Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

15.§. Az 1-nél nagyobb egész spinű részecskék hullámegyenlete

15.§. Az 1-nél nagyobb egész spinű részecskék hullámegyenlete

Mivel a részecske tömegének és spinjének ismeretében a (14,3)(14,4) hullámegyenletek közvetlenül adódnak, ezért a Lagrange-operátort nem annyira ezeknek az egyenleteknek a származtatására, mint inkább a tér energiájának, impulzusának és töltésének meghatározására használjuk.

Erre a célra, mint már említettük, (14,5) helyett a  (14,7) kifejezés használható, az utóbbit pedig még tovább lehet alakítani. (14,1)-et felhasználva,  (14,7) az

L =–(∂μψν∗)(∂μψν)+(∂νψμ∗)(∂μψν)+m2ψμψμ∗= =–(∂μψν∗)(∂μψν)+m2ψμ∗ψμ+∂ν(ψμ∗∂μψν)–ψμ∗∂μ∂νψν

alakban írható. Az utolsó tag (14,3) szerint eltűnik, az utolsó előtti pedig teljes differenciálhányados. Ezt elhagyva kapjuk az új Lagrange-operátort:

2.72. egyenlet - (15,1)

L=(μψν)(μψν)+m2ψμψμ.


Ennek szerkezete ugyanolyan, mint a zérus spinű részecskék (10,9) Lagrange-operátoráé, a különbség csupán annyi, hogy a ψ skalár helyett a ψμ, négyesvektor szerepel, és az előjel ellentétes. Az utóbbi azzal függ össze, hogy ψμ térszerű vektor, úgyhogy ψμψμ∗<0, míg skalár részecskékre ψψ∗>0.

Ha a (15,1) Lagrange-függvény segítségével meghatározzuk az energia–impulzus-négyestenzort és az áramsűrűség négyesvektorát , ugyanolyan jellegű kifejezéseket kapunk, mint (10,12) és (10,18) voltak skalártér esetén:

Tμν =–∂μψλ∗⋅∂νψλ–∂νψλ∗⋅∂μψλ–L′gμν, (15,2) jμ =–i[ψλ∗∂μψλ–(∂μψλ∗)ψλ]. (15,3)

Ezek (14,8)-tól és (14,10)-től szintén teljes differenciálhányadosban különböznek. A mennyiségek lokális értékének azonban nincs mély fizikai tartalma (mint az már korábban kitűnt). Csupán a Pμ (10,15) és a Q (10,19) térfogati integrálok lényegesek, amelyek Tμν és jμ mindkét alakjára megegyeznek.

Ez a leírás közvetlenül általánosítható tetszőleges (egész) spinű részecskére. Az s spinű részecske hullámfüggvénye s-ed rendű irreducibilis négyestenzor , azaz olyan tenzor, amely minden indexében szimmetrikus, és bármely két index összeejtésére eltűnik:

2.73. egyenlet - (15,4)

ψ..μ.ν..=ψ..ν.μ,..,ψ..μ.μ..=0.


Ki kell elégítenie a

2.74. egyenlet - (15,5)

pμψ..μ..=0


mellékfeltételt, valamint minden komponensének a

2.75. egyenlet - (15,6)

(p2m2)ψ=0


másodrendű egyenletet. A (15,5) feltétel szerint a tenzor minden olyan komponense, amelynek indexei között a 0 előfordul, a nyugalmi rendszerben eltűnik. Más szavakkal, a hullámfüggvény a nyugalmi rendszerben (azaz nemrelativisztikus közelítésben) s-ed rendű irreducibilis hármastenzor , amelyben a független komponensek száma 2s+1.

Az s spinű részecske terének Lagrange-függvénye , energia–impulzus-tenzora, áramsűrűség-vektora (15,1)(15,3)-tól csak annyiban különbözik, hogy ψλ helyett mindenhol ψλμ… szerepel.

A normált síkhullám:

2.76. egyenlet - (15,7)

ψμν=12𝜀uμνeipx,uμνuμν=1,(15,7)


az amplitúdó kielégíti az

2.77. egyenlet - (15,8)

uμpμ=0


feltételt. 2s+1 független polarizációs állapot van.

A tér kvantálása a 0 vagy 1 spinű esetek általánosításaként végezhető el.

Az ismertetett módszer teljesen kielégítő a kitűzött cél elérésére, a szabad részecskék terének leírására. Más a helyzet, ha az elektromágneses térrel való kölcsönhatás leírása a feladatunk. A kölcsönhatást a Lagrange-függvényben kellene bevezetni úgy, hogy ebből utána minden egyenletet megkapjunk, mellékfeltételek kirovása nélkül (lásd a IV. fejezet  3. lábjegyzetét). Ténylegesen azonban az látszik, hogy a kölcsönhatás ilyen leírása csak elektronokra – feles spinű részecskékre alkalmazható (l.  32. §). Más spinű részecskékre a feladatnak csak módszertani érdekessége lehetne.

Megjegyezzük, hogy s>1 (egész és félegész) spinre nem lehetséges a variációs elvet egyetlen, az adott spinnek megfelelő rendű függvény (tenzor vagy spinor) segítségével megfogalmazni. Ehhez alacsonyabb rendű segédtenzorokat vagy -spinorokat szükséges bevezetni. A Lagrange-függvénynek emellett olyannak kell lennie, hogy a segédmennyiségek automatikusan eltűnjenek a variációs elv segítségével származtatott, a szabad részecskék terét leíró egyenletek értelmében.[50]



[50] Lásd M. Fierz , W. Pauli , Proc. Roy. Soc. A173, 211 (1939). Ez a dolgozat a 3∕2 és 2 spinű részecskéket tárgyalja.