Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

18.§. A spinorok és a négyesvektorok kapcsolata

18.§. A spinorok és a négyesvektorok kapcsolata

Az egy pontozott és egy pontozatlan indexű ζαβ̇ spinornak 2⋅2=4 független komponense van – éppen annyi, ahány egy négyesvektornak. Ezért nyilvánvaló, hogy mindkettő a saját Lorentz-csoportnak ugyanazt az irreducibilis ábrázolását valósítja meg, és így komponenseik között valamilyen megfeleltetés létesíthető.

Hogy ezt az összefüggést feltárjuk, vizsgáljuk először az analóg megfeleltetést a háromdimenziós esetben, figyelembe véve azt, hogy a tiszta térbeli elforgatások során a hármas- és négyesspinorok egyformán viselkednek.

A hármasspinorokra vonatkozó megfeleltetést (l. III. 57. §) a következő alakra írjuk át:

ax =(1/2)(ψ22–ψ11)=(1/2)(ψ21+ψ12), ay =–(i/2)(ψ22+ψ11)=(i/2)(ψ12–ψ21), az =(1/2)(ψ12+ψ21)=(1/2)(ψ11–ψ22),

ahol ax, ay, az egy háromdimenziós a vektor komponensei. A négydimenziós esetre áttérve a ψαβ komponenseket ζαβ̇-tal kell helyettesítenünk, az ax, ay, az komponenseket pedig egy négyesvektor a1, a2, a3 kontravariáns komponenseiként kell értelmeznünk. A vektor negyedik komponensének, a0-nak az alakja már eleve nyilvánvaló a 17-ban tett megjegyzésből: a (17,6) mennyiség úgy transzformálódik, mint a0. Ezért a0∼ζ11̇+ζ22̇, az arányossági tényezőt pedig úgy választjuk meg, hogy a ζαβ̇ζαβ̇ skalár megegyezzék a 2aμaμ≡2a2 skalárral.

Így a megfeleltetést a következő képletek írják le:

3.11. egyenlet - (18,1)

a1=12(ζ12 ̇+ζ21 ̇),a2=i2(ζ12 ̇+ζ21 ̇),a3=12(ζ11 ̇+ζ22 ̇),a0=12(ζ11 ̇+ζ22 ̇).


Az inverz képletek:

3.12. egyenlet - (18,2)

ζ11 ̇=ζ22 ̇=a3+a0,ζ22 ̇=ζ11 ̇=a003,ζ12 ̇=ζ21 ̇=a1ia2,ζ21 ̇=ζ12 ̇=a1ia2.(18,2)


Ekkor

3.13. egyenlet - (18,3)

ζαβ̇ζαβ̇=2a2.


Megjegyezzük még, hogy

3.14. egyenlet - (18,4)

ζαβ̇ζγβ̇=δαγa2.


Az utóbbi egyenlőség abból következik, hogy a ζαβ̇ζγβ̇ másodrendű spinor antiszimmetrikus αγ indexeiben, és így arányos a metrikus spinorral.

A ζαβ̇ spinor és egy négyesvektor közötti kapcsolat egy általános szabály speciális esete: minden (k,k) rendű szimmetrikus spinor ekvivalens egy szimmetrikus, irreducibilis (azaz bármely indexpárjában összeejtve nullává váló), k-adrendű négyestenzorral.

A spinorok és négyesvektorok kapcsolatát tömören leírhatjuk a 2×2-es Pauli-mátrixok segítségével:

3.15. egyenlet - (18,5)

σx=0110,σy=0ii0,σz=1001.


Ha szimbolikusan ζ-val jelöljük a ζαβ̇ felső indexes mennyiségek mátrixát (az első index pontozatlan), akkor a (18,2) képleteket egyszerűbb alakba írhatjukát:

3.16. egyenlet - (18,6)

ζ=aσ+a0


(a második tagban a0-t természetesen az egységmátrixszal szorozzuk). Az inverz képletek:

3.17. egyenlet - (18,7)

a=12Sp(ζσ),a0=12Spζ.


(18,6)(18,7) képletek segítségével megállapíthatjuk a négyesvektor és a spinor transzformációja közötti kapcsolatot, és így a spinor transzformációs szabályát kifejezhetjük a négydimenziós koordináta-rendszer forgatási paramétereivel.

Írjuk fel a ξα spinor transzformációját

3.18. egyenlet - (18,8)

ξα=(Bξ)α,B=αβγδ


alakban, ahol B a bináris transzformáció együtthatóiból álló2×2-es mátrix. Ekkor a pontozott spinor transzformációja:

3.19. egyenlet - (18,9)

ηβ̇=(Bη)β̇=(ηB+)β̇,


így a ζαβ̇∼ξαηβ̇ másodrendű spinor transzformációját szimbolikusan ζ′=BζB+ alakban írjuk.[58] Végtelen kis transzformáció esetén B=1+λ, ahol λ kis mátrix, és a végtelen kis mennyiségek szerint első rendig:

3.20. egyenlet - (18,10)

ζ=ζ+(λζ+ζλ+).


Tekintsünk először egy olyan Lorentz-transzformációt , amely végtelen kis δV sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe visz át (a térbeli tengelyek iránya változatlan marad). Ekkor az aμ=(a0,a) négyesvektor a következőképpen transzformálódik:

3.21. egyenlet - (18,11)

a=aa0δV,a0=a0aδV.


(18,7) képletek segítségével a0 transzformációját felírhatjuk egyrészt mint

a0′=a0–aδV=a0–(1/2)Sp(ζσδV),

másrészt mint

a0′=(1/2)Spζ′=a0+(1/2)Sp(λζ+ζλ+)=a0+(1/2)Spζ(λ+λ+)

kifejezést. E két kifejezés azonosan (azaz tetszőleges ζ-ra) egyenlő. Innen a következő egyenlőséget kapjuk:

λ+λ+=–σδV.

Hasonlóan, a transzformációját tekintve:

σλ+λ+σ=–δV.

Ezeknek a λ-ra vonatkozó egyenleteknek a megoldása

λ=λ+=–(1/2)σδV.

Így ξα végtelen kis Lorentz-transzformációja a

3.22. egyenlet - (18,12)

B=112(σn)δV


mátrix segítségével valósítható meg, ahol n a δV sebesség irányába mutató egységvektor. Innen könnyen megkapható a transzformáció véges V sebesség esetére is. Emlékezzünk vissza, hogy a Lorentz-transzformáció (geometriailag) a négydimenziós koordináta-rendszernek a t,n síkban φ szöggel való elforgatását jelenti, aholthφ=V.[59] Végtelen kis transzformációnak δφ=δV szög felel meg, véges szöggel való elforgatás pedig a δφ-vel való elforgatás φ∕δφ-szeres ismétlésével valósítható meg. A (18,12) operátort φ∕δφ hatványra emelve és a δφ→0 határátmenetet tekintve,

3.23. egyenlet - (18,13)

B=eφ2nσ.


Vegyük észre, hogy nσ minden páros hatványa 1, és minden páratlan hatványanσ. Figyelembe véve, hogy a chx az argumentum páros, a shx pedig páratlan hatványai szerint fejthető ki, a következő kifejezést kapjuk:

3.24. egyenlet - (18,14)

B= chφ2nσshφ2,thφ=V.


Megjegyezzük, hogy Lorentz-transzformáció esetén hermitikus mátrixot kaptunk:B=B+.

Tekintsük most a térbeli koordináta-rendszer végtelen kis elforgatását. Ekkor a háromdimenziós a vektor

3.25. egyenlet - (18,15)

a=aδ𝜃×a


szerint transzformálódik, ahol δ a végtelen kis elforgatás szöge . A spinor transzformációját az előzőkhöz hasonló módon is megkaphatnánk, de erre most nincs szükség, mert a térbeli elforgatásokra nézve a négyesspinorok viselkedése megegyezik a hármasspinorokéval. Az utóbbiak transzformációja eleve ismert a spinoperátornak és a végtelen kis elforgatás operátorának általánosösszefüggéséből:

3.26. egyenlet - (18,16)

B=1+i2σδ𝜃.


Véges szögre valóáttérés a (18,12)-ről (18,14)-re valóáttéréshez hasonló:

3.27. egyenlet - (18,17)

B= expi𝜃2nσ= cos𝜃2+inσsin𝜃2,


ahol n a forgástengely irányába mutató egységvektor. Ez a mátrix unitér (B+=B–1), amint annak lennie kell a térbeli elforgatások esetén.



[58] A kovariáns komponensekre: ξα′=(B̃–1ξ)α=(ξB–1)α, ηα̇′=(ηB∗–1)α̇ (18,8a)(úgy, hogy két spinor szorzata, ξαΞα invariáns maradjon).

[59] Emlékeztetünk arra, hogy az időtengelyt tartalmazó síkokban a metrika pszeudoeuklidészi .