Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

22.§. A Dirac-mátrixok algebrája

22.§. A Dirac-mátrixok algebrája

A Dirac-egyenlettel kapcsolatos számítások során gyakran kell használnunk a γ mátrixokat anélkül, hogy egyik vagy másik konkrét reprezentációban felírt alakjukhoz fordulnánk. E mátrixokkal végzett műveletek szabályait teljes mértékben meghatározzák a

3.86. egyenlet - (22,1)

γμγν+γνγμ=2gμν(μ,ν=0,1,2,3)


felcserélési relációk.

Ebben a szakaszban felsoroljuk a γ mátrixok algebrájának néhány olyan képletét és szabályát, amelyek hasznosak a különböző számításokban.

A γ mátrixok önmagukkal való „skalárszorzata”: gμνγμγν=4. A rövidség kedvéért vezessük be a kovariáns komponensekkel analóg módon a γμ=gμνγν jelölést. Ekkor

3.87. egyenlet - (22,2)

γμγμ=4.


Ha γμés γμ mátrixokat egy vagy több γ szorzótényező választja el, akkor a tényezőket egyszer vagy többször felcserélve [a (22,1) szabály szerint], γμ-t ésγμ-t egymás mellé lehet vinni, és ezután a μ szerinti összegezést (22,2) szerint elvégezhetjük. Így kaphatjuk a következő képleteket:

3.88. egyenlet - (22,3)

γμγνγν=2γν,γμγλγνγμ=4gλν,γμγλγνγϱγμ=2γϱγνγλ,γμγλγνγϱγσγμ=2(γσγλγνγϱ+γϱγνγλγσ).(22,3)


A γμ,… szorzótényezők általában különböző négyesvektorokkal együtt szerepelnek, „skalárszorzat” alakjában. A továbbiakban gyakran fogjuk az

3.89. egyenlet - (22,4)

â=γaγμaμ


jelölést használni. Ilyen skalárszorzatokra a (22,1) képletek

3.90. egyenlet - (22,5)

âb̂+b̂â=2(ab),ââ=a2,


(22,3) képletek pedig

3.91. egyenlet - (22,6)

γμâγμ=2â,γμâb̂γμ=4(ab),γμâb̂ĉγμ=2ĉb̂â,γμâb̂ĉd̂γμ=2(d̂âb̂ĉ+ĉb̂âd̂)(22,6)


alakot nyernek. Igen gyakran előfordul, hogy néhány γ mátrix szorzatának nyomát kell képeznünk. Tekintsük a

3.92. egyenlet - (22,7)

Tμ1μ2μn14Sp(γμ1γμ2γμn)


mennyiségeket. A mátrixszorzatok nyomának ismert tulajdonsága szerint ez a tenzor szimmetrikus a μ1μ2…μn indexek ciklikus cseréjére nézve.

Mivel a γ mátrixok bármilyen koordináta-rendszerben ugyanolyan alakúak, így T sem függ a koordináta-rendszer kiválasztásától. Ezért T olyan tenzor, amely csak a fenti tulajdonsággal rendelkező gμν metrikus tenzorból épül fel.

Viszont a másodrendű gμν tenzorból csak páros rendű tenzorok állíthatók össze. Már ebből következik, hogy páratlan számú γ szorzatának nyoma zérus. Így például mindegyik γ-mátrix nyoma zérus:[69]

3.93. egyenlet - (22,8)

Spγμ=0.


A 4×4-es egységmátrix nyoma [ez áll hallgatólagosan a (22,1) csererelációk jobb oldalán] egyenlő4-gyel. Így (22,1)-ből – mindkét oldal nyomát képezve – következik, hogy

3.94. egyenlet - (22,9)

Tμν=gμν.


Négy mátrix szorzatának nyoma:

3.95. egyenlet - (22,10)

Tλμνϱ=gλμgνϱgλνgμϱ+gλϱgμν.


Ezt a képletet megkaphatjuk például úgy, hogy Spγλγμγνγϱ-ban a γλ szorzótényezőt a (22,1) felcserélési törvény segítségével a többi mátrixon„átemelve”, jobb oldalra visszük. Minden átemelés után megjelenik egy a (22,10)-ben szereplő tagok közül:

Tλμνϱ=2gλμTνϱ–Tμλνϱ=2gλμgνϱ–Tμλνϱ

stb. A felcserélések elvégzése után a jobb oldalon megjelenik –Tμνϱλ=–Tλμνϱ, és ezt átvisszük a bal oldalra. Hasonlóképpen hat γ mátrix szorzatának nyoma visszavezethető négy szorzótényező nyomára stb. Tehát

3.96. egyenlet - (22,11)

Tλμνϱστ=gλμTνϱστgλνTμϱστ+gλϱTμνστgλσTμνϱτ+gλτTμνϱσ.


Megjegyezzük, hogy a Tλμ… nyomok mind valósak, és csak akkor különböznek nullától, ha a γ0,γ1,… mátrixok mindegyike párosan fordul elő. Mindkét állítás nyilvánvaló a fenti képletek alapján. Ezekből viszont következik, hogy a nyom nem változik, ha a szorzótényezők sorrendjét megfordítjuk:[70]

3.97. egyenlet - (22,12)

Tλμϱσ=Tσϱμλ.


Mint már említettük, a γ mátrixok általában különböző négyesvektorokkal való „skalárszorzatok” alakjában fordulnak elő. Ilyen esetekben például a (22,9) és (22,10) képletek azt jelentik, hogy

3.98. egyenlet - (22,13)

14Spâb̂=ab,14Spâb̂ĉd̂=(ab)(cd)(ac)(bd)+(ad)(bc).(22,13)


Különleges szerepe van a γ0γ1γ2γ3 szorzatnak. Erre külön jelölést vezettek be:

3.99. egyenlet - (22,14)

γ5=iγ0γ1γ2γ3.


Könnyen belátható, hogy

3.100. egyenlet - (22,15)

γ5γμ+γμγ5=0,(γ5)2=1,


azaz a γ5 mátrix az összes γμ-vel antikommutál. Az αés β mátrixokra igaz, hogy

3.101. egyenlet - (22,16)

αγ5γ5α=0,βγ5+γ5β=0


(az α-ra való felcserélhetőség abból következik, hogy α=γ0γ, két γ mátrix szorzata).

A γ5 mátrix hermitikus. Valóban,

γ5+=iγ3+γ2+γ1+γ0+=–iγ3γ2γ1γ0,

és mivel a 3210 sorrend a 0123 sorrendből páros számú felcseréléssel kapható, így

3.102. egyenlet - (22,17)

γ5+=γ5.


Megadjuk ennek a mátrixnak az alakját két konkrét reprezentációban:

3.103. egyenlet - (22,18)

spinorreprezentációbanγ5=1001;standardreprezentációbanγ5=0110.


A γ5 mátrix nyoma nulla:

3.104. egyenlet - (22,19)

Spγ5=0


[ez (22,8)-ból közvetlenül is látható]. Úgyszintén nulla a γ5γμγν szorzat nyoma is. A γ5 mátrixot négy γμ mátrixszal szorozva,

3.105. egyenlet - (22,20)

14Spγ5γλγμγνγϱ=ieλμνϱ.


Megemlítjük még a következő képletet:

3.106. egyenlet - (22,21)

N̂=iγ5âb̂ĉ,Nλ=eλμνϱaμbνcϱ,


ami ab=ac=bc=0 esetén érvényes.

Feladat

Számítsuk ki az (1/4)Spγ5γλγμγνγϱγσϱτ≡Aλμνϱστ kifejezést.

(22,1) felcserélési törvényt és a (22,20) képletet felhasználva, a mátrix keresett nyomát a következő alakra hozhatjuk:

Aλμνϱστ=–2iBλμνϱστ+Aνμλτσϱ,

ahol

Bλμνϱστ=eλμνϱgστ–eλμνσgϱτ+eλμντgϱσ–eντσϱgλμ+eμτσϱgλν–eλτσϱgμν.

A nyom ciklikus tulajdonságát és (22,12)-t felhasználva, Aνμλτσϱ=Aλμνϱστ; így

Aλμνϱστ=–iBλμνϱστ.



[69] A mátrix nyoma invariáns a γ′=UγU–1 transzformációra nézve. Ezért (22,8) nyilvánvaló a γ mátrixok (21,3) konkrét kifejezéseiből is.

[70] Mivel tetszőleges M mátrixra SpM=SpM̄, így (azt is felhasználva, hogy a nyom valós): Sp(γλ…γν)=Sp(γλ…γν)+=Sp(γν+…γλ+), mindegyik mátrix vagy hermitikus, vagy antihermitikus (γμ+=±γμ), és párosan fordul elő, így (22,12) nyilvánvaló.