Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

20.§. A Dirac-egyenlet spinorreprezentációban

20.§. A Dirac-egyenlet spinorreprezentációban

Egy 1∕2 spinű részecskét nyugalmi rendszerében egy kétkomponensű mennyiséggel – egy háromdimenziós spinorral írhatunk le. „Négydimenziós eredetét” tekintve, ez lehet pontozott vagy pontozatlan négyesspinor. Ha a részecskét tetszőleges koordináta-rendszerben akarjuk leírni, mind a két négyesspinort használnunk kell; ξα-val és ηα̇-tal jelöljük őket.[64]

Szabad részecske esetén a hullámegyenletben szereplő egyetlen operátor (amint ezt már a  10. §-ban megjegyeztük) csak a négyesimpulzus pμ=i∂μ operátora lehet. Spinorjelölésekben ennek a négyesvektornak a pαβ̇ operátorspinor felel meg:

3.48. egyenlet - (20,1)

p11 ̇=p22 ̇=pz+p0,p22 ̇=p11 ̇=p0pz,p12 ̇=p21 ̇=px+ipy,p12 ̇=p21 ̇=pxipy.


A hullámegyenlet a pαβ̇ operátor segítségével létrehozott lineáris differenciális kapcsolat a spinorok komponensei közt. A relativisztikus invariancia követelménye csak a következő egyenletrendszert engedi meg:

3.49. egyenlet - (20,2)

pαβ̇ηβ̇=mξα,pβ̇αξα=mηβ̇,(20,2)


ahol m dimenzióval rendelkezőállandó. Különbözőm1és m2állandók bevezetése (vagy m előjelének megváltoztatása) értelmetlen lenne, mert ξαésηα̇ megfelelőátdefiniálásával az eredeti alakra hozhatnánk az egyenletet.

Küszöböljük ki a (20,2) egyenletekből az egyik spinort úgy, hogy a második egyenletből ηβ̇-ot az elsőbe helyettesítjük:

pαβ̇ηβ̇=(1/m)pαβ̇pγβ̇ξγ=mξα.

Viszont (18,4) szerint pαβ̇pγβ̇=p2δαγ, így

3.50. egyenlet - (20,3)

(p2m2)ξγ=0,


ahonnan látható, hogy m a részecske tömege.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a tömeg bevezetése a hullámegyenletbe megköveteli a két spinor (ξα és ηα̇) egyidejű jelenlétét; csupán egyikük segítségével nem írhatunk fel dimenziós paramétert tartalmazó relativisztikusan invariáns egyenletet. Így a hullámegyenlet automatikusan tükrözésinvariáns, ha a hullámfüggvény transzformációját

3.51. egyenlet - (20,4)

P:ξαiηα̇,ηα̇iξα


szerint definiáljuk. Könnyen látható, hogy ilyen helyettesítéssel [és egyidejűleg a pα̇β→pαβ̇ helyettesítéssel, amint ez a (20,1) képletekből látható](20,2) két egyenlete egymásba megy át. Két spinor, amely tükrözéskor egymásba megy át, egy négykomponensű mennyiséget – bispinort – alkot.

(20,2) relativisztikus hullámegyenletet Dirac-egyenletnek nevezzük (Dirac állította fel 1928-ban). Az egyenlet további vizsgálatának és felhasználásának céljából nézzük meg azokat a különböző alakokat, amelyekben az egyenlet felírható.

(18,6) képletek segítségével a (20,2) egyenleteket

3.52. egyenlet - (20,5)

(p0+pσ)η=mξ,(p0+pσ)ξ=mη(20,5)


alakra hozzuk. Itt a ξés η szimbólumok kétkomponensű mennyiségeket – spinorokat – jelölnek:

3.53. egyenlet - (20,6)

ξ=ξ1ξ2,η=η1 ̇η2 ̇


(az első felső, a második alsó indexekkel); egy σ mátrix és egy tetszőleges kétkomponensűf mennyiség szorzatát közönséges mátrixszorzatkéntértelmezzük:

3.54. egyenlet - (20,7)

(σf)α=σαβfβ.


f függőleges oszlopba írása annak felel meg, hogy σ mindegyik sorát az f oszloppal szorozzuk meg.

A további hivatkozások megkönnyítésére még egyszer leírjuk a Pauli-mátrixokat:

3.55. egyenlet - (20,8)

σx=0110,σy=01i0,σz=1001,


és emlékeztetünk alapvető tulajdonságaikra:

3.56. egyenlet - (20,9)

σiσk+σkσi=2δik,σiσk=ieiklσl+δik(20,9)


(l. III. 55. §).

Írjuk le azt a hullámegyenletet is, amelynek a komplex konjugált hullámfüggvény tesz eleget. Ez utóbbit a

3.57. egyenlet - (20,10)

ξ=(ξ1,ξ2),η=(η1 ̇,η2 ̇)


spinorok alkotják. Mivel mindegyik pμ operátor i szorzótényezőt tartalmaz, ígypμ∗=–pμ. A (20,5) egyenletek komplex konjugálásakor figyelembe kell venni, hogy a σ mátrixok hermitikus volta (σ∗=σ̃) miatt

(σf)α∗=σαβ∗fβ∗=fβ∗σβα=(f∗σ)α,

és így az egyenletek a következők:

3.58. egyenlet - (20,11)

η(p0+pσ)=mξ,ξ(p0+pσ)=mη.(20,11)


Ebben az írásmódban a pμ operátort úgy értelmezzük, hogy a tőle balra álló függvényre hat. A ξ∗és η∗ spinorokat vízszintes sorba írtuk – ez felel meg a fenti egyenletekben a mátrixszorzásnak: az f sort a σ mátrix oszlopaival szorozzukössze:

3.59. egyenlet - (20,12)

(fσ)α=fβσβα.


Tükrözéskor ξ∗és η∗ transzformációját a (20,4) művelet komplex konjugáltjával definiáljuk:

3.60. egyenlet - (20,13)

P:ξαiηα̇,ηα̇iξα.




[64] Háromdimenziós elsőrendű spinor olyan magasabb páratlan rendű négyesspinorokból is „eredhet”, amelyek a részecske nyugalmi rendszerében egy vagy több indexpárban antiszimmetrikussá válnak. Ez azonban magasabb rendű egyenletekre vezetne (lásd a II. fejezet 3. lábjegyzetét).