Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

11.§. Részecskék és antirészecskék

11.§. Részecskék és antirészecskék

A másodkvantálás általános szabályai szerint tetszőleges hullámfüggvényt a szabad részecskeállapotok teljes rendszere szerint kell kifejteni. Ha teljes rendszerként a síkhullámokat használjuk, akkor

ψ=∑papψp, ψ∗=∑pap∗ψp∗.

A következő lépésben az ap,ap∗ együtthatókat a p hármasimpulzusú részecskék ap,ap+ eltüntető és keltő operátorának kellene tekintenünk.[37]

Ezen a ponton azonban a nemrelativisztikus elmélethez képest új, elvi jelentőségű körülménnyel találjuk magunkat szemben. A (10,5) egyenletet kielégítő síkhullám energiájának adott p hármasimpulzus mellett csak az ε2=p2+m2 feltételt kell kielégítenie, azaz két értéket vehet fel: ±√(p2+m2). A síkhullám szabad részecskét ír le, fizikai értelme csak a pozitív ε energiának van. A negatív energiás tagokat ennek ellenére nem hagyhatjuk el: a hullámegyenlet általános megoldását csak az összes független megoldás szuperpozíciójaként kapjuk. Ez arra mutat, hogy a ψ és a ψ∗ kifejtésében fellépő együtthatók értelmezésekor körültekintően kell eljárnunk.

A kifejtést írjuk a következő alakban:

2.20. egyenlet - (11,1)

ψ=p12𝜀ap(+)ei(pr𝜀t)+p12𝜀ap()ei(pr+𝜀t),


ahol az elsőösszeg a pozitív , a második a negatív „frekvenciás”, (10,16) szerint normált síkhullámokat tartalmazza; ε mindig pozitív: ε=+√(p2+m2). Másodkvantáláskor az elsőösszeg ap(+) együtthatóit a szokásos módon az ap eltüntető operátorokkal helyettesítjük. A második összeg vizsgálatánál észre kell vennünk, hogy mikor majd ennek mátrixelemeit képezzük, az összeg tagjainak időfüggése egy részecske keltésének, nem pedig eltüntetésének felel meg: az e–iεt=(e–iεt)∗ tényező a végállapotban megjelenőε energiájú részecskének felel meg (vö. a refS.22. § végével). Ezért az ap(–) együtthatókat valamilyen más részecske b–p+ keltő operátoraival helyettesítjük. Ha (11,1) második tagjában a p-re valóösszegezést –p-re valóösszegezésre írjuk át (hogy az exponenciális tényezőe–i(pr–εt) alakú legyen), a ψ-operátorokra a következő kifejezés adódik:

2.21. egyenlet - (11,2)

Ψ=p=12𝜀(apeipx+bp+eipx),Ψ+=p12𝜀(ap+eipx+bpeipx).


(11,2)-ben azok a tagok, amelyekben az ap,bp operátorok szerepelnek, a „helyes” (∼e–iεt) időfüggést mutatják, az ap+,bp+ operátorok mellett álló exponenciális tényező az előzőnek komplex konjugáltja. Ez lehetővé teszi azt, hogy ap,bp, ill. ap+,bp+ operátorokat p impulzusú, ε energiájú részecskék eltüntető, ill. keltő operátoraiként értelmezzük.

Az eddigiekből azt látjuk, hogy két részecske együtt és egyenrangúan jelentkezik. Ezekről beszélünk úgy, mint részecskéről és antirészecskéről (az elnevezés magyarázata a későbbiekben következik). Az egyik leírására használjuk az ap, ap+, a másikéra a bp, bp+ operátorokat. Ezek ugyanabban az ψ-operátorban szerepelnek, így a részecske és az antirészecske tömege egyenlő.

Ehhez az eredményhez a relativisztikus invariancia követelményeiből is eljuthatunk.

A Lorentz-transzformáció matematikailag a négydimenziós koordináta-rendszer olyan elforgatásait jelenti, amelyek során az időtengely iránya megváltozik (a tiszta térbeli forgatásokkal – melyek nem változtatják meg az időtengely irányát – együtt ezek a transzformációk csoportot alkotnak, ezt hívjuk Lorentz-csoportnak[38]). A transzformációk közös tulajdonsága, hogy a t időtengelyt nem vezetik ki a fénykúp megfelelő részéből; ezen keresztül is kifejezésre jut az a fizikai elv, amely szerint tetszőleges jel terjedési sebessége nem léphet túl bizonyos határsebességet .

Matematikai értelemben forgatást jelent az is, ha mind a négy koordináta előjelét egyidejűleg megváltoztatjuk (négydimenziós tükrözés): minden más forgatáshoz hasonlóan e transzformáció determinánsa is +1. Az ilyen transzformáció során az időtengely a fénykúp egyik tartományából átkerül egy másikba. Noha ez a körülmény azt jelenti, hogy a vonatkoztatási rendszer ilyen transzformációja fizikailag megvalósíthatatlan, matematikailag csupán ahhoz vezet, hogy (a pszeudoeuklideszi metrika miatt) az elforgatás során komplex koordinátatranszformációt is meg kell engednünk.

Természetes gondolat, hogy mivel négydimenziós invarianciáról van szó, ez a különbség nem lehet lényeges. Ekkor minden, a Lorentz-transzformációval szemben invariáns kifejezésnek a négyestükrözéssel szemben is invariánsnak kell lennie. A   13. §-ban tárgyaljuk, hogyan kell ezt a követelményt a skalár ψ-operátorra pontosan megfogalmazni. Annyit azonban rögtön látunk, hogy a ψ-operátor mindkét tagjának egyidejűleg jelen kell lennie, hiszen a t→–t transzformáció éppen a pozitív és negatív frekvenciás tagokat viszi át egymásba.

Visszatérünk a (11,2) kifejezésre, és meghatározzuk az ap,ap+ (és bp,bp+) operátorok felcserélési törvényeit. Fotonoknál ez (a cp és cp+ operátorokra) az oszcillátorokkal való analógiából, tehát lényegében a klasszikus elektromágneses tér tulajdonságaiból származtatható. Most erre nincs lehetőség. Egyedül a Hamilton-operátor alakja az, ami útmutatást ad a (Bose- vagy Fermi-) felcserélési összefüggések felállítására.

Az utóbbit megkapjuk (l. III. 64. §), ha a Ψ és Ψ+ operátorokat beírjuk az ∫T00d3x integrálban[39]ψ és ψ∗ helyére:

2.22. egyenlet - (11,3)

H=p𝜀(ap+ap+bpbp+).


Könnyen látható, hogy csak akkor kapunk egyszerűen értelmezhető alakot, ha az operátorok felcserélési törvénye Bose-típusú:

2.23. egyenlet - (11,4)

{ap,ap+}={bp,bp+}=1


(bármely másik két operátor felcserélhető egymással, így többek között bármelyik ap,ap+ részecskeoperátor bármelyik bp,bp+ antirészecske-operátorral ). Ebben az esetben

H=∑pε(ap+ap+bp+bp+1).

Az ap+ap és a bp+bp szorzatok sajátértékei Np és N̄p nemnegatív egész számok, a részecskék és antirészecskék száma. A ∑ε végtelen nagy additív állandót (a „vákuum energiáját” ) elhagyhatjuk:

2.24. egyenlet - (11,5)

E=p𝜀(Np+N̄p)


[vö. (3,1)-gyel és a hozzáfűzött megjegyzésekkel]. Ez a kifejezés határozottan pozitív, és megfelel a kétféle, valóságosan létező részecskéről alkotott elképzelésünknek. A részecskerendszer teljes impulzusát hasonló módon kapjuk,

2.25. egyenlet - (11,6)

P=pp(Np+N̄p).


Ha (11,4) helyett Fermi-típusú felcserélési törvényt (antikommutátorokat kommutátorok helyett) róttunk volna ki az operátorokra, akkor a Hamilton-operátorra a

H=∑pε(ap+ap–bp+bp+1),

(11,5)(11,5) helyett pedig a fizikailag értelmetlen ∑ε(Np–N̄p) kifejezést kaptuk volna. Az utóbbi nem pozitív definit, és így nem értelmezhető szabad részecskék rendszerének energiájaként.

Ezek alapján a zérus spinű részecskék bozonok.

A továbbiakban vizsgáljuk a (10,19)-beli Q integrált. A j0 kifejezésben a ψ és ψ∗ függvényeket a Ψ és Ψ+ operátorokkal helyettesítjük, és elvégezzük az integrálást. Így azt kapjuk, hogy

2.26. egyenlet - (11,7)

Q=p(ap+apbpbp+)=p(ap+apbp+bp1).


A Q operátor sajátértékei (a ∑1 lényegtelen additív állandó levonása után):

2.27. egyenlet - (11,8)

Q=p(NpN̄p),


azaz a részecskék és antirészecskék számának különbsége.

Mindaddig, amíg mindenféle kölcsönhatástól mentes szabad részecskéket vizsgálunk, a Q mennyiségre vonatkozó megmaradási törvény [ugyanúgy, mint a teljes energia és impulzus megmaradása (11,5)(11,6)] nem mond túl sokat: ténylegesen nemcsak ez az összeg, hanem az Np,N̄p számok külön-külön is állandók. Hogy Q valamilyen kölcsönhatás során is megmarad-e, az a kölcsönhatás jellegétől függ. Ha Q megmaradó mennyiség (azaz a Q operátor felcserélhető a kölcsönhatás Hamilton-operátorával), akkor a (11,8) kifejezés mondja meg, milyen szabály szerint változhat meg a részecskék száma: csak „részecske+antirészecske” pár keletkezhet vagy tűnhet el.

Ha egy részecske elektromosan töltött, akkor antirészecskéjének töltése azonos nagyságú, ellentétes előjelű kell, hogy legyen: ha töltésük azonos lenne, akkor páros keletkezésük vagy eltűnésük (szétsugárzásuk) ellentmondana a természet szigorú törvényének, az elektromos töltés megmaradásának. A későbbiekben látni fogjuk (32. §), hogy részecske és antirészecske ellentétes töltése (az elektromágneses tér és a részecskék kölcsönhatásánál) az elmélet közvetlen következménye.

A Q mennyiséget néha az adott részecsketér töltésének nevezik. Elektromosan töltött részecskéknél Q egyebek között meghatározza a rendszer teljes elektromos töltését (az e elemi töltésegységben mérve). Hangsúlyoznunk kell azonban, hogy a részecskék és antirészecskék elektromosan semlegesek is lehetnek.

Az elmondottakból látjuk, hogy az energia és impulzus között fennálló relativisztikus összefüggés (az ε2=p2+m2 egyenlet gyökének kétértékűsége), valamint a relativisztikus invariancia követelménye új részecskeosztályozási elvhez vezet a kvantumelméletben – különböző részecskék párosával (részecske–antirészecske) keletkezhetnek és tűnhetnek el. Ezt az igen jelentős állítást először Dirac fogalmazta meg 1930-ban (feles spinű részecskékre), még az első antirészecske, a pozitron felfedezése előtt.



[37] A ψ-függvényt a p négyesimpulzussal indexeljük, ügyelve arra, hogy a továbbiakban a „negatív frekvenciás” függvényeket ψ–p-vel jelöljük. Az a,a+ operátorokat a valódi részecskék állapotát teljesen meghatározó p hármasimpulzus indexeli.

[38] Megjegyezzük, hogy a háromdimenziós (térbeli) forgatások magukban is csoportot alkotnak, ez a Lorentz-csoport részcsoportja . A Lorentz-transzformációk (időbeli forgatások) nem alkotnak csoportot: egymás utáni Lorentz-transzformációk eredménye lehet tiszta térbeli forgatás is.

[39] A nemrelativisztikus elméletben a sorrend is kötött: a Ψ+ adjungált operátor megelőzi Ψ-t. Most ez nem kötelező, mivel Ψ és Ψ+ felcserélése az egyenrangú ap és bp operátorok felcseréléséhez vezet. Fontos azonban, begy mindig azonos sorrendben írjuk le a Ψ és Ψ+ operátorokat.