Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

21.§. A Dirac-egyenlet szimmetrikus alakja

21.§. A Dirac-egyenlet szimmetrikus alakja

A Dirac-egyenlet legtermészetesebb alakja a spinoralak abban az értelemben, hogy ez szemmel láthatóan relativisztikusan invariáns. A különböző alkalmazásokban azonban néha a hullámegyenlet más alakjait kényelmesebb használni. Ezeket a hullámfüggvény négy független komponensének más választásával kapjuk.

A négykomponensű hullámfüggvényt ψ-vel fogjuk jelölni (a négy komponens ψi, i=1,2,3,4). Spinorreprezentációban ez bispinor:

3.61. egyenlet - (21,1)

ψ=ξη.


Ugyanolyan joggal a ξ és η spinorok komponenseinek tetszőleges független lineáris kombinációit is választhatjuk ψ komponenseiként.[65] A megengedett lineáris átalakításokat csak az unitaritás követelményével korlátozzuk; az ilyen transzformációk nem változtatják meg a ψ és ψ∗ segítségével képezett bilineáris kifejezéseket (28. §).

A komponensek tetszőleges választása esetén a Dirac-egyenletet

pμγikμψk=mψi

alakban írhatjuk, ahol γμ (μ=0,1,2,3)4×4-es mátrixokat jelöl (Dirac-mátrixok ). Ezt az egyenletet általában szimbolikus alakban fogjuk felírni, a mátrixindexeket elhagyva:

3.62. egyenlet - (21,2)

(γpm)ψ=0,


ahol

γp≡γμpμ=p0γ0–pγ=iγ0(∂/∂t)+iγ∇, γ=(γ1,γ2,γ3).

Így a (21,1) spinoralakban felírt egyenletnek a

3.63. egyenlet - (21,3)

γ0=0110,γ=0σσ0


mátrixok felelnek meg.[66] Ez könnyen látható, ha a (20,5) egyenleteket

(0 p0+pσ / p0–pσ 0)(ξ / η)=m(ξ / η)

alakban írjuk, és összehasonlítjuk (21,2)-vel.

Általános esetben a γ mátrixoknak csak a p2=m2 egyenlőségből következő feltételeket kell kielégíteniük. Ezek meghatározása céljából szorozzuk meg a (21,2) egyenletet balról γp-vel. Ekkor

(γμpμ)(γνpν)ψ=m(pμγμ)ψ=m2ψ.

Mivel pμpν szimmetrikus tenzor (a pμ operátorok kommutálnak egymással), ezt az egyenlőséget

(1/2)pμpν(γμγν+γνγμ)ψ=m2ψ

alakban is írhatjuk, ahonnan látható, hogy a

3.64. egyenlet - (21,4)

γμγν+γνγμ=2gμν


feltételnek kell teljesülnie. Tehát bármely két különbözőγμ mátrix antikommutál egymással, négyzeteik pedig a

3.65. egyenlet - (21,5)

(γ1)2=(γ2)2=(γ3)2=1,(γ0)2=1


egyenlőségeknek tesznek eleget.

ψ komponenseinek tetszőleges unitér transzformációja esetén (ψ′=Uψ, ahol U egy 4×4-es unitér mátrix) a γ mátrixok

3.66. egyenlet - (21,6)

γ=UγU1=UγU+


szerint transzformálódnak [tehát a (γp–m)ψ=0 egyenlet a (γ′p–m)ψ′=0 egyenletbe megy át]. A (21,4) felcserélési relációk természetesen változatlanok maradnak.

(21,3)-beli γ0 mátrix hermitikus , a γ mátrixok antihermitikusak . Ezek a tulajdonságaik tetszőleges unitér transzformáció esetén megmaradnak, így mindig igaz, hogy:[67]

3.67. egyenlet - (21,7)

γ+=γ,γ0+=γ0.


Írjuk fel a ψ∗ komplex konjugált függvényre vonatkozó egyenletet is. A (21,2) egyenletet komplex konjugálva és a (21,7) tulajdonságokat felhasználva a

(–p0γ̃0–pγ̃–m)ψ∗=0

egyenletet kapjuk. Itt ψ∗-ot a többi tényezőn átemelhetjük a γ̃μψ∗=ψ∗γμ egyenlőség alapján. Ezután szorozzuk be az egyenletet jobbról γ0-lal, és felhasználva, hogy γγ0=–γ0γ, valamint egy új bispinort bevezetve:

3.68. egyenlet - (21,8)

ψ̄=ψγ0,ψ=ψ̄γ0,


a következő egyenletre jutunk:

3.69. egyenlet - (21,9)

ψ̄(γp+m)=0.


Akárcsak (20,11)-ben, a p operátor a tőle balra álló függvényre hat. A ψ̄ függvényt aψ függvény Dirac-konjugáltjának (vagy relativisztikus konjugáltjának) nevezik. A definíciójában szereplőγ0 szorzóértelme az, hogy (spinorreprezentációban) felcseréli a ξ∗és η∗ spinorokat, és így ψ̄=(η∗,ξ∗)-ban az első helyen (akárcsak ψ)-ben) a pontozatlan, a második helyen a pontozott spinor áll. Ez az oka annak, hogy ψ̄ természetesebb „társa”ψ-nek, mint ψ∗, mikor pl. együtt fordulnak elő különböző bilineáris kifejezésekben (l. a 28. §-t).

A hullámfüggvény transzformációja tükrözés esetén

3.70. egyenlet - (21,10)

P:ψiγ0ψ,ψ̄iψ̄γ0.


A ψ spinorreprezentációjában a γ0 mátrix a ξés η komponenseket felcseréli, amint annak tükrözéskor lennie kell. A Dirac-egyenlet invarianciája(21,10) transzformációval szemben általános esetben is nyilvánvaló: a (21,2) egyenletben ap→–p, ψ→iγ0ψ helyettesítésekkel

(p0γ0+pγ–m)γ0ψ=0.

Ezt az egyenletet balról γ0-lal megszorozva, továbbá γ0 és γ antikommutativitását felhasználva, visszakapjuk az eredeti egyenletet.

Szorozzuk meg a (γp–m)ψ=0 egyenletet balról ψ̄-sal, a ψ̄(γp+m)=0 egyenletet jobbról ψ-vel, és adjuk össze őket:

ψ̄γν(pμψ)+(pμψ̄)γμψ=pμ(ψ̄γμψ)=0,

ahol a zárójelek arra utalnak, hogy a p operátor melyik függvényre hat. A kapott egyenlőség a ∂μjμ=0 kontinuitási egyenlettel azonos alakú, így a

3.71. egyenlet - (21,11)

jμ=ψ̄γμψ=(ψψ,ψγ0γψ)


mennyiség a részecskék áramsűrűségének négyesvektora. Megjegyezzük, hogy időkomponense, j0=ψ∗ψ pozitív definit.

A Dirac-egyenlet felírható az idő szerinti deriváltra megoldott alakban:

3.72. egyenlet - (21,12)

iψt=Hψ,


ahol H a részecske Hamilton-operátora .[68] Ehhez elegendő a (21,2) egyenletet balról γ0-lal megszorozni. A Hamilton-operátor:

3.73. egyenlet - (21,13)

H=αp+βm,


ahol az általánosan elfogadott jelöléseket használjuk:

3.74. egyenlet - (21,14)

α=γ0γ,β=γ0.


Megjegyezzük, hogy

3.75. egyenlet - (21,15)

αiαk+αkαi=2δik,βα+αβ=0,β2=1,


tehát az α, β mátrixok mind antikommutálnak egymással, mindegyik négyzete 1,és mind hermitikusak. Spinorreprezentációban

3.76. egyenlet - (21,16)

α=σ00σ,β=0110.


Kis sebességek határesetében a részecskének leírhatónak kell lennie – akárcsak a nemrelativisztikus elméletben – egyetlen kétkomponensű spinor segítségével. Valóban, a (20,5) egyenletekben a p→0, ε→m határátmenetet elvégezve, azt találjuk, hogy ξ=η, azaz a bispinort alkotó két spinor egybeesik. A Dirac-egyenlet spinoralakban való felírásának éppen ez a hiányossága: határátmenet eseténψ-nek mind a négy komponense nullától különböző marad, bár csak kettő független. Kényelmesebb a ψ hullámfüggvényt olyan reprezentációban megadni, amelyben határátmenet esetén két komponense nullává válik.

Ennek megfelelően vezessük be és ξ és η helyett lineáris kombinációikat, a φ és χ mennyiségeket:

3.77. egyenlet - (21,17)

ψ=φχ,φ=12(ξ+η),χ=12(ξη).(21,17)


Ekkor nyugvó részecskére χ=0. A ψ hullámfüggvénynek ezt az előállításátstandard reprezentációnak nevezik. Tükrözéskor φés χönmagukba transzformálódnak:

3.78. egyenlet - (21,18)

P:φiφ,χiχ.


A φ-re és χ-re vonatkozó egyenleteket megkaphatjuk, ha a (20,5) egyenleteket összeadjuk és kivonjuk:

3.79. egyenlet - (21,19)

p0φpσχ=mφ,p0χpσφ=mχ.(21,19)


Innen látszik, hogy a standard reprezentációnak a

3.80. egyenlet - (21,20)

γ0β=1001,γ=0σσ0,α=0σσ0


mátrixok felelnek meg.

Mivel (21,17)-ben ξ és η első és második komponensei külön-külön adódnak össze, így a standard reprezentációban – akárcsak a spinorreprezentációban – a ψ1 és ψ3 komponensek a spinvetület +1∕2, ψ2 és ψ4 pedig –1∕2 sajátértékéhez tartoznak.

Tehát mindkét reprezentációban az (1/2)Σ mátrix, ahol

3.81. egyenlet - (21,21)

Σ=σ00σ,


a spin háromdimenziós operátorát jelenti. Ha az (1/2)Σz operátorral egy, csak ψ1ésψ3 vagy csak ψ2és ψ4 komponenseket tartalmazó bispinorra hatunk, a bispinor +1∕2-del vagy –1∕2-del szorzódik. Ez a mátrix tetszőleges reprezentációban

3.82. egyenlet - (21,22)

Σ=αγ5=i2α×α


alakban írható [a γ5 mátrix definícióját lást alább, (22,14)].

Feladatok

1. Határozzuk meg a hullámfüggvény transzformációját infinitezimális Lorentz-transzformáció és infinitezimális térbeli elforgatás esetén.

Megoldás. Spinorreprezentációban infinitezimális Lorentz-transzformáció esetén

ξ′=(1–(1/2)σδV)ξ, η′=(1+(1/2)σδV)η

[lásd (18,8), (18,8a), (18,10)]. A két képletet

3.83. egyenlet - (1)

ψ=112αδVψ


alakban egyesíthetjük. Infinitezimális elforgatás esetén hasonló módon adódik, hogy

3.84. egyenlet - (2)

ψ=1i2Σδ𝜃ψ.


A transzformációs képleteknek ugyanez az alakja tetszőleges reprezentációban, ha az αés Σ mátrixokat ugyanabban a reprezentációban írjuk fel.

Könnyű belátni, hogy az α és Σ mátrixok egy antiszimmetrikus „mátrix négyestenzor” komponenseiként tekinthetők:

σμν=(1/2)(γμγν–γνγμ)=(α,iΣ)

[a komponenseket a (19,15) szabály szerint értelmezzük]. Vezessük be továbbá a δεμν=(δV,δ) infinitezimális antiszimmetrikus tenzort. Ekkor

σμνδεμν=2iΣδ–2αδV,

és az (21,1f)(21,2f) képleteket az alábbi egységes alakban írhatjuk:

3.85. egyenlet - (3)

ψ=1+14σμνδ𝜀μνψ.


2. Írjuk fel a Dirac-egyenletet olyan reprezentációban, hogy ne tartalmazzon képzetes együtthatókat (E. Majorana , 1937).

Megoldás. Standard reprezentációban a

((∂/∂t)+αx(∂/∂x)+αy(∂/∂y)+αz(∂/∂z)+imβ)ψ=0

egyenletben csak az αy és iβ mátrixok képzetesek. A képzetes mátrixokat eltüntethetjük, ha olyan ψ′=Uψ transzformációt hajtunk végre, amely a képzetes αy és a valós β mátrixot felcseréli. Ehhez legyen

U=(1/√2)(αy+β)=U–1.

Ekkor

αx′=UαxU=–αx, αy′=β, αz′=–αz, β′=αy,

és a Dirac-egyenlet a

((∂/∂t)–αx(∂/∂x)+β(∂/∂y)–αz(∂/∂z)+imαy)ψ′=0

alakot veszi fel, ahol az összes együttható valós.



[65] A négykomponensű ψ mennyiséget a rövidség kedvéért bispinornak fogjuk nevezni nemspinor reprezentációkban is.

[66] Itt és a továbbiakban a 4×4-es mátrixokat röviden 2×2-es mátrixok segítségével jelöljük: (21,3)-ban minden mátrixelem egy 2×2-es mátrix.

[67] Ezeket az egyenlőségeket γλ+=γ0γλγ0 (21,7a)alakban egyesíthetjük.

[68] Zérus spinű részecskék esetén a hullámegyenlet nem írható fel ilyen alakban: a ψ skalárra vonatkozó (10,5) egyenlet az idő szerint másodrendű, a (ψ,ψμ) ötkomponensű mennyiségre vonatkozó (10,4) lineáris egyenletrendszer pedig nem tartalmazza minden komponens idő szerinti deriváltját.