltja”:

3.148. egyenlet - (26,2)

Cψ(t,r)=UCψ̄(t,r),


amely ugyanúgy transzformálódik, mint ψ, és ugyanannak az egyenletnek tesz eleget.

Az UC mátrix tulajdonságai ebből a meghatározásból következnek. Ha ψ a (γp–m)ψ=0 Dirac-egyenlet megoldása, akkor ψ̄ kielégíti a

ψ̄(γp+m)=0 vagya (γ̃p+m)ψ̄=0

egyenletet. Szorozzuk meg ezt az egyenletet balról UC-vel:

UCγ̃pψ̄+mUCψ̄=0,

és követeljük meg, hogy az UCψ̄ függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint ψ:

(γp–m)UCψ̄=0.

A két egyenletet összehasonlítva, az UC és a γμ mátrixokra a következő „felcserélési szabályt” kapjuk:[81]

3.149. egyenlet - (26,3)

Ucγ̃μ=γμUC.


Feltesszük továbbá, hogy a hullámfüggvények spinor- vagy standard reprezentációban vannak megadva (a tetszőleges reprezentációra vonatkozó általános esetre csak e szakasz végén térünk majd vissza). Ezekben a reprezentációkban

3.150. egyenlet - (26,4)

γ0,2=γ̃0,2,γ1,3=γ̃1,3,(γ0,1,3)=γ0,1,3,γ2=γ2.


Ekkor a (26,3) feltételeket az UC=ηCγ2γ0 mátrix elégíti ki, ahol ηC tetszőleges állandó. A C2=1 feltételből következik, hogy |ηC|2=1, így az UC mátrix egy fázisszorzótól eltekintve meghatározott. A továbbiakban ηC=1-et fogjuk használni, így

3.151. egyenlet - (26,5)

UC=γ2γ0=αy.


Észrevéve, hogy ψ̄=ψ∗γ0=γ̃0ψ∗=γ0ψ∗, a C operátor hatását a következő alakban is felírhatjuk

3.152. egyenlet - (26,6)

Cψ=γ2γ0ψ̄=γ2ψ.


(26,6) transzformáció explicit alakban spinorreprezentáció esetén:

3.153. egyenlet - (26,7a)

C:ξαiηα̇,ηα̇iξα,


vagy, ami ugyanaz

3.154. egyenlet - (26,7b)

C:ξαiηα̇,ηα̇iξα.


A ψ±pσ síkhullámok töltéskonjugálását könnyű elvégezni, ha felhasználjuk a (23,9)-ben felírt alakjukat és az UC mátrixot standard reprezentációban:

3.155. egyenlet - (26,8)

UC=0σyσy0.


Észrevéve, hogy

σyσ∗=–σσy,

w(σ)′ meghatározásakor (23,16) szerint azt kapjuk, hogy:

3.156. egyenlet - (26,9)

UCūpσ=upσ,UCupσ=ūpσ.


Így

3.157. egyenlet - (26,10)

Cψpσ=ψpσ,


tehát a ψ–p–σ függvény, amely a (25,1)ψ-operátorban a bpσ operátor mellett szerepel, tényleg egy p impulzusúés σ polarizációjúállapotban levő részecske hullámfüggvényének felel meg. Az is látható, hogy az elektron és pozitron állapotokat egyazon függvények írják le:

ψpσ(e)=ψpσ(p)=ψpσ.

Ez egészen természetes, hiszen a ψpσ függvény csak a részecske impulzusáról és polarizációjáról tartalmaz információt.

Hasonló módon vizsgálhatjuk az időtükrözés műveletét. Az idő előjelének megváltoztatásával együtt a hullámfüggvényt komplex-konjugálni kell. Hogy az „időben tükrözött” (Tψ) hullámfüggvényt ugyanabban a reprezentációban kapjuk meg, mint a kezdeti ψ-t, ψ∗ (vagy ψ̄) komponensein még egy unitér transzformációt kell végrehajtanunk. Tehát (26,2)-höz hasonló módon a T operátor hatását ψ-re a következő alakban írjuk fel:

3.158. egyenlet - (26,11)

Tψ(t,r)=UTψ̄(t,r),


ahol UT unitér mátrix.

Írjuk fel ismét a ψ-re vonatkozó Dirac-egyenletet

(iγ0(∂/∂t)+iγ∇–m)ψ(t,r)=0,

és a ψ̄-ra vonatkozó egyenletet:

(iγ̃0(∂/∂t)+iγ̃∇+m)ψ̄(t,r)=0.

Az utóbbi egyenletben hajtsuk végre a t→–t cserét, majd szorozzuk be balról –UT-vel:

(iUTγ̃0(∂/∂t)–iUTγ̃∇)ψ̄(–t,r)–mUTψ̄(–t,r)=0.

Azt szeretnénk, hogy az UTψ̄(–t,r) függvény ugyanazt az egyenletet elégítse ki, mint

(iγ0(∂/∂t)–iγ∇)UTψ̄(–t,r)–mUTψ̄(–t,r)=0.

Ezeket az egyenleteket összehasonlítva, azt kapjuk, hogy az UT mátrixnak ki kell elégítenie a következő feltételeket:

3.159. egyenlet - (26,12)

UTγ̃0=γ0UT,UTγ̃=γUT.


Spinor- és standard reprezentációban az

3.160. egyenlet - (26,13)

UT=iγ3γ1γ0


mátrix eleget tesz ezeknek a feltételeknek.[82]

Így tehát a T operátor hatását a következő képlet írja le:

3.161. egyenlet - (26,14)

Tψ(t,r)=iγ3γ1γ0ψ̄(t,r)=iγ3γ1ψ(t,r).


Spinorreprezentációban e transzformáció explicit alakja:

3.162. egyenlet - (26,15a)

T:ξαiξα,ηα̇iηα̇


vagy

3.163. egyenlet - (26,15b)

T:ξαiξα,ηα̇iηα̇.


Standard reprezentációban:

3.164. egyenlet - (26,16)

UT=σy00σy.


Írjuk fel T, Pés C együttes hatását ψ-re. Az operációkat egymás után alkalmazva:

Tψ(t,r) =–iγ1γ3ψ∗(–t,r), PTψ(t,r) =iγ0(Tψ)=γ0γ1γ3ψ∗(–t,−r), CPTψ(t,r) =γ2(γ0γ1γ3ψ∗)∗=γ2γ0γ1γ3ψ(–t,–r),

vagy

3.165. egyenlet - (26,17)

CPTψ(t,r)=iγ5ψ(t,r).


Spinorreprezentációban

3.166. egyenlet - (26,18)

CPT:ξαiξα,ηα̇iηα̇


[amint arról könnyen meggyőződhetünk közvetlenül a (20,4), (26,7a)/(26,7b), (26,15a)/(26,15b) transzformációs képletekből is].[83]

Az UC és UT mátrixokra felírt fenti képletek ψ spinor- vagy standard reprezentációjában érvényesek. Vizsgáljuk meg végül, hogy a fenti kifejezéseknek milyen tulajdonságai maradnak meg ψ tetszőleges reprezentációjában.

Ha ψ-n unitér transzformációt hajtunk végre:

3.167. egyenlet - (26,19)

ψ=Uψ,γ=UγU1,ψ̄=ψγ0=ψ̄U+=ψ̄U1,


akkor az új reprezentációban

(Cψ)′=U(Cψ)=UUCψ̄=UUC(ψ̄′U)=UUCŨψ̄′.

Összehasonlítva ezt az új reprezentációban felírt UC′ mátrix definíciójával [(Cψ)′=UC′ψ̄′], azt kapjuk, hogy

3.168. egyenlet - (26,20)

UC=UUCŨ.


(26,20) transzformáció a γ mátrixok transzformációjával csak valós U mátrixok esetén esik egybe. Ezért a (26,5) kifejezés csak olyan reprezentációkban igaz, amelyek a spinor- vagy a standard reprezentációból valós transzformációval kaphatók.

(26,5) mátrix unitér, transzponáláskor pedig előjelet vált:

3.169. egyenlet - (26,21)

UCUC+=1,ŨC=UC.


Ezek a tulajdonságok invariánsak a (26,20) transzformációra nézve, ezért bármely reprezentációban érvényesek. A (26,5) mátrix hermitikus is, de ezt a tulajdonságot a (26,20) transzformáció az általános esetben elrontja.

A fenti kijelentések [(26,21)-et is beleértve] az UT mátrix tulajdonságaira is vonatkoznak.

A másodkvantálás keretei között a ψ-operátorok C, P, T transzformációit a keltő és eltüntető operátorok megfelelő transzformációs szabályainak segítségével kell megadni. Ezek a szabályok meghatározhatók (akárcsak a  13. §-ban 0 spinű részecskék estére) abból a feltételből, hogy a transzformált ψ-operátorok

3.170. egyenlet - (26,22)

ΨC(t,r)=UCΨ̄(t,r),ΨP(t,r)=iγ0Ψ(t,r),ΨT(t,r)=UTΨ̄(t,r)(26,22)


alakúak legyenek.

Feladat

Határozzuk meg a töltéskonjugáció operátorát a Majorana-reprezentációban (lásd a  21. § 2. feladatát).

Megoldás. A Majorana-reprezentációban felírt UC′ mátrix a standard reprezentáció UC=αy mátrixából a (26,20) transzformáció segítségével kapható meg, ahol U=(αy+β)∕√2. Az eredmény: UC′=αy (αy és β a standard reprezentáció mátrixai). A Majorana-reprezentációban felírt mennyiségeket vesszővel jelölve: Cψ′=UC′(ψ′∗β′), és mivel β′=αy, így

Cψ′=αy(ψ′∗αy)=αyα̃yψ′∗=ψ′∗,

azaz a töltéskonjugáció ekvivalens a komplex konjugálással.



[80] 0 spinű részecskére ez a kérdés fel sem merült, mivel a skalár ψ és ψ∗-függvények ugyanazt az egyenletet elégítik ki, és ψ–p∗ egyszerűen megegyzik ψp-vel.

[81] Megemlítjük az ebből következő U0γ̃5=γ5UC (26,3a)egyenlőséget.

[82] (26,13)-ban a fázisszorzó megválasztása összefügg a (26,5) választással, amint majd arra a III. fejezet  27. lábjegyzete rávilágít.

[83] A CPT írásmódban az operátorok hatásának sorrendje jobbról balra értendő. (26,17) és (26,18) előjele függ az operátorok sorrendjétől, mivel a T operátor nem cserélhető fel C-vel és P-vel (egy bispinorra való hatásukban).