Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

24.§. Gömbhullámok

24.§. Gömbhullámok

Egy 1∕2 spinű, meghatározott j impulzusmomentumú szabad részecske hullámfüggvénye egy spinor-gömbhullám. Ahhoz, hogy ennek az alakját meghatározzuk, idézzük fel először a nemrelativisztikus elmélet megfelelő képleteit.

A nemrelativisztikus hullámfüggvény egy háromdimenziós ψ=(ψ1 / ψ2) spinor. Ha egy részecske ε energiája (és vele együtt p impulzusa),[74]l pálya-impulzusmomentuma, j teljes impulzusmomentuma és annak m vetülete adott, akkor hullámfüggvénye

3.123. egyenlet - (24,1)

ψ=Rpl(r)Ωjlm(𝜃,φ)


alakú.*[75] Az Ωjlm szögfüggő rész háromdimenziós spinor, amelynek komponenseit (az adott lérték mellett lehetséges j=l±1∕2-re) az

3.124. egyenlet - (24,2)

Ωl+12,l,m=j+m2jYl,m12jm2jYl,m+12,Ωl12,l,m=jm+12j+2Yl,m12j+m+12j+2Yl,m+12(24,2)


képletek adják meg (l. a III. 106. feladatát). Ωjlm-et gömbi spinornak fogjuk nevezni. Ezek úgy vannak normálva, hogy kielégítsék az alábbi feltételt:

3.125. egyenlet - (24,3)

ΩjlmΩjlmdΩ=δjjδllδmm.


Az Rpl radiális függvény a spinor két komponensének közös szorzótényezője, és a III. (33,10) képlet szerint[76]

3.126. egyenlet - (24,4)

Rpl=prJl+12(pr).


A radiális függvények normálása:

3.127. egyenlet - (24,5)

0r2RplRpldr=δ(pp).


Visszatérve a relativisztikus esetre, először is emlékeztetjük az olvasót arra, hogy a spin és a pálya-impulzusmomentum külön-külön nem marad meg: az sés l operátorok nem cserélhetők fel a Hamilton-operátorral. Azonban az előzőekhez hasonlóan (szabad részecskére) megmarad az állapot paritása. Ezért az l kvantumszám elveszti a pálya-impulzusmomentumra utaló jelentését, de ez határozza meg (lásd alább) az állapot paritását.

Tekintsük a keresett hullámfüggvényt (bispinort) standard reprezentációban: ψ=(φ / χ). Térbeli forgatásokkal szemben φ és χ háromdimenziós spinorként viselkedik. Ezért szögfüggésüket ugyanaz az Ωjlm gömbi spinor adja meg. Legyen φ∝Ωjlm, ahol l a j+1∕2 és j–1∕2 értékek valamelyike. Tükrözéskor φ(r)→iφ(–r) [l. (21,18)], és mivel Ωjlm(–n)=(–1)lΩjlm(n), azért

φ(r)→i(–1)lφ(r).

A χ komponensek tükrözéskor χ(r)→–iχ(r) szerint transzformálódnak. Hogy az állapot határozott paritású legyen (tehát hogy komponensei tükrözéskor azonos tényezővel szorzódjanak), következésképpen az szükséges, hogy χ-ben az Ωjl′m gömbi spinor szerepeljen a másik l értékkel (a két lehetséges közül): mivel ezek 1-gyel térnek el egymástól, így (–1)l′=–(–1)l.

φ és χ radiális részei ugyancsak Rpl és Rpl′ lesznek (azzal az l és l′értékkel, amely a megfelelő Ωjlm gömbfüggvényben szerepel). Ez abból látható, hogy ψ mindegyik komponense eleget tesz a (p2–m2)ψ=0 másodrendű egyenletnek, amely adott |p|érték mellett

(Δ+p2)ψ=0

alakú, tehát formálisan megegyezik a szabad részecskére felírt nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlettel .

Így

3.128. egyenlet - (24,6)

φ=ARplΩjlm,χ=BRplΩjlm,


ahol már csak az Aés Bállandó együtthatókat kell meghatároznunk. Tekintsünk ezért olyan távoli térrészt, ahol a gömbhullámot síkhullámnak vehetjük. A III. (33,12) aszimptotikus képlet szerint

3.129. egyenlet - (24,7)

Rpl2π12ireiprπl2eiprπl2,


tehát φ két olyan síkhullám különbsége, amelyek a ±n irányban (n=r∕r) terjednek. Mindkettőre fennáll (23,8) szerint, hogy

χ=(p/ε+m)(±nσ)φ.

A fentiekből [(24,6) képletek] nyilvánvaló, hogy (nσ)Ωjlm=aΩjl′m, ahol a állandó. Ezt az állandót könnyen meg lehet határozni, ha összehasonlítjuk az egyenlőség két oldalát m=1∕2 esetén, és amikor az n irány a z tengely irányával esik egybe. (7,2a) felhasználásával azt kapjuk, hogy

3.130. egyenlet - (24,8)

(nσ)Ωjlm=illΩjlm.


A fenti képletek és (24,6) alapján így

B=–(p/ε+m)A.

Végül az A együtthatót ψ normálása határozza meg. Ha ψ-t az

3.131. egyenlet - (24,9)

ψpjlmψpjlmd3x=δjjδllδmmδ(pp)


feltétellel normáljuk, a következő végeredményt kapjuk:

3.132. egyenlet - (24,10)

ψpjlm=12𝜀𝜀+mRplΩjlm𝜀mRplΩjlm,l=2jl.


Így adott jés m (és ε energia) mellett két állapot lehetséges, amelyek paritásukban különböznek. Az utóbbit egyértelműen meghatározza az 1 szám, amely j±1∕2értékeket vehet fel: tükrözéskor a (24,10) bispinor azi(–1)l tényezővel szorzódik. Ugyanakkor a bispinor komponensei egyaránt tartalmaznak lés l′ rendű gömbfüggvényeket – ez fejezi ki azt a tényt, hogy a pálya-impulzusmomentumnak nincs meghatározott értéke.

Ha r→∞, akkor a tér kis részében a (24,7) gömbhullámokat p±pn impulzusú síkhullámoknak is tekinthetjük. Ezért nyilvánvaló, hogy impulzusreprezentációban a hullámfüggvény lényegében csak abban tér el (24,10)-től, hogy hiányzik belőle a radiális rész, és az n vektort az impulzus irányaként értelmezzük.

Közvetlenül áttérhetünk az impulzusreprezentációra a Fourier-kifejtés segítségével:

3.133. egyenlet - (24,11)

ψ(p)=ψ(r)eiprd3x.


Az integrál kiszámítható, ha felhasználjuk a síkhullám gömbhullámok szerinti kifejtését [lásd a III. (34,3) képletet]:

3.134. egyenlet - (24,12)

eipr=(2π)32pl=0m=llilRpl(r)YlmppYlmrr.


(24,11)-ben szereplőe–ip′r tényezőt (24,12) alakban felírva és a (24,5) feltételt figyelembe véve, a

ψ(r)=Rpl(r)Ωjlm((r/r))

függvény Fourier-komponenseire a

ψ(p′)=((2π)3∕2/p)δ(p′–p)i–lYlm′((p′/p′))∫Ωjlm((r/r))Ylm′∗((r/r)) dΩ

kifejezést kapjuk. Az itt szereplő integrál megegyezik a (24,2) gömbi spinorokban található gömbfüggvények együtthatóival , és az Ylm′(p′∕p′) tényezővel együtt ismét ugyanazt a gömbi spinort alkotja, de ennek már p′∕p′ az argumentuma:

ψ(p′)=((2π)3∕2/p)δ(p′–p)i–lΩjlm((p′/p′)).

A fenti eredményt a (24,10) bispinor hullámfüggvényre alkalmazva, megkapjuk azt impulzusreprezentációban:

3.135. egyenlet - (24,13)

ψpjlm(p)=δ(pp)(2π)32p2𝜀𝜀+milΩjlm(pp)𝜀milΩjlm(pp).


A |pjlm⟩állapotok megegyeznek a  16. §-ban vizsgált |pjm|λ|⟩ állapotokkal (ahol |λ|=1∕2): mindkettőhöz meghatározott pjm és paritás tartozik. Így az Ωjlm gömbi spinorok meghatározott összefüggésben állnak a Dλm(j) függvényekkel (mindkettő argumentuma p∕p). Ha p→0, a (24,13) hullámüggvényből Ωjlm háromdimenziós spinor lesz, amelynek paritása P=η(–1)l (ahol η=i a spinor „belső paritása” ). A  16. § eredményeivel való összehasonlításból a következő képletet kapjuk:

3.136. egyenlet - (24,14)

Ωjlm=il2j+18πw12D12m(j)±w12D12m(j)


(l=j∓1∕2 esetén), ahol w(λ)(23,14) háromdimenziós spinorokat jelöli.



[74] Ebben a szakaszban p-vel |p|-t jelöljük.

[75] * Megjegyzés. Ne tévesszük össze a gömbi spinorΩjlm jelét a térszöget jelölő Ω-val. (A szerk.)

[76] Az Rpl függvények definíciója a III. kötetben a most használttól √(2π) szorzótényezőben különbözik.