Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

19.§. Spinorok tükrözése

19.§. Spinorok tükrözése

A háromdimenziós spinorok elméletének tárgyalásakor a (III. kötetben) nem vizsgáltuk, hogyan viselkednek ezek térbeli tükrözés esetén, mivel a nemrelativisztikus elméletben ez nem vezetett volna semmilyen új fizikai eredményre. Most azonban elidőzünk ennél a kérdésnél, hogy a későbbiekben jobban megértsük a négyesspinorok tükrözési tulajdonságait.

A tükrözés művelete nem változtatja meg az axiális vektorok előjelét. A spin is ilyen, és így nem változik meg vetülete, sz sem. Ebből következik, hogy a spinor bármelyik ψα komponense csak önmagába transzformálódhat, azaz

3.28. egyenlet - (19,1)

ψαPψα,


ahol Pállandó együttható. Kétszer tükrözve, az eredeti koordináta-rendszerhez térünk vissza. Spinorok esetében azonban a kezdeti helyzetbe való visszatérést kétféleképpen lehet értelmezni: a rendszer 0∘-os vagy 360∘-os elforgatásaként. Spinorok esetén ez a két meghatározás nem ekvivalens, mert a ψα komponensek előjelet váltanak 360∘-os forgatás esetén. Így a tükrözés két, egymástól különböző módon fogható fel: egyik esetben

3.29. egyenlet - (19,2)

P2=1,P=±1,


a másikban

3.30. egyenlet - (19,3)

P2=1,P=±i.


Lényeges, hogy a tükrözés fogalmát minden spinorra egyformán határozzuk meg. Nem megengedett, hogy különböző spinorok másképpen viselkedjenek tükrözéskor [(19,2) vagy (19,3) szerint], mivel akkor nem lehetne bármely két spinorból skalárt (vagy pszeudoskalárt) összeállítani: ha ψα (19,2) szerint, φα pedig (19,3) szerint transzformálódna, akkor a ψαφα, mennyiség ±i-vel szorzódna tükrözés esetén, ahelyett, hogy változatlanul maradna (vagy csak előjelet váltana).

Azt is meg kell jegyeznünk, hogy (a tükrözés bármely definíciója esetén) egy spinornak nem tulajdoníthatunk abszolút értelemben vett P paritást, mivel a spinorok 2π-vel elforgatva, előjelet váltanak, és ezt a forgatást mindig végrehajthatjuk a tükrözéssel egyidőben. Azonban abszolút jellege van két spinor „relatív paritásának”, amelyet a belőlük összeállított ψαφα skalár paritásaként definiálunk; mivel 2π-vel elforgatva mindkét spinor előjelet vált, az ezzel kapcsolatos határozatlanság nem tükröződik a fenti skalár paritásában.

Térjünk át most a négydimenziós spinorokra.

Mindenekelőtt megjegyezzük, hogy mivel a tükrözés a négy (x,y,z,t) koordinátából csak háromnak, (x,y,z)-nek az előjelét változtatja meg, így ez felcserélhető a térbeli elforgatásokkal, de nem cserélhető fel a t tengelyt is elforgató transzformációkkal. Ha az L Lorentz-transzformáció a V sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át, akkor PL=L′P, ahol L′ a –V sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át.

Innen következik, hogy tükrözéskor a négyesspinor ξα komponensei nem transzformálódhatnak önmagukba. Ha a ξα spinor tükrözése most is a (19,1) transzformációt jelentené (azaz az egységmátrixszal arányos mátrix jellemezné), akkor ez a transzformáció az összes Lorentz-transzformációval kommutálna, ami viszont nem lehetséges (mert az L és L′ operációk ξα-ra hatva, különböző eredményt adnak).

Ily módon a tükrözés a spinor ξα komponenseit más mennyiségekbe viszi át. Ilyen mennyiségek csak a ξα-tól eltérő módon transzformálódó, valamilyen más spinor ηα̇ komponensei lehetnek. Mint azt fentebb megjegyeztük, a tükrözés nem változtatja meg a spin z vetületét, így a ξ1 és ξ2 komponensek tükrözéskor csak az η1̇ és η2̇ komponensekbe mehetnek át; ezek felelnek meg ugyanazoknak az sz=1∕2 és sz=–1∕2 értékeknek. Tükrözésen olyan műveletet értve, amely kétszer megismételve 1-et ad, hatását a következő képletekkel adhatjuk meg:

3.31. egyenlet - (19,4)

ξαηα̇,ηα̇ξα


[a kovariáns ξαés a kontravariáns ηα̇ komponensekre a transzformációk ellenkező előjelűek:

3.32. egyenlet - (19,4a)

ξαηα̇,ηα̇ξα,


mivel ugyanannak az indexnek a lehúzása és felhúzása különböző előjelet eredményez, lásd a (17,5)és (17,9) képleteket].[60] Ha a tükrözést úgy értelmezzük, hogy P2=–1, akkor a transzformációs képletek:

3.33. egyenlet - (19,5)

ξαiηα̇,ηα̇iξα,


vagy ami ugyanaz:

3.34. egyenlet - (19,5a)

ξαiηα̇,ηα̇iξα.


A tükrözés kétféle definíciója jellegében némileg különbözik egymástól. A második definíciót használva a komplex konjugált spinorok az eredetiekhez hasonlóan transzformálódnak: ha Ξα=ηα̇∗, Hα̇=ξα∗, akkor (19,5) szerint Ξα→–iHα̇, Hα̇→–iΞα, azaz ugyanaz a szabály, mint ami ξα-ra és ηα̇-ra vonatkozik. A (19,4) definícióból a Ξα→Hα̇, Hα̇→Ξα transzformációt kapnánk, ami előjelben különbözik ξα és ηα̇ transzformációjától. E különbség lehetséges fizikai vonatkozásaira a  27. §-ban visszatérünk.

A továbbiakban mindenütt a (19,5) definíciót használjuk.

A térbeli elforgatások alcsoportjára, mint tudjuk, ξα és ηα̇ egyformán transzformálódik. Az ezekből képezett

3.35. egyenlet - (19,6)

ξα±ηα̇


mennyiségek tükrözés esetén (19,1) szerint transzformálódnak, P=±i-vel. A fenti kombinációk azonban nem minden Lorentz-transzformációval szemben viselkednek spinorként.

Így ahhoz, hogy a térbeli tükrözést is belevegyük a szimmetriacsoportba, egy (ξα,ηα̇) spinorpárt kell egyidejűleg tekintenünk; ezt (elsőrendű) bispinornak nevezzük. A bispinor négy komponense a kiterjesztett Lorentz-csoport egy irreducibilis ábrázolását valósítja meg.

Két bispinor, (ξα,ηα̇) és (Ξα,Hα̇) skalárszorzatát kétféle módon képezhetjük. A

3.36. egyenlet - (19,7)

ξαΞα+ηα̇Hα̇


mennyiség tükrözés esetén nem változik, tehát valódi skalár. A

3.37. egyenlet - (19,8)

ξαΞαηα̇Hα̇


mennyiség, szintén invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásával szemben, de tükrözéskor előjelet vált; más szóval pszeudoskalár.

A másodrendű ζαβ̇ spinort is kétféleképpen definiálhatjuk. Ha a

3.38. egyenlet - (19,9)

ζαβ̇ξαHβ̇+Ξαηβ̇


transzformációs képlettel definiáljuk, akkor tükrözés esetén

3.39. egyenlet - (19,10)

ζαβ̇ζα̇β.


Ekkor az aμ négyesvektor, amely ezzel a spinorral ekvivalens [a (18,1) képleteknek megfelelően], (a0,a)→(a0,–a) szerint transzformálódik, azaz valódi négyesvektor (a háromdimenziós a vektor poláris vektor).

Definiálhatjuk azonban ζαβ̇-ot a következő módon is:

3.40. egyenlet - (19,11)

ζαβ̇ξαHβ̇Ξαηβ̇.


Ekkor[61]

3.41. egyenlet - (19,12)

ζαβ̇ζα̇β.


Egy ilyen spinornak megfelelő négyesvektor (a0,a)→(–a0,a) szerint transzformálódik, azaz négyespszeudovektor (a háromdimenziós a pedig axiális vektor).

Egyforma típusú indexekkel rendelkező másodrendű szimmetrikus spinorok definíciója a következő:

3.42. egyenlet - (19,13)

ξαβξαΞβ+ξβΞα,ηα̇β̇ηα̇Hβ̇+ηβ̇Hα̇.(19,13)


Ezek tükrözés esetén egymásba mennek át:

3.43. egyenlet - (19,14)

ξαβηα̇β̇.


A (ξαβ,ηα̇β̇) pár másodrendű bispinort alkot. Független komponenseinek száma 3+3=6. Ugyanennyi független komponense van az aμν másodrendű antiszimmetrikus tenzornak is. Ezért a kettő között valamilyen kapcsolat áll fenn (a kiterjesztett Lorentz-csoport ekvivalens irreducibilis ábrázolásait valósítják meg).

Mivel a saját Lorentz-csoportra nézve ξαβ és ηα̇β̇ függetlenül transzformálódik, ezért az aμν négyestenzor komponenseiből két olyan több komponensű mennyiséget állíthatunk össze, amelyek egymástól függetlenül transzformálódnak a négydimenziós koordináta-rendszer tetszőleges elforgatása esetén. Ez a felbontás a következő módon valósítható meg.

Vezessük be a háromdimenziós poláris p vektort és a háromdimenziós axiális a vektort, amelyeknek az aμν négyestenzor komponenseivel való kapcsolata:

3.44. egyenlet - (19,15)

aμν=0pxpypzpx0azaypyaz0axpzayax0(p,a)


[a (p,a) kifejezést a fenti tenzor rövid jelölésére fogjuk használni]. Ugyanakkoraμν=(–p,a), és az

a2–p2=(1/2)aμνaμν, ap=(1/8)eμνϱσaμνaϱσ

mennyiségek közül az első skalár, a második pszeudoskalár; a saját Lorentz-csoportra nézve mindkettő invariáns. Velük együtt az f±=p±ia háromdimenziós vektorok hossza is invariáns. Ez azt jelenti, hogy bármely elforgatás a négydimenziós térben az f± vektorokra ekvivalens egy háromdimenziós, általában véve komplex szögekkel való „elforgatással” (a négydimenziós koordináta-rendszer hat elforgatási szögének a háromdimenziós tér három komplex „elforgatási szöge” felel meg). A térbeli tükrözés p előjelét megváltoztatja, a-ét nem, így az f+ és a –f– vektorokat egymásba viszi át. E vektorok komponensei alkotják az aμν tenzor komponenseinek két keresett csoportját.

Így nyilvánvalóvá válik az aμν négyestenzor és a ξαβ, ηα̇β̇ spinorok kapcsolata is. Mivel a térbeli forgáscsoport a Lorentz-csoport részcsoportja, a spinor és a háromdimenziós vektor komponenseinek kapcsolata szükségszerűen ugyanaz, mint háromdimenziós spinorok esetén:

3.45. egyenlet - (19,16)

fx+=12(ξ22ξ11),fy+=i2(ξ22+ξ11),fz+=ξ12;fx=12(η2 ̇2 ̇η1 ̇1 ̇),fy=i2(η2 ̇2 ̇+η1 ̇1 ̇),fz=η1 ̇2 ̇.


Feladat

Határozzuk meg a páros rendű spinorok és négyestenzorok közti általános összefüggést.

Megoldás. Minden spinor, ahol k+l páros, a kiterjesztett Lorentz-csoport egyértékű, irreducibilis ábrázolását valósítja meg, csakúgy mint a négyestenzorok, ezért ekvivalensek egymással.[62]

Egy (k,k) rendű spinor tükrözéskor

3.46. egyenlet - (1)

ζαβγ̇δ̇±ζα̇β̇γδ


szerint transzformálódik. Az ilyen spinor egy teljesen szimmetrikus, irreducibilis,k-adrendű négyestenzorral ekvivalens – az (19f,1)-ben szereplő előjeltől függően valódi vagy pszeudotenzorral.

A (k,l) és (l,k) rendű spinorok, amelyek bispinort alkotnak, tükrözéskor a következőképpen transzformálódnak:

3.47. egyenlet - (2)

ζαβkγ̇δ̇l(1)kl2χα̇β̇kγδl.


Ha l=k+2, akkor a bispinor ekvivalens az a[μν]ϱσ… irreducibilis, k+2 rendű négyestenzorral, amely [μν] indexeiben antiszimmetrikus, a többiben pedig szimmetrikus. E tenzor irreducibilitása azt jelenti, hogy bármely indexpárjábanösszeejtve nullát ad, és ugyancsak nullát kapunk, ha bármely három indexe szerinti duálisát képezzük (azaz eλμνϱa[μν]ϱσ…=0); ez utóbbi egyenlőség azt jelenti, hogy a μνés egy (tetszőleges) harmadik index szerinti ciklikus összeg eltűnik.

Ha l=k+4, a bispinor ekvivalens egy irreducibilis, k+4 rendű a[λμ][νϱ]στ… négyestenzorral, amely a következő tulajdonságú: antiszimmetrikus a [λμ] és [νϱ] indexekben, és szimmetrikus az összes többiben, szimmetrikus a [λμ] és [νϱ] indexpárok felcserélésére, nullát ad, ha bármely indexpárjában összeejtjük, és ha bármely indexhármasa szerinti duálisát képezzük.

Általában, ha l=k+2n, a bispinor ekvivalens egy k+2n rendű irreducibilis négyestenzorral, amely n indexpárjában antiszimmetrikus, a többi k indexében pedig szimmetrikus.[63]



[60] (19,4) definíció bizonyos értelemben feltételes. Ez a ξα és ηα̇ mennyiségek függetlenségével kapcsolatos. Így ηα̇ helyett új spinort bevezetve: ηα̇′=eiδηα̇, (19,4) helyett vele ekvivalens definíciót kapunk: ξα→e–iδηα̇′, ηα̇′→eiδξα.

[61] Hangsúlyozzuk, hogy a (19,10) és (19,12) transzformációs képletek, amelyeknek jobb oldalai előjelben különböznek, egyáltalán nem ekvivalensek, mivel mindkét oldalon ugyanannak a spinornak a komponensei szerepelnek (lásd a III. fejezet 4. lábjegyzetét).

[62] Páratlan rendű spinorok a csoport kétértékű ábrázolásait valósítják meg: 360∘-kal való térbeli elforgatás megváltoztatja a spinorok előjelét, igy a csoport tetszőleges eleméhez két, ellenkező előjelű mátrix tartozik.

[63] Olyan négyestenzorok, amelyek több (három, négy stb.) indexükben antiszimmetrikusak, ebben a rendszerezésben egyszerű oknál fogva nem jelennek meg: egy harmadrendű antiszimmetrikus tenzor ekvivalens (duális) egy pszeudovektorral, negyedrendű antiszimmetrikus tenzor visszavezethető egy skalárra (arányos az eλμνϱ egység-pszeudotenzorral); több indexében antiszimmetrikus tenzor pedig a négydimenziós térben egyáltalán nem lehetséges.