Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

12.§. Valódi semleges részecskék

12.§. Valódi semleges részecskék

A ψ-függvény (11,1) másodkvantálásakor az ap(+),ap(–) együtthatókat mint más-más részecskére ható operátorokat kezeltük. Ez nem általános törvényszerűség, egyes esetekben a Ψ-ben fellépő eltüntető és keltő operátorok ugyanazokra a részecskére vonatkoznak [ez volt a helyzet a fotonoknál is, vö. (2,17)]. Bevezetve a cp,cp+ jelöléseket, a ψ-operátort a következő alakban írhatjuk:

2.28. egyenlet - (12,1)

Ψ=p12𝜀(cpeipx+cp+eipx).


Az így leírt tér azonos részecskék rendszerének felel meg, azt mondjuk, hogy a„részecske egybeesik saját antirészecskéjével”.

(12,1) operátor hermitikus Ψ+=Ψ; azt mondhatjuk, hogy a tér valós. Az ilyen tér természetesen fele annyi szabadsági fokkal rendelkezik, mint a komplex tér, ahol a Ψ és Ψ+ operátorok nem esnek egybe.

Az előzőekkel összhangban, a Lagrange-operátor a valós Ψ operátorral kifejezett (10,9)-től 1∕2 szorzótényezőben különbözik:[40]

2.29. egyenlet - (12,2)

L=12(μΨμΨm2Ψ2).


Az energia–impulzus-tenzor

2.30. egyenlet - (12,3)

Tμν=μΨνΨLgμν,


az energiasűrűség operátora ennek megfelelően

2.31. egyenlet - (12,4)

T00=Ψt2L=12Ψt2+(Ψ)2+m2Ψ2.


 (12,1)-et az ∫T00d3 integrálba helyettesítve, megkapjuk a tér Hamilton-operátorát :

2.32. egyenlet - (12,5)

H=12p𝜀(cp+cp+cpcp+).


Látható, hogy ismét Bose-típusú felcserélési törvényt kell használnunk:

2.33. egyenlet - (12,6)

{cp,cp+}=1,


ekkor az energia-sajátértékek (az additív állandó levonása után):

2.34. egyenlet - (12,7)

E=p𝜀pNp.


Fermi-típusú felcserélési törvényt használva, fizikailag értelmetlen eredményt kapunk, azt, hogy E független Np-től.

A vizsgált tér Q „töltése” nulla. Ez nyilvánvaló, ha figyelembe vesszük, hogy részecske és antirészecske felcserélésekor Q előjelet vált, a jelen esetben pedig a részecske és antirészecske „azonos”. Ezzel összhangban négyes áramsűrűség-vektor nem létezik. Valóban a

2.35. egyenlet - (12,8)

jμ=i[Ψ+μΨ(μΨ+)Ψ]


kifejezés, amely teljesíti az árammegmaradás követelményét , Ψ=Ψ+ esetén eltűnik (a Ψ∂μΨ vektor önmagában nem divergenciamentes). Ez arra utal, hogy megmaradási törvény nem szabályozza a részecskeszám változását. Az ilyen részecskék legalábbis elektromosan semlegesek.

Az olyan töltés nélküli részecskékkel szemben, amelyeknek van antirészecskéjük, a most tárgyaltakat valódi semleges részecskéknek hívjuk. Az előbbiek csak párosával képesek szétsugárzódni (átalakulni fotonokká), az utóbbiak egyenként is.

A ψ-operátor (12,1) szerkezete ugyanolyan, mint az elektromágneses tér operátoraié [ (2,17)(2,20)]. Ilyen értelemben azt mondhatjuk, hogy a fotonok is valódi semleges részecskék. Az elektromágneses tér esetében az operátorok hermitikussága szorosan összefüggött azzal, hogy a térerősségek mint (klasszikus határesetben) mérhető fizikai mennyiségek, valósak. Most ilyen kapcsolat nem létezik, a ψ-operátornak nem felel meg közvetlenül mérhető mennyiség. Ezzel kapcsolatban érdemes ismét megjegyezni, hogy a jelenlegi elmélet ψ-operátorai valószínűleg „kezdetleges fogalmak”, amelyek egy következetes elméletből el fognak tűnni.

Az, hogy megmaradó négyes áramsűrűség-vektor nem létezik, a valódi semleges, részecskék közös, spintől független tulajdonsága (fotonokra is érvényes). Fizikailag azt jelenti, hogy nincs a részecskeszám változását korlátozó törvény. A Ψ-operátor hermitikus, a tér valós, nincs megmaradó áram – ezek erősen összefüggő állítások.

A komplex tér Lagrange-operátora

2.36. egyenlet - (12,9)

L=μΨ+μΨm2Ψ+Ψ


invariáns a Ψ-operátornak tetszőleges fázistényezővel való szorzásával, azaz a

2.37. egyenlet - (12,10)

ΨeiαΨ,Ψ+eiαΨ+


transzformációval szemben.[41] Másképpen ez azt jelenti, hogy a Lagrange-operátor nem változik a

2.38. egyenlet - (12,11)

ΨΨ+iδαΨ,Ψ+Ψ+iδαΨ+


infinitezimális átalakítás során.

A q „általános koordináták” infinitezimális megváltozásakor a Lagrange-operátor megváltozása:

δL=∑((∂L/∂q)δq+(∂L/∂q,μ)δq,μ)=∑((∂L/∂q)–(∂/∂xμ)(∂L/∂q,μ))δq+∑(∂/∂xμ)((∂L/∂q,μ)δq)

(az összegezés q-ra vonatkozik). Az első tag a „mozgásegyenletek” (Lagrange-egyenletek) szerint nulla. q koordinátáknak a Ψ és Ψ+ operátorokat választva, δΨ=iδα⋅Ψ,δΨ+=–iδα⋅Ψ+ helyettesítéssel kapjuk, hogy

δL=iδα(∂/∂xμ)(Ψ(∂L/∂Ψ,μ)–Ψ+(∂L/∂Ψ,μ+)).

Látható, hogy a Lagrange-operátor nem változik (δL=0), ha a

2.39. egyenlet - (12,12)

jμ=iΨ+LΨ,μ+ΨLΨ,μ


négyesvektor divergenciamentes (∂μjμ=0). Könnyű igazolni, hogy a (12,9) Lagrange-operátorból a (12,12) képlettel a (12,8) áramsűrűség adódik. Matematikailag tehát a megmaradóáram létezése a Lagrange-operátornak a (12,10) transzformációval szemben mutatott invarianciájával függ össze (W. Pauli , 1941) A valódi semleges tér (12,2) Lagrange-operátora ezzel a szimmetriával nem rendelkezik.



[40] Az 1∕2 szorzótényező magyarázata ugyanaz, mint a (2,10) és (3,2) energiasűrűségek esetében. Ezt egyik esetben a valós E és H operátorokkal, másikban a komplex hullámfüggvénnyel fejeztük ki; vö. az I fejezet.5. lábjegyzetével.

[41] Ezek a transzformációk alkotják a mértékcsoportot .