Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

16.§. A részecske helicitásállapotai

16.§. A részecske helicitásállapotai[51]

A relativisztikus elméletben a mozgó részecske l pálya-impulzusmomentuma és s spinje nem marad meg külön-külön, megmaradási törvény csupán a teljes j=l+s impulzusmomentumra áll fenn. Nem marad meg ezért a spinnek valamely adott irányra (z tengelyre) való vetülete sem, így ez a mennyiség nem jellemezheti a mozgó részecske polarizációs (spin-) állapotait.

Megmarad azonban a spinnek az impulzus irányára való vetülete: mivel l=r×p, ezért sn a megmaradó jn szorzattal egyenlő (n=p∕|p|). Ezt a mennyiséget hívjuk helicitásnak (a foton helicitásáról már volt szó a (8-ban). Sajátértékeit λ-val jelöljük (λ=–s,…,+s), a részecskének λ meghatározott értékéhez tartozó állapotát pedig helicitásállapotnak hívjuk.

Legyen ψpλ meghatározott p-vel és λ-val rendelkező részecskeállapot hullámfüggvénye (síkhullám), u(λ)(p) az amplitúdó; a jelölés rövidségének kedvéért nem írjuk ki a függvénykomponenseket jelölő indexet (egész spinű részecskénél a négyestenzor-indexeket).

Az előző szakaszokban láttuk, hogy zérustól különböző (egész) spinű részecskék relativisztikus leírásához (2s+1)-nél több komponensű hullámfüggvényt kell bevezetni. A független komponensek száma 2s+1 marad; a „feleslegeseket” kiejtik a mellékfeltételek, amelyeknek értelmében ezek a komponensek a nyugalmi rendszerben eltűnnek (a következő fejezetben ezt félegész s-re is látni fogjuk).

Az impulzusmomentum transzformációs szabályai szerint (l. II. 14. §) a helicitás invariáns olyan Lorentz-transzformációval szemben, amely p irányát, melyre az impulzusmomentumot vetítettük, változatlanul hagyja. Ezért λ, ilyen transzformációk során megőrzi kvantumszám jellegét, és a helicitásállapotok szimmetriatulajdonságainak vizsgálatához használható az a vonatkoztatási rendszer, amelyben az impulzus |p|≪m (határesetben: a nyugalmi rendszer). Ebben ψpλ a nemrelativisztikus 2s+1 komponensű hullámfüggvény. Amplitúdóját w(λ)(n)-nel jelöljük, n=p∕|p| az impulzusmomentum kvantálási tengelyének irányába mutató egységvektor. w(λ) az ns operátor sajátfüggvénye:

2.78. egyenlet - (16,1)

(ns)w(λ)(n)=λw(λ)(n).


Spinorelőállításban w(λ)2s-edrendű, szimmetrikus, kontravariáns spinor. Komponenseit a III. kötet (57,2) összefüggése szerint aσ spin rögzített u tengelyre vett vetületeinek értékeivel is indexelhetjük.[52]

A vizsgált állapotok hullámfüggvényei impulzusreprezentációban lényegében egybeesnek az u(λ)(p) amplitúdókkal. Nevezetesen:

2.79. egyenlet - (16,2)

ψpλ(k)=u(λ)(k)δ(2)(νn)=u(λ)(p)δ(2)(νn),


ahol az impulzust mint független változót k-val jelöltük, megkülönböztetésül a p sajátértéktől, és ν=k∕|k|, megkülönböztetésüln=p∕|p|-től.[53] Nemrelativisztikus közelítésben

2.80. egyenlet - (16,3)

ψnλ(ν)=w(λ)(ν)δ(2)(νn)=w(λ)(n)δ(2)(νn).


Ezt részletesebben a következő alakban kellett volna írni:

ψnλ(ν,σ)=wσ(λ)(ν)δ(2)(ν–n),

amelyben a σ független diszkrét változót is feltüntettük.

Az sn helicitásoperátor felcserélhető a jz és j2 operátorokkal. Valóban, az impulzusmomentum-operátorf a koordináta-rendszer végtelen kicsiny (infinitezimális) elforgatásaival függ össze, két vektor skalárszorzata pedig tetszőleges elforgatással szemben invariáns. Ezért léteznek olyan stacionárius állapotok, amelyekben a részecske j impulzusmomentuma, annak jz=m vetülete és λ helicitása egyidejűleg jól meghatározott értéket vesznek fel. Az ilyen állapotokat fogjuk gömbi helicitásállapotoknak nevezni.

Meghatározzuk az ilyen állapotok impulzusreprezentációbeli hullámfüggvényét. Ezt azonnal megtehetjük, ha észrevesszük, hogy ilyen állapotokkal e könyvsorozat egy másik kötetében, a szimmetrikus pörgettyű forgásának kvantálásánál már találkoztunk (III. 103. §). Nem ismételjük meg az ott elmondott gondolatmenetet [vö. a III. kötet (103,8) képletének levezetésével], csak felírjuk a keresett függvényeket:[54]

ψjmλ(k)=ψjλ(0)Dλm(j)(ν),

ahol ψjλ(0) a részecske állapotát a „mozgó” ξηζ koordináta-rendszerben leíró hullámfüggvény; az impulzusmomentum ζ tengelyre eső vetülete meghatározott jζ=λ érték (a ζ tengely irányát a ν vektor jelöli ki); ez a függvény impulzusreprezentációban nyilvánvalóan megegyezik a korábban bevezetett u(λ) amplitúdóval. A normált (lásd alább) hullámfüggvény :

2.81. egyenlet - (16,4)

ψjmλ(k)=2j+14πDλm(j)(ν)u(λ)(k).


Itt felmerül a fázis megválasztásának kérdése, amely a következők miatt nem egyértelmű. A ξηζ koordináta-rendszernek xyz-hez viszonyított elforgatását a három Euler-szög határozza meg: α,β,γ; a részecske hullámfüggvénye csak a ν iránytól függhet, ez viszont csak a két a α≡φ,β≡ polárszögtől. Ezért γ-t megállapodásszerűen kell választani. Mi γ=0-t választjuk, azaz a Dλm(j)(ν) függvényt úgy határozzuk meg, hogy

2.82. egyenlet - (16,5)

Dλm(j)(ν)=Dλm(j)(φ,𝜃,0)=eimφdλm(j)(𝜃).


A III. kötet (58,21) összefüggése értelmében a (16,5) függvény ortonormált:

2.83. egyenlet - (16,6)

Dλ1m1(j1)(ν)Dλ2m2(j2)(ν)dΩν4π=12j+1δj1j2δm1m2


(dΩν=sinddφ). A ψjmλ függvények λ, szerinti ortogonalitását az u(λ) tényező biztosítja. Ily módon a ψjmλ függvények mindhárom indexükben ortogonálisak, és a (16,4) normálás szerint

2.84. egyenlet - (16,7)

|ψjmλ|2dΩν=1.


Itt feltettük, hogy az u(λ) amplitúdók 1-re normáltak: u(λ)u(λ)∗=1.

Megvizsgáljuk, hogyan viselkednek a helicitásállapotok hullámfüggvényei a koordináták tükrözésekor. A ν poláris vektor és j axiális vektor szorzata pszeudoskalár. Nyilvánvaló tehát, hogy a λ helicitású állapot tükrözéskor –λ helicitású állapotba megy át; csupán a transzformáció során fellépő fázisszorzót kell meghatározni.

Tükrözésnél ν→–ν. A ν vektort két szög, φ, határozza meg, a ν→–ν transzformáció a φ→φ+π, →π– helyettesítéssel jön létre. Ez az új ζ tengelyt is rögzíti, a ξ és η tengelyeket azonban még nem, ezek a harmadik Euler-szögtől, γ-tól is függnek; pusztán és φ transzformációja tehát nem teszi lehetővé, hogy a koordináta-rendszer tükrözését megkülönböztessük a ζ tengely elforgatásától. Mindhárom Euler-szöget figyelembe véve, a tükrözés a következő transzformáció:

2.85. egyenlet - (16,8)

αφφ+π,β𝜃π𝜃,γπγ.


Ezért, ha Dλm(j)(ν) (16,5) szerint határozzuk meg (γ=0), a ν→–ν helyettesítést pedig tükrözésként értjük, akkor

2.86. egyenlet - (16,9)

Dλm(j)(−ν)=Dλm(j)(φ+π,π𝜃,π).


A III. kötet (58,9) (58,16), és (58,18) összefüggéseinek felhasználásával

Dλm(j)(–ν) =eiλπdλm(j)(π–)eim(φ+π) = =(–1)j–λeimφd–λm(j)() =(–1)i–λD–λm(j)(φ,,0),

vagy

2.87. egyenlet - (16,10)

Dλm(j)(ν)=(1)jλDλm(j)(ν)


[(j–λ) egész szám].

Hasonló összefüggéseket kaphatunk a w(λ) spinorra, ha észrevesszük, hogy komponensei szorzótényező erejéig megegyeznek a D-függvényekkel

2.88. egyenlet - (16,11)

wσ(λ)(ν)Dλσ(s)(ν).


Ténylegesen, ha a III. (58,7) transzformációs képletet a spin-sajátfüggvényekre alkalmazzuk, és feltételezzük, hogy a spin vetülete a ζ tengelyre éppen λ [azaz a III. (58,7) jobb oldalán ψjm′-t δm′λ-val helyettesítjük], azt találjuk, hogy Dλσ(s)(ν)éppen a spin-hullámfüggvény , meghatározott z vagy ζ komponenssel (σ vagyλ). E függvények összessége (σ=–s,…,+s) éppen egy 2s-ed rendű kovariáns spinor [a III. (57,6) megfeleltetési képletek szerint]. A megfelelő kontravariáns spinor komponensei [amelyek a III. (57,2) képlet szerint a wσ(λ) komponenseknek felelnek meg], az ugyanolyan rendű kovariáns spinor komponenseinek komplex konjugáltjai.

(16,10) és (16,11) képletből

2.89. egyenlet - (16,12)

w(λ)(ν)=(1)sλw(λ)(ν)


[(s–λ) egész szám]. A tükrözés operációjának w(λ)-ra való alkalmazása azonban nemcsak a ν→–ν helyettesítést jelenti, hanem szorozni kell még azáltalános fázistényezővel is (a részecske „belső paritása”) , amit η-val jelölünk:

2.90. egyenlet - (16,13)

Pw(λ)(ν)=ηw(λ)(ν)=η(1)sλw(λ)(ν).


A relativisztikus u(λ)(k) amplitúdóra ez a transzformáció

2.91. egyenlet - (16,14)

Pu(λ)(k)=ηβu(λ)(k)=η(1)sλu(λ)(k),


ahol β valamilyen mátrix, u(λ)6-nak |p|→0 határesetben megmaradó komponenseire nézve egységmátrix. Fontos, hogy az állapot kvantumszámaitól független, így a (16,13)és (16,14) közötti különbség ebben az értelemben nem lényeges.[55]

(16,14)-et (16,2)-re alkalmazva, kapjuk az |nλ⟩állapot hullámfüggvényének transzformációs szabályát:

2.92. egyenlet - (16,15)

Pψnλ(ν)=η(1)sλψnλ(ν).


A gömbi (szférikus) helicitásállapotok transzformációs szabályát  (16,10) és (16,12) felhasználásával kapjuk:

2.93. egyenlet - (16,16)

Pψjmλ(ν)=η(1)jsψjmλ(ν).


A ψjm0 állapot (16,16) szerint a paritásoperátor sajátállapota, azaz meghatározott párosságú. Ha λ≠0, akkor csak az ellentétes helicitású állapotok szuperpozíciója meghatározott párosságú:

2.94. egyenlet - (16,17)

ψjm|λ|(±)=12(ψjmλ±ψjmλ).


Tükrözéskor ezek önmagukba mennek át:

2.95. egyenlet - (16,18)

Pψjm|λ|(±)(ν)=±η(1)jsψjm|λ|(±)(ν).


Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ebben a szakaszban az adott impulzusmomentumú szabad részecskeállapotokat pusztán a megmaradó mennyiségek felhasználásával osztályoztuk, és nem használtuk a pálya-impulzusmomentumot (a 6, (7-okban a fotonállapotok osztályozásánál például figyelembe vettük).

Példaként tekintsük az 1 spinű esetet. A nyugalmi rendszerben az u(λ) (négyesvektor) amplitúdókból hármasvektorok lesznek, ezek játsszák most a w(λ) amplitúdók szerepét. Az 1-es spin operátorának hatása az e vektorfüggvényre:

2.96. egyenlet - (16,19)

(sie)k=ieiklel


(III. 57. § 2. feladat). Így a (16,1) egyenlet mosta következő alakú:

2.97. egyenlet - (16,20)

in×e(λ)=λe(λ).


Megoldásai (a ξηζ koordináta-rendszerben a ζ tengely n irányába mutat) éppen a szférikus egységvektorok [l. (7,14)]:[56]

2.98. egyenlet - (16,21)

e(0)=i(0,0,1),e(±1)=i2(1,±,0).


Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske impulzusa p, a helicitás-állapotok amplitúdói négyesvektorok:

2.99. egyenlet - (16,22)

u(0)μ=|p|m,𝜀me(0),u(±1)μ=(0,e(±1)).


Ha e poláris vektor, akkor η=–1. Ekkor a (16,17) függvények (s=1-re háromdimenziós vektorok) paritása:

Ψjm |λ|(+) :P=(–1)j, Ψjm |λ|(–) :P=(–1)j+1, Ψjm0 :P=(–1)j.

(7,4) gömbi vektorfüggvényekkel összehasonlítva látjuk, hogy ezek a függvények (fázisszorzó erejéig) rendre megegyeznek az Yjm(e), Yjm(m), Yjm(l) függvényekkel. A fázisszorzót meghatározva (pl. a =0-nál felvett értékek összehasonlításával) kapjuk a következő egyenlőségeket:

2.100. egyenlet - (16,23)

Yjm(e)=ij12j+18π(e(1)D1m(j)+e(1)D1m(j)),Yjm(m)=ij12j+18π(e(1)D1m(j)+e(1)D1m(j)),Yjm(e)=ij12j+18πe(0)D0m(j)(16,23)


(j egész szám!); e(λ)′=n×e(λ), ξ′η′ζ′ a tengelyeknek megfelelő cirkuláris bázisvektorok , amelyeket ξηζ-ból a ζ-tengely körüli 90∘-os elforgatással kapunk.

(16,23) utolsó egyenlősége ekvivalens a d0m(j)()-ra felírt III. (58,23) kifejezéssel. Az elsőből (vagy másodikból) kaphatjuk d±1m(j) egyszerű kifejezését. Fennáll, hogy

ij–1√((2j+1/8π))D±1m(j)=Yjm(e)e(±1)∗=(1/√(j(j+1)))e(±1)∗ ∇Yjm.

Az egyenlőség jobb oldalán álló skalárszorzatot a ξηζ rendszerben számoljuk, továbbá

((∂/∂ξ),(∂/∂η))→((∂/∂),(1/sin)(∂/∂φ)).

Az Yjm függvény (7,2) definíciójából, valamint (16,5)-ből kapjuk a végeredményt:

2.101. egyenlet - (16,24)

d±1m(j)(𝜃)=(1)m+1(jm)!(jm)!j(j+1)±𝜃+msin𝜃Pjm(cos𝜃),m0.




[51] E szakasz tartalma tetszőleges (egész vagy félegész) spinű részecskére vonatkozik.

[52] Az elmondottak (ahogyan λ megengedett értékei is) nemzérus tömegű részecskékre vonatkoznak. Zérus tömegű részecskéknek nyugalmi rendszere nem létezik, a helicitás pedig csak két értéket vehet fel λ=±s. Az utóbbi a 8-ban már említett körülménnyel függ össze: az ilyen részecskék állapotait aszerint osztályozzuk, hogyan viselkednek a tengely körüli forgatások szimmetriacsoportjával szemben, amely csak kétszeresen degenerált szinteket enged meg (a hullámegyenlet szempontjából ez azt jelenti, hogy az s spinű részecskére felírt egyenletrendszer m→0 határesetben szétesik független, az s,s–1,… spinű, zérus tömegű részecskéket leíró egyenletekre). Mivel fotonra λ=±1, ezért w(λ) szerepét a háromdimenziós e(±1) vektorok [l. (8,2)] játsszák.

[53] A δ(2)-függvény definíciója: ∫δ(2)(ν–n)dΩν=1. (16,2)-ben [és a későbbi (16,4)-ben] elhagytuk az energia meghatározott értékét beállító δ-függvényt.

[54] 103. §-ban található levezetés a hullámfüggvények véges forgatásra vonatkozó transzformációs képletein alapszik (l. III. 58. §). E képleteket viszont egyedül a forgásokkal szemben mutatott szimmetriatulajdonságok határozzák meg. Ezért minden eredmény egyaránt alkalmazható impulzus- és koordináta-reprezentációbeli függvényekre.

[55] s=1-re az u(λ) amplitúdó négyesvektor [l. (16,21)]; ekkor β négyesvektor-indexek szerint egységmátrix: βμν=δμν. s=1∕2-re (amint azt a következő fejezetben látjuk) u(λ) bispinor; ekkor a fázisszorzó η=i, β pedig a Dirac-féle γ0 mátrix [l. (21,10)].

[56] A fázisszorzó megválasztását rögzíti az a követelmény, hogy a spinoperátornak a (16,21) sajátfüggvények segítségével számított mátrixelemei megfeleljenek az általános definíciónak (III. 27.§. 107.§).