Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

23.§. Síkhullámok

23.§. Síkhullámok

Adott impulzusú és energiájú szabad részecske állapotát egy síkhullám írja le, amelyet

3.107. egyenlet - (23,1)

ψp=12𝜀upeipx


alakban írhatunk. A p index a négyesimpulzust jelöli; a hullám up amplitúdója egy megfelelő módon normált bispinor.

A másodkvantálás elvégzésekor szükségünk lesz a (23,1) hullámfüggvény mellett a „negatív frekvenciás” függvényekre is. Ezek a relativisztikus elméletben, mint azt a  11. §-ban megmagyaráztuk, a ±√(p2+m2) négyzetgyök kétértelműsége miatt jelennek meg. Akárcsak a  11. §-ban, ε-on mindenhol az ε=+√(p2+m2) pozitív mennyiséget fogjuk érteni, tehát a „negatív frekvencia”: –ε. Egyidejűleg p előjelét is megváltoztatva új függvényt kapunk, amit természetes módon ψ–p-vel jelölünk:

3.108. egyenlet - (23,2)

ψp=12𝜀upeipx.


E függvények értelmét a 26. § világítja majd meg. A továbbiakban párhuzamosan adjuk meg a ψp-re és ψ–p-re vonatkozóösszefüggéseket.

Az up és u–p bispinor amplitúdók komponensei kielégítik a

3.109. egyenlet - (23,3)

(p̂m)up=0,(p̂+m)up=0(23,3)


algebrai egyenletrendszert, amelyet a Dirac-egyenletből kapunk, ha (23,1)-etés (23,2)-et behelyettesítjük (a p operátor hatása ±p szorzótényezőt eredményez).[71] Ahhoz, hogy a fenti egyenletrendszereknek nemtriviális megoldásai legyenek, teljesülnie kell a p2=m2összefüggésnek. A bispinor amplitúdókat mindig az

3.110. egyenlet - (23,4)

ūpup=2m,ūpup=2m(23,4)


invariáns feltételek szerint fogjuk normálni (a betű feletti vonás, mint mindig, a Dirac-konjugáltat jelöli: ū=u∗γ0). A (23,3) egyenleteket balról ū±p-vel szorozva,(ū±pγu±p)p=2m2=2p2, ahonnan látható, hogy

3.111. egyenlet - (23,5)

ūpγup=ūpγup=2p.


Megjegyezzük, hogy az up-re vonatkozó képletekből az u–p-re vonatkozó képleteket m előjelének megváltoztatásával kaphatjuk meg.

Az áramsűrűség négyesvektora:

3.112. egyenlet - (23,6)

j=ψ̄±pγψ±p=12𝜀ū±pγu±p=p𝜀,


azaz jμ=(1,v), ahol v=p∕ε a részecske sebessége. Innen látható, hogy a ψp függvények az „egy részecske a V=1 térfogatban” konvenció szerint vannak normálva.

(23,3) egyenletek miatt a hullám amplitúdójának komponensei bizonyos összefüggéseket elégítenek ki. Ezeknek az alakja természetesen függ ψ konkrét reprezentációjától. Határozzuk meg őket a standard reprezentációra.

(21,19) egyenletekből síkhullámokra azt kapjuk, hogy

3.113. egyenlet - (23,7)

(𝜀m)φpσχ=0,(𝜀+m)χpσφ=0.(23,7)


Innen kapjuk a φés χ közötti összefüggést két, egymással ekvivalens alakban:

3.114. egyenlet - (23,8)

φ=pσ𝜀mχ,χ=pσ𝜀+mφ


[a két képlet ekvivalenciája nyilvánvaló: az elsőt balról pσ∕(ε+m)-mel megszorozva és figyelembe véve, hogy (pσ)2=p2és ε2–m2=p2, megkapjuk a másodikat]. A φ-ben és χ-ben szereplő közös tényezőt úgy választjuk meg, hogy az amplitúdó kielégítse a (23,4) normálási feltételt. Így up-re (és hasonló módon u–p-re) a következő kifejezéseket kapjuk:

3.115. egyenlet - (23,9)

up=𝜀+mw𝜀m(nσ)w,up=𝜀m(nσ)w𝜀+mw


[a második képletet megkaphatjuk az elsőből, ha m előjelét megváltoztatjuk,és a w→(nσ)w′ jelölést bezetjük be]. Itt n a p irányába mutató egységvektor, w pedig tetszőleges, kétkomponensű mennyiség, amely eleget tesz a

3.116. egyenlet - (23,10)

ww=1


normálási feltételnek. ū=u∗γ0-ra [γ0 -t (21,20)-ból véve] azt kapjuk, hogy

3.117. egyenlet - (23,11)

ūp=(𝜀+mw,𝜀mw(nσ)),ūp=(𝜀mw(nσ),𝜀+mw),(23,11)


és a szorzást elvégezve, meggyőződhetünk arról, hogy ū±pu±p=±2m.

A részecske nyugalmi rendszerében, azaz ε=m esetén

3.118. egyenlet - (23,12)

up=2mw0,up=2m0w,


tehát w az a háromdimenziós spinor, amelybe a hullám amplitúdója nemrelativisztikus közelítésben átmegy. Megjegyezzük, hogy az u–p bispinorban a nyugalmi rendszerben az első két komponens tűnik el, nem a második kettő. A„negatív frekvenciás” Dirac-egyenletnek ez a tulajdonsága már eleve nyilvánvaló: ha (23,7)-be p=0-t helyettesítünk, és ε helyébe –m-et írunk, akkor φ=0-t kapunk.[72]

Egy síkhullám amplitúdója egy tetszőleges kétkomponensű mennyiséget tartalmaz. Más szóval, adott impulzus esetén két független állapot létezik, a spinvetület két lehetséges értékének megfelelően. Azonban a spin tetszőleges z tengelyre eső vetületének nem lehet határozott értéke. Ez abból látszik, hogy adott p esetén a részecske Hamilton-operátora (azaz a H=αp+βm mátrix) nem cserélhető fel a Σz=–iαxαy mátrixszal. A  16. §-ban tett általános megállapításoknak megfelelően viszont megmarad a λ helicitás – a spinnek p irányára vett vetülete: a Hamilton-operátor felcserélhető az nΣ mátrixszal.

A helicitás-sajátállapotoknak olyan síkhullámok felelnek meg, amelyekben a háromdimenziós w=w(λ)(n) spinor az nσ operátor sajátfüggvénye:

3.119. egyenlet - (23,13)

12(nσ)w(λ)=λw(λ).


E spinorok konkrét alakja:

3.120. egyenlet - (23,14)

w(λ=12)=eiφ2 cos𝜃2eiφ2 sin𝜃2,w(λ=12)=eiφ2 sin𝜃2eiφ2 cos𝜃2,


ahol és φ az n iránynak rögzített xyz tengelyekre vett polár- és azimutszöge.[73]

A p impulzusú szabad részecske két független állapotának egy másik lehetséges megválasztása (amely egyszerűbb, bár kevésbé szemléletes) a részecske nyugalmi rendszerében meghatározott, z-tengely irányú spinvetület két értékének felel meg. Jelöljük ezt σ-val. A megfelelő spinorok:

3.121. egyenlet - (23,15)

w(σ=12)=10,w(σ=12)=01.


A két lineárisan független „negatív frekvenciás” megoldásnak olyan síkhullámokat választunk, amelyben a háromdimenziós spinorok:

3.122. egyenlet - (23,16)

w(σ)=σyw(σ)=2σiw(σ)


(ennek a választásnak az értelmét a 26. §-ban látjuk majd meg).

Feladatok

1. Vezessük le a (23,9) hullámfüggvényt közvetlenül a nyugalmi rendszerből végzett Lorentz transzformációval.

Megoldás. Egy K rendszerhez képest véges V sebességgel mozgó K′ rendszerre való áttérés transzformációs képletét a  21. § 1. feladatának (21,1f) képletéből ugyanúgy kaphatjuk meg, mint ahogy (18,13)-at kaptuk (18,12)-ből:

ψ′=e–(φ/2)ναψ=(ch(φ/2)–ναsh(φ/2))ψ,

ahol ν a V irányába mutató egységvektor, és thφ=|V|. Ugyanezen képlet szerint transzformálódik az u bispinor amplitúdó. Ha K a részecske nyugalmi rendszere, és a K′ rendszerben az impulzusa p, akkor V=–p∕ε, ahonnan

ch(φ/2)=√((ε+m/2m)), sh(φ/2)=√((ε–m/2m)).

Az u bispinort (23,12)-ből véve és az α mátrixok standard reprezentációját felhasználva, u′-re (23,9)-et kapjuk.

2. Szabad részecske nyugalmi rendszerében a spin megmarad, a részecske hullámfüggvényének pedig (standard reprezentációban) mindössze két komponense van, amelyek a spin adott, z tengely irányú vetülete ±1∕2 értékeinek felelnek meg. Keressünk olyan reprezentációt, amelyben a hullámfüggvénynek (síkhullámnak) bármely vonatkoztatási rendszerben csak két komponense van, amelyek ugyanarra az állapotjellemzőre a nyugalmi rendszerben definiált spinvetület határozott értékeinek felelnek meg (L. Foldy , S. A. Wouthuysen , 1950).

Megoldás. A standard reprezentációban (23,9)-ben felírt up amplitúdóból kiindulva, a megfelelő unitér transzformációt U=eWγn alakban keressük, ahol n a p irányába mutató egységvektor, és W valós mennyiség (mivel γ+=–γ, ezért automatikusan U+=U–1). Az exponenst sorba fejtve és figyelembe véve, hogy (γn)2=–1, U-ra a következő kifejezést kapjuk:

U=cosW+γnsinW.

Abból a feltételből, hogy az up′=Uup transzformált amplitúdó utolsó két komponense eltűnik, azt kapjuk, hogy tgW=|p|∕(m+ε), vagy

W=arctg(|p|/m+ε)=(1/2)arctg(|p|/m).

Az új reprezentációban:

up=√(2ε)(w / 0).

A részecske Hamilton-operátora az új reprezentációban:

H′=U(αp+βm)U–1=βε

(a β,α,γ mátrixok mind standard reprezentációban szerepelnek). Ez a Hamilton-operátor kommutál a

Σ=–αγ5=(σ 0 / 0 σ)

mátrixszal, amely az új reprezentációban megmaradó fizikai mennyiség, a nyugalmi rendszerben definiált spin operátora.



[71] Megadjuk a komplex konjugált függvényre vonatkozó (21,9) Dirac-egyenletből kapható analóg egyenleteket: ūp(p̂–m)=0 ū–p(p̂+m)=0. (23,3a)

[72] Spinorreprezentációban ekkor ξ=–η teljesül η=ξ helyett, amit a „pozitív frekvenciás” megoldásokra kaptunk a nyugalmi rendszerben.

[73] (23,13) egyenlet megoldását megszorozhatjuk egy tetszőleges fázisszorzóval, ami az n tengely körüli tetszőleges elforgatásnak felel meg. Ennek a szabadságnak felel meg az, hogy a III. (58,6) képletben a γ szög tetszőleges [a (23,14) képleteket megkaphatjuk III. (58,6)-ból, ha a spinor vesszős komponenseit (1 0)-nak vagy (0 1)-nek vesszük – ez a ζ tengely irányú spinvetület határozott értékeinek felel meg –, és ha az α,β,γ szögek helyébe φ,,0 szögeket írunk].