Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

3. fejezet - III. FEJEZET FERMIONOK

3. fejezet - III. FEJEZET FERMIONOK

17.§. Négydimenziós spinorok

A nemrelativisztikus elméletben egy tetszőleges s spinű részecske leírható egy 2s+1 komponensű mennyiséggel – egy 2s rendű szimmetrikus spinorral. Ezek – matematikai szemszögből nézve – a háromdimenziós forgáscsoport irreducibilis ábrázolásait valósítják meg.

A relativisztikus elméletben ez a csoport csak a bővebb, négydimenziós forgáscsoport – a Lorentz-csoport – részcsoportjaként szerepel. Ezért ki kell dolgozni a négydimenziós spinorok (négyesspinorok) elméletét. Ezek a Lorentz-csoport irreducibilis ábrázolásait megvalósító mennyiségek. A 1719-ok a négyesspinorok elméletét tárgyalják. A 17 és 18 a térbeli tükrözést nem tartalmazó saját Lorentz-csoporttal foglalkozik, a 19 pedig a térbeli tükrözéssel.

A négyesspinorok elmélete a háromdimenziós spinorokéhoz hasonlóan építhető fel (B. L. van der Waerden , 1929; G. E. Uhlenbeck , O. Laporte , 1931).

A ξα spinor kétkomponensű mennyiség (a=1, 2); az 1∕2 spinű részecske hullámfüggvényének komponensei, ξ1 és ξ2, rendre a spin z irányú vetületének +1∕2, ill. –1∕2 sajátértékeihez tartoznak. A (saját) Lorentz-transzformáció során ξ1 és ξ2 a következőképpen transzformálódik:

3.1. egyenlet - (17,1)

ξ1=αξ1+βξ2,ξ2=γξ1+δξ2.(17,1)


Az α, β, γ, δ együtthatók a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatását jellemző szögek meghatározott függvényei, és kielégítik az

3.2. egyenlet - (17,2)

αδβγ=1


feltételt, azaz a (17,1) bináris transzformáció determinánsa 1, akárcsak a Lorentz-csoport koordináta-transzformációinak determinánsa.

(17,2) feltétel miatt a ξ1Ξ2–ξ2Ξ1 bilineáris kifejezés (ahol ξα és Ξα két spinor) invariáns a (17,1) transzformációra nézve. (Ez két 1∕2 spinű részecskéből „összetett” 0 spinű részecskének felel meg.) A hasonló invariáns kifejezések természetes leírására a spinor „kontravariáns” ξα komponensei mellett a „kovariáns” ξα et, komponenseket is bevezetik. Egyikről a másikra a gαβ „metrikus tenzor” segítségével térhetünk át:[57]

3.3. egyenlet - (17,3)

ξα=gαβξβ,


ahol

3.4. egyenlet - (17,4)

gαβ=0110


azaz

3.5. egyenlet - (17,5)

ξ1=ξ2,ξ2=ξ1.


Így a ξ1Ξ2–ξ2Ξ1 invariáns ξαΞα skalárszorzat alakban írható. UgyanakkorξαΞα=–ξαΞα.

Az eddig felsorolt tulajdonságok formálisan megegyeznek a háromdimenziós spinorok tulajdonságaival. Különböznek azonban egymástól, ha a komplex konjugált spinorokat tekintjük.

A nemrelativisztikus elméletben a

3.6. egyenlet - (17,6)

ψ1ψ1+ψ2ψ2


összegnek – amely a részecskék térbeli lokalizációjának valószínűségi sűrűségét határozza meg – skalárnak kell lennie, ezért a ψα∗ komponenseknek kovariáns spinorkomponensekként kell transzformálódniuk; más szóval, a (17,1) transzformáció unitér (α=δ∗, β=–γ∗). A relativisztikus elméletben a részecskesűrűség nem skalár, hanem egy négyesvektor időkomponense.Így a fenti követelmény elesik, és a transzformáció együtthatóit nem korlátozzák további feltételek [(17,2)-n kívül]. A négy komplex szám, α,β, γ, δ(17,2) feltétel mellett ekvivalens 8–2=6 valós paraméterrel– a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatását jellemző szögek számának megfelelően (hat koordinátasíkban történő elforgatás).

Így a komplex konjugált bináris transzformáció lényegesen különbözik az eredetitől, azaz a relativisztikus elméletben kétféle spinor van. Hogy ezeket meg tudjuk különböztetni egymástól, a (17,1) képlet komplex konjugáltja szerint transzformálódó spinorok indexében a számjegy fölé egy pontot teszünk (pontozott indexek) . Tehát definíció szerint

3.7. egyenlet - (17,7)

ηα̇ξα,


ahol a ∼ jel az „úgy transzformálódik, mint” szavakat helyettesíti. Más szóval, a pontozott spinorok transzformációs képlete:

3.8. egyenlet - (17,8)

η1 ̇=αη1 ̇+βη2 ̇,η2 ̇=γη1 ̇+δη2 ̇.


A pontozott indexek lehúzásátés felhúzását ugyanúgy végezzük, mint a pontozatlan indexekét:

3.9. egyenlet - (17,9)

η1 ̇=η2 ̇,η2 ̇=η1.


A térbeli elforgatásokra nézve a négyesspinorok transzformációs tulajdonsága megegyezik a hármasspinorokéval. Az utóbbiaknál, mint tudjuk, ψα∗∼ψα. Így a (17,7) definíció szerint az ηα̇ négyesspinor forgatáskor úgy viselkedik, mint egy ψα kontravariáns hármasspinor. Egy 1∕2 spinű részecske hullámfüggvényének komponenseiként, a spin vetületének 1∕2 és –1∕2 sajátértékeihez az η1̇ és η2̇ kovariáns komponensek tartoznak.

A magasabb rendű spinorok olyan több komponensű mennyiségek, amelyek úgy transzformálódnak, mint több elsőrendű spinor komponenseinek szorzata. A magasabb rendű spinor indexei között lehetnek pontozatlanok és pontozottak is. Így háromféle másodrendű spinor van:

ξαβ∼ξαΞβ, ζαβ̇∼ξαηβ̇,
ηα̇β̇∼ηα̇Hβ̇.

Ilyen értelemben a spinor rendjének megadása nem határozza meg egyértelműen a magasabb rendű spinor fogalmát. Ezért a spinor rendjét szükség esetén egy (k,l) számpárral fogjuk jelölni – ahol k és l a pontozatlan és pontozott indexek száma.

Mivel a (17,1) és (17,8) transzformációk algebrailag függetlenek, nem szükséges rögzíteni a pontozott és pontozatlan indexek sorrendjét (ebben az értelemben például ζαβ̇ és ζβ̇α egy és ugyanaz a spinor).

Ahhoz, hogy egy spinoregyenlőség invariáns jellegű legyen, mindkét oldalon azonos számú pontozott, ill. pontozatlan indexet kell tartalmaznia; ellenkező esetben az egyenlőség általában nem teljesül, ha más koordináta-rendszerre térünk át. Emlékeznünk kell azonban arra, hogy komplex konjugálás esetén a pontozott és pontozatlan indexek szerepe felcserélődik. Így például az ηα̇β̇=(ξαβ)∗ egyenlőség invariáns. Spinorok vagy szorzataik összeejtése (kontrakciója) csak azonos jellegű indexpárok szerint lehetséges – két pontozott vagy két pontozatlan szerint. Különböző jellegű indexek szerinti összegezés nem invariáns művelet. Ezért a

3.10. egyenlet - (17,10)

ζα1α2αkβ̇1β̇2β̇l


spinorból, amely azonos típusú, k pontozatlan és l pontozott indexeiben teljesen szimmetrikus, nem képezhetünk alacsonyabb rendű spinort (szimmetrikus indexek szerinti egyszerűsítés nullát eredményez). Ez azt jelenti, hogy a (17,10) mennyiségekből nem lehet kisebb számú, olyan lineáris kombinációt képezni, hogy azok a csoport tetszőleges transzformációjára csak egymásba transzformálódnának. Más szóval, a szimmetrikus négyesspinorok a saját Lorentz-csoport irreducibilis ábrázolásait valósítják meg. Mindegyik irreducibilisábrázolást egy (k,l) számpár jellemez.

Mivel mindegyik spinorindex két értéket vehet fel, így (17,10)-ben k+1 ténylegesen különböző α1α2…αk sorozat van (ezek 0,1,2,…,k egyest és k,k–1,…,0 kettest tartalmaznak), és hasonlóan l+1 különböző β̇1β̇2…β̇l sorozat. Tehát a (k,l) rendű szimmetrikus spinornak (k+1)(l+1) független komponense van; ez az általa megvalósított irreducibilis ábrázolás dimenziója.



[57] A spinor indexeit a görög ábécé első betűivel fogjuk jelölni: α,β,γ,…