Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

14.§. Az 1 spinű részecske hullámegyenlete

14.§. Az 1 spinű részecske hullámegyenlete

Az 1 spinű részecskét saját nyugalmi rendszerében háromkomponensű hullámfüggvény – egy háromdimenziós vektor írja le (ezeket gyakran vektoriális részecskéknek nevezik). Négydimenziós eredetét tekintve, ez lehet egy ψμ (térszerű) négyesvektor három térkomponense, vagy egy másodrendű, antiszimmetrikus ψμν négyestenzor térkomponensei, melynek időkomponense (ψ0), ill. térbeli komponensei (ψik) a nyugalmi rendszerben eltűnnek.[48]

A hullámegyenletet – amely differenciális kapcsolat a ψμ és ψμν mennyiségek között – a következő alakban írjuk:

iψμν =pμψν–pνψμ, (14,1) im2ψμ =pνψμν, (14,2)

ahol p=i∂ (A. Proca , 1936). A (14,2) egyenlet mindkét oldalára a pμ operációt alkalmazva (mivel ψμν antiszimmetrikus), azt kapjuk, hogy

2.56. egyenlet - (14,3)

pμψμ=0.


(14,1)-ből és (14,2)-ből ψμν kiküszöbölhető, ha az első egyenletet a másodikba helyettesítjük. Felhasználva (14,3)-at,

2.57. egyenlet - (14,4)

(p2m2)ψμ=0


adódik, amiből ismét látható (vö. 10. §), hogy m a részecske tömege. Ily módon az 1 spinű szabad részecske mindig leírható egy ψμ négyesvektorral, melynek komponensei kielégítik a (14,4) másodrendű egyenletet, valamint a (14,3) mellékfeltételt, amely ψμ-ből a zérus spinű részt küszöböli ki.

A nyugalmi rendszerben, ahol ψμ nem függ a térkoordinátáktól, p0ψ0=0. Mivel ugyanakkor p0ψ0=mψ0, ezért a nyugalmi rendszerben ψ0=0, ahogy annak lennie kell. ψ0-lal együtt a ψik komponensek is eltűnnek.

Az 1 spinű részecske belső paritása kétféle lehet, ψμ ettől függően valódi vagy pszeudovektor. Az első esetben

Pψμ=(ψ0,–ψi),

a másodikban

Pψμ=(–ψ0,ψi).

(14,1)(14,2) egyenletek variációs elvvel származtathatók a következő Lagrange-függvényből:

2.58. egyenlet - (14,5)

L=12ψμνψμν12ψμν(μψννψμ)12ψμν(μψννψμ)+m2ψμψμ.


A független általános koordinátákψμ,ψμ∗,ψμν,ψμν∗.[49]

Az energia–impulzus-tenzor megalkotására a (10,11) képlet most nem teljesen kielégítő, mivel az így kapott tenzor még további szimmetrizálásra szorulna. Helyette az

2.59. egyenlet - (14,6)

12Tμνg=xλgLg,λμν+gLgμν


összefüggést használhatjuk, amelyben feltételeztük, hogy L-et tetszőleges görbevonalú koordináta-rendszerre vonatkozó alakban fejeztük ki [l. II. (94,4)]. HaL csak a gμν metrikus tenzor komponenseit tartalmazza (és ennek koordináták szerinti deriváltjait nem), akkor az összefüggés egyszerűbb:

Tμν=(2/√(–g))(∂√(–g)L/∂gμν)=2(∂L/∂gμν)–gμνL

(emlékeztetünk, hogy dlng=–gμνdgμν).

Mivel (14,6)-ban a differenciálást nem a ψμ,ψμν mennyiségek szerint végezzük, ezért ezeket nem kell függetleneknek tekintenünk; felhasználhatjuk (14,1)-et, és a (14,5) Lagrange-függvényt az

2.60. egyenlet - (14,7)

L=12ψμνψλϱgμλgνϱ+m2ψμψνgμν


alakban írhatjuk. Ekkor

2.61. egyenlet - (14,8)

Tμν=ψμνψνλψμλψνλ+m2(ψμψν+ψνψμ)+gμν12ψλϱψλϱm2ψλψλ.


Az energiasűrűséget a pozitív definit

2.62. egyenlet - (14,9)

T00=12ψikψik+ψ0iψ0i+m2(ψ0ψ0+ψiψi)


kifejezés adja.

A megmaradó négyes áramsűrűség-vektor

2.63. egyenlet - (14,10)

jμ=i(ψμνψνψμνψν).


Ezt a (12,12) képlet alapján kaphatjuk meg, a (14,5) Lagrange-függvényt ∂μψν differenciálhányadosok szerint kell deriválni. Az időkomponens

2.64. egyenlet - (14,11)

j0=i(ψ0kψkψ0kψk)


nem pozitív definit mennyiség.

A V=1 térfogatban egy részecske szerint normált síkhullám:

2.65. egyenlet - (14,12)

ψμ=12𝜀uμeipx,uμuμ=1,


ahol uμ a négyes polarizációs egységvektor [(14,3) miatt] az

2.66. egyenlet - (14,13)

uμpμ=0


feltételnek tesz eleget. (14,12)-t (14,9)-be és (14,11)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

T00=–2ε2ψμψμ∗=ε, j0=1.

A fotonnal ellentétben a nemzérus tömegű vektorrészecskének három független polarizációs iránya van. Az ezeknek megfelelő amplitúdókat lásd (16,21) alatt.

A részlegesen polarizált vektorrészecskék sűrűségmátrixát úgy határozzuk meg, hogy az tiszta állapotban a ϱμν=uμuν∗ szorzatba menjen át (a fotonokra vonatkozó (8,7) képlethez hasonlóan). A (14,12) és (14,13) feltételeknek megfelelően ϱμν kielégíti a

2.67. egyenlet - (14,14)

pμϱμν=0,ϱμμ=1


egyenlőségeket. Teljesen polarizálatlan részecskékre ϱμν=agμν+bpμpν. Az aés b együtthatókat (14,14)-ből meghatározva

2.68. egyenlet - (14,15)

ϱμν=13gμνpμpνm2


adódik.

A vektortér kvantálása a skalár esettel teljesen megegyező módon lehetséges, az egyes meggondolásokat nem szükséges újra megismételni. Az, hogy T00 (14,9) kifejezése pozitív definit és j0 (14,11) alakja nem az, szükségszerűen Bose-típusú kvantáláshoz vezet ugyanúgy, mint skalártér esetében.

A valódi semleges vektortér és az elektromágneses tér tulajdonságai között szoros kapcsolat áll fenn. A semleges vektorteret a valós ψ-operátor írja le:

2.69. egyenlet - (14,16)

Ψμ=pα12𝜀(cpαuμ(α)eipx+cpα+uμ(α)eipx),


ahol cpα,cpα+ a bozonok eltüntetőés keltő operátorai (az α index a három független polarizációt jelöli). A tér Lagrange-operátora:

2.70. egyenlet - (14,17)

L=14ΨμνΨμν12Ψμν(μΨννΨμ)+12m2ΨμΨμ.


Az elektromágneses térnek az m=0 eset felel meg. Ekkor a ψμ négyesvektorból az Aμ négyespotenciál lesz, a ψμν négyestenzor – az Fμν térerősségtenzor – pedig (14,1) szerint függ össze a potenciállal. A (14,2) egyenlet alakja ∂νψμν=0, ami éppen a második két Maxwell-egyenlet. Ebből most nem következik a (14,3) feltétel, amelynek ily módon nem is kell teljesülnie. A mellékfeltétel hiányában nem szükséges a Lagrange-operátorban Ψμ-t és Ψμν-t független „koordinátáknak” tekinteni, ezért (14,17) egyszerűen az

2.71. egyenlet - (14,18)

L=14ΨμνΨμν


alakban írható, ami éppen az elektromágneses tér Lagrange-függvényének jól ismert klasszikus kifejezése. Ez a Ψμν tenzorral együtt invariáns a Ψ„potenciál” tetszőleges mértéktranszformációjával szemben. Világosan látható, hogy ez a zérus tömeggel függ össze: a (14,17) Lagrange-operátornak nincs meg ez a tulajdonsága az m2ΨμΨμ tag miatt.



[48] Előre felhívjuk a figyelmet arra, hogy a ψμ négyesvektorok és ψνμ négyestenzorok összessége megfelel a négydimenziós, másodrendű ξαβ,ηα̇β̇,ζαβ̇ spinorok összességének; ξαβ és ηα̇β̇ szimmetrikus spinorok, amelyek tükrözéskor egymásba mennek át (l.  19. §).

[49] Ha csak ψμ szerint variálnánk [ψμν-t kifejeznénk ψμ-vel (14,1) szerint], akkor a (14,3) egyenletet mellékfeltételként kellene bevezetni, a variációs elvhez nem kapcsolódna.