Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

25.§. A spin és a statisztika kapcsolata

25.§. A spin és a statisztika kapcsolata

Az 1∕2 spinű részecskék terének (a spinortérnek) másodkvantálását ugyanúgy végezhetjük el, mint a  11. §-ban skalártér esetén.

Anélkül, hogy megismételnénk az ottani teljes gondolatmenetet, írjuk fel rögtön a téroperátorok (11,2)-nek megfelelő kifejtését:

3.137. egyenlet - (25,1)

Ψ=pσ12𝜀(apσupσeipx+bpσ+upσeipx),ΨΨ+γ0=pσ12𝜀(apσ+ūpσeipx+bpσūpσeipx),(25,1)


ahol a p impulzus minden értékére és σ=±1∕2-re kell összegezni. Az antirészecskék bpσ eltüntető operátorai (és a részecskék apσ eltüntető operátorai) olyan függvények együtthatóiként szerepelnek, amelyek koordinátafüggésük szerint (eipr) adott p impulzusúállapotoknak felelnek meg.[77]

A spinortér Hamilton-operátorának kiszámításához nem szükséges meghatároznunk a tér energia–impulzus-tenzorát (mint azt a skalártér esetében tettük), mivel ebben az esetben létezik a részecske Hamilton-operátora , amelynek segítségével felírható a (21,12) hullámegyenlet (a Dirac-egyenlet ). ψ hullámfüggvénnyel rendelkező állapotban a részecske átlagos energiáját az

3.138. egyenlet - (25,2)

ψHψd3x=iψψtd3x=iψ̄γ0ψtd3x


integrál határozza meg. Felhívjuk az olvasó figyelmét arra, hogy az„energiasűrűség” (az integrál alatti kifejezés) nem pozitív definit.

(25,2) kifejezésben a ψ és ψ̄ függvényeket ψ-operátorokkal helyettesítve, és figyelembe véve a különböző p-hez és σ-hoz tartozó hullámfüggvények ortogonalitását, valamint a hullámamplitúdókra vonatkozó ū±pσγ0u±pσ=2ε összefüggést, a Hamilton-operátorra a következő kifejezést kapjuk:

3.139. egyenlet - (25,3)

H=pσ𝜀(apσ+apσbpσbpσ+).


Innen látszik, hogy az adott esetben a kvantálást a Fermi-statisztika szabálya szerint kell elvégezni:

3.140. egyenlet - (25,4)

{apσ,apσ+}+=1,{bpσ,bpσ+}+=1,


és az a, a+, b, b+ operátorok minden más párosításban antikommutálnak egymással (l. III. 65. §). Valóban, a (25,3) Hamilton-operátor ekkor

H=∑pσε(apσ+apσ+bpσ+bpσ–1)

alakra hozható, és így az energia-sajátértékek (mint mindig, egy végtelen additív állandó levonása után):

3.141. egyenlet - (25,5)

E=pσ𝜀(NpσN̄pσ)


tehát, amint azt el is várjuk, pozitív definitek. Ha a Bose-statisztika szerint kvantáltunk volna, akkor (25,3)-ból értelmetlen, nem pozitív definit

∑ε(Npσ–N̄pσ)

sajátértékeket kaptunk volna.

(25,5)-nek megfelelő kifejezést kapunk a rendszer impulzusára – az ∫Ψ+pΨd3x operátor sajétértékeire:

3.142. egyenlet - (25,6)

P=pσp(Npσ+N̄pσ).


A négyesáram operátora

3.143. egyenlet - (25,7)

jμ=Ψ̄γμΨ,


és így a tér „töltésoperátorára” a következő kifejezést kapjuk:

3.144. egyenlet - (25,8)

Q=Ψ̄γ0Ψd3x=pσ(apσ+apσ+bpσbpσ+)=pσ(apσ+apσbpσ+bpσ+1),


és ennek sajátértékei

3.145. egyenlet - (25,9)

Q=pσ(NpσN̄pσ).


Így ismét egy részecskéket és antirészecskéket leíró képhez jutottunk, amelyre igazak a 11. § ide vonatkozóállításai.

A 0 spinű részecskék bozonok, az 1∕2 spinű részecskék viszont fermionok. Ha nyomon követjük ennek a különbségnek a formális eredetét, azt találjuk, hogy ez a skalár- és spinorterek „energiasűrűségét” leíró kifejezések különböző jellegéből származik. Az első esetben ez a kifejezés pozitív definit, ezért a (11,3) Hamilton-operátorban mindkét tag (a+a és bb+) pozitív előjellel szerepel. Hogy az energia-sajátértékek pozitivitását biztosítsuk, a bb+-ről b+b-re való áttéréskor nem szabad előjelet változtatnunk, tehát ez a Bose-féle felcserélési szabály szerint kell, hogy történjék. Spinortér esetén az „energiasűrűség” nem pozitív definit, ezért a (25,3) Hamilton-operátorban a bb+ tag negatív előjellel szerepel, tehát hogy pozitív sajátértékeket kapjunk, a bb+→b+b cserével egyidejűleg az előjelet is meg kell változtatnunk, azaz a Fermi-féle felcserélési szabályt kell alkalmaznunk. Másrészről viszont az energiasűrűség alakja közvetlen kapcsolatban van a hullámfüggvény transzformációs tulajdonságaival és a relativisztikus invariancia követelményével. Ilyen értelemben azt mondhatjuk, hogy a spin és a statisztika kapcsolata, amelynek a részecskék eleget tesznek, szintén a fenti követelmények egyenes következménye.

Abból a tényből, hogy az 1∕2 spinű részecskék fermionok, következik egy általános állítás: minden félegész spinű részecske fermion, minden egész spinű részecske pedig bozon (az utóbbi állítást 0 spinre a  11. §-ban bizonyítottuk be).[78]

A fenti tétel nyilvánvalóvá válik, ha észrevesszük, hogy egy s spinű részecskét elképzelhetünk úgy, mintha az 2s számú 1∕2 spinű részecskéből lenne összeállítva. A 2s szám félegész s esetén páratlan, egész s esetén páros. Az olyan „összetett” részecske, amely páros számú fermiont tartalmaz, bozon, amely pedig páratlan számú fermiont tartalmaz, fermion.[79]

Ha a rendszer különböző fajtájú részecskékből áll, akkor mindegyik fajta részecskére be kell vezetni a keltő és eltüntető operátorokat. Ennek során a különböző bozonokhoz vagy pedig bozonhoz és fermionhoz tartozó operátorok felcserélhetők egymással. Ami a különböző fermionokhoz tartozó operátorokat illeti, a nemrelativisztikus elmélet keretei közt tekinthetjük őket kommutálóknak vagy antikommutálóknak (l. III. 65. §). A relativisztikus elméletben, amely megengedi a récszeskék kölcsönös átalakulását, a különböző fermionokhoz tartozó keltő és eltüntető operátorokat antikommutálóknak kell tekinteni, csakúgy, mint az ugyanazon fermion különböző állapotaihoz tartozó operátorokat.

Feladat

Írjuk fel a spinortér Lagrange-operátorát .

Megoldás. A Dirac-egyenlethez tartozó Lagrange-függvényt az

3.146. egyenlet - (1)

L=i2(ψ̄γμμψμψ̄γμψ)mψ̄ψ


valós skalár kifejezés adja meg. A q„általános koordinátákon”ψés ψ̄ komponenseit értve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a megfelelő (10,10) Lagrange-egyenletek a ψ̄-ra és ψ-re vonatkozó Dirac-egyenletet adják. A Lagrange-függvény előjele (akárcsak a benne szereplő közös együttható) az adott esetben önkényesen megválasztható. Mivel L lineárisan tartalmazza ψés ψ̄ deriváltjait, az S=∫Ld4x hatásnak úgysem lehet sem maximuma, sem minimuma. A δS=0 feltétel ebben az esetben nem az integrál szélsőértékét, hanem csak stacionáris pontját határozza meg.

A spinortér Lagrange-operátorát úgy kapjuk meg (25,1f)-ből, hogy benne ψ-t a Ψ operátorral helyettesítjük. Erre a Lagrange-operátorra a (12,12) képletet alkalmazva, a (25,7) áramoperátort kapjuk.



[77] Mindkét eltüntető operátor mellett álló függvény a nyugalmi rendszerben definiált spinvetületnek ugyanahhoz a σ értékéhez tartozik; a ψ̄–p–σ függvényekre ezt a  26. §-ban fogjuk megmutatni – l. (26,10).

[78] A részecske spinje és a részecskére vonatkozó statisztika kapcsolatának az eredetét elsőnek Pauli tárta fel 1940-ben.

[79] Ez a gondolatmenet feltételezi, hogy azonos spinű részecskék azonos statisztikának tesznek eleget (attól függetlenül, hogy hogyan vannak „összetéve”). Hogy ez tényleg így van, az hasonló érvelésből következik. Ha léteznének 0 spinű fermionok, akkor egy 0 spinű és egy 1∕2 spinű fermionból összeállíthatnánk egy 1∕2 spinű részecskét, amely bozonként viselkedne – ez pedig ellentmond az 1∕2 spinű részecskékre általánosan bebizonyított állításnak.