Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

2. fejezet - II. FEJEZET BOZONOK

2. fejezet - II. FEJEZET BOZONOK

10.§. A nulla spinű részecskék hullámegyenlete

Az első fejezetben megmutattuk, hogyan lehet felépíteni a szabad elektromágneses tér kvantumelméletét. A klasszikus térelméletben megismert tulajdonságokból indultunk ki, a közönséges kvantummechanika fogalmait használtuk. A teret fotonok rendszereként tárgyaltuk; ez a módszer sok olyan eljárást tartalmaz, amely az elemi részecskék relativisztikus kvantumelméletének felépítésénél is használható.

Az elektromágneses tér végtelen sok szabadsági fokú rendszer. A részecskeszám (fotonszám) megmaradásának törvénye nem érvényes, a tér lehetséges állapotai között olyanok is vannak, amelyekben a részecskeszám tetszőleges.[32] Ez az a sajátosság, amit a relativisztikus elméletnek is tudnia kell, akármilyen részecskék rendszeréről legyen szó. A nemrelativisztikus elméletben a részecskeszám megmaradása a tömegmegmaradásból következik; a részecskék (nyugalmi) tömegének összege a kölcsönhatás során nem változik, ez azt jelenti, hogy például elektronok rendszerében az elektronok száma sem változhat. A relativisztikus mechanikában a tömegre nincs megmaradási törvény; a rendszer teljes energiája (ebben a részecskék nyugalmi energiája is benne van) az, ami nem változik. A részecskeszám tehát változhat, s így a relativisztikus elméletnek végtelen sok szabadsági fokú rendszert kell leírnia. Más szóval az ilyen részecskeelméletnek térelmélet jellegűnek kell lennie.

A változó részecskeszámú rendszerek leírására szolgáló matematikai eszköz a másodkvantálás (III. 64. §, 65. §). Az elektromágneses tér leírásakor az A négyespotenciált vetjük alá másodkvantálásnak. A potenciált az egyes részecskék (fotonok) hullámfüggvényeinek, valamint keltő és eltüntető operátorainak segítségével lehet kifejezni. A részecskerendszerek leírásánál a kvantált hullámfüggvény Ψ-operátora felel meg a négyespotenciálnak. Megalkotásához mindenekelőtt a szabad részecske hullámfüggvényét kell ismerni, valamint az egyenletet, amit a hullámfüggvény kielégít.

Hangsúlyozni kell, hogy a szabad részecske tere csupán segédfogalom. A valóságos részecskék kölcsönhatnak egymással, az elmélet feladata, hogy a kölcsönhatást tanulmányozza. Minden kölcsönhatás ütközéshez vezet, az ütközés előtt és után viszont a rendszer szabad részecskék összességének tekinthető. Az  1. §-ban láttuk, hogy egyedül ez mérhető. Ezért a szabad részecskék terét a kezdeti és a végállapotok leírására használjuk.

A szabad részecskék relativisztikus tárgyalását a zérus spinű részecskékkel kezdjük. Matematikailag ez a legegyszerűbb eset, itt lehet legkönnyebben bemutatni a leírás alapgondolatait és jellemző vonásait.

A szabad (spin nélküli) részecske állapotát a p hármasimpulzus egyértelműen meghatározza. A részecske ε energiájára[33] fennáll, hogy ε2=p2+m2 (m a részecske tömege), vagy négyesvektorokat használva (négyes írásmódban):

2.1. egyenlet - (10,1)

p2=m2.


Ismeretes, hogy az energia- és impulzusmegmaradás törvénye a tér és idő homogenitásával, azaz a négyes koordináta-rendszer tetszőleges párhuzamos eltolásával szembeni invarianciával függ össze. A kvantumelméletben ez az invariancia azt jelenti, hogy adott négyesimpulzusú részecske hullámfüggvénye a négyeskoordináták előbb említett transzformációja során csak (egységnyi abszolút értékű) fázisszorzóval változhat. Ez csak olyan exponenciális függvényre teljesül, amelynek kitevője lineáris a négyeskoordinátában. Más szóval, meghatározott pμ=(ε,p) négyesimpulzusú szabad részecskeállapot hullámfüggvénye síkhullám:

2.2. egyenlet - (10,2)

consteipx,px=𝜀tpr


(a kitevő előjele a relativisztikus elméleten belül önkényes; úgy választják meg, hogy összhangban legyen a nemrelativisztikus esettel).

(10,2) függvény a hullámegyenlet megoldása kell legyen tetszőleges p négyesimpulzusra, amely kielégíti (10,1)-et. Az egyenletnek lineárisnak kell lennie a szuperpozíció elve szerint: a (10,2)függvények tetszőleges lineáris kombinációja is lehetséges részecskeállapotot ír le, s ezért megoldása az egyenletnek. Végül az egyenletnek a lehető legalacsonyabb rendűnek kell lennie, a magasabb rendek csak felesleges megoldásokat hoznának be.

A spin a részecske nyugalmi rendszerében az impulzusmomentum. Ha a részecske spinje s, akkor hullámfüggvénye a nyugalmi rendszerben háromdimenziós 2s-ed rendű spinor. Tetszőleges vonatkoztatási rendszerben a hullámfüggvényt négydimenziós mennyiség formájában kell kifejezni.

A zérus spinű részecskét saját nyugalmi rendszerében háromdimenziós skalárral írjuk le. Ez a skalár különböző négydimenziós mennyiségekből „származhat”: lehet négydimenziós skalár, de lehet egy olyan ψμ (időszerű) négyesvektor ψ0 komponense is, amelynek másik három komponense a nyugalmi rendszerben eltűnik.[34]

A hullámegyenletben egyetlen operátor szerepelhet, ez a p négyesimpulzus operátora . Komponensei a hely és idő szerinti differenciálás operátorai:

2.3. egyenlet - (10,3)

pμ=iμ=(it,i).


A hullámegyenletnek differenciális kapcsolatot kell kifejeznie ψ és ψμ között; ez a p operátorral valósítható meg. A kapcsolatot természetesen relativisztikusan invariáns alakban kell felírni. A következő lehetőségek vannak:

2.4. egyenlet - (10,4)

mψμ=pμψ,pμψμ=mψ,


ahol m a részecskére jellemzőállandó.[35]

ψ μ-t az első egyenletből a másodikba helyettesítve, azt kapjuk, hogy

2.5. egyenlet - (10,5)

(p2m2)ψ=0


(O. Klein , V. Á. Fok , 1926). Az egyenlet más alakja:

2.6. egyenlet - (10,6)

μμψ2t2+Δψ=m2ψ.


A ψ (10,2)-beli síkhullám alakját behelyettesítve, p2=m2 adódik, tehát m a részecske tömege. Megjegyezzük, hogy az egyenlet (10,5)-beli alakja közvetlenül látható, mivel p2 az egyetlen skalár operátor, ami p-ből megalkotható (ugyanezen meggondolás szerint tetszőleges spinű részecske hullámfüggvényének minden komponense hasonló egyenletet elégít ki – erről a későbbiek során többször meggyőződhetünk).

A zérus spinű részecske leírására tehát egy (négydimenziós) ψ skalár elegendő, ez a (10,5) egyenletnek tesz eleget. A (10,4) elsőrendű egyenletekben ψ és ψμ együttesen játsszák a hullámfüggvény szerepét, a ψμ négyesvektor lényegében a ψ skalár négyesgradiense. A részecske nyugalmi rendszerében a hullámfüggvény nem függ a térkoordinátáktól, és ezért a ψμ négyesvektor térszerű komponensei eltűnnek.

A továbbiakban hasznos lesz, ha a részecske energiáját és impulzusát ψ és ψ∗ megfelelő bilineáris kombinációjának – ezeket tekintjük majd az energia és impulzus sűrűségének – térintegráljaként fejezzük ki. Más szavakkal, megalkotjuk a (10,5) egyenletnek megfelelő Tμν energia–impulzus-tenzort . E tenzor segítségével az energia és impulzus megmaradásának törvénye a következő alakban írható:

2.7. egyenlet - (10,7)

μTνμ=0.


A térelmélet általános előírásait követve (l. II. 32. §), a variációs elvet használjuk, amelyből a (10,5) egyenlet származtatható. A variációs elv követelménye, hogy az

2.8. egyenlet - (10,8)

S=Ld4x


„hatásintegrál” minimális legyen; L a tér Lagrange-függvényének sűrűsége[36], valós négyesskalár. A ψ skalár (és a ∂μ operátor) segítségével a következő valós bilineáris skalár kifejezés írható fel:

2.9. egyenlet - (10,9)

L=μψμψm2ψψ,


ahol mállandó. Ha ψ-t és ψ∗-ot független változóknak (a tér q„általános koordinátáinak”) tekintjük, akkor könnyen láthatjuk, hogy a Lagrange-egyenletek,

2.10. egyenlet - (10,10)

xμLq,μ=Lq


(q,μ≡∂μq) a ψ-re és ψ∗-ra felírt (10,5) egyenleteket adják, és m a részecske tömege. Megjegyezzük még, hogy a (10,9) bilineáris kifejezést úgy írtuk fel, hogy |∂ψ∕∂t|2 előjele pozitív legyen; ellenkező esetben a hatás nem lenne minimális (l. II. 27. §). L csak általános szorzótényező erejéig meghatározott (ezt a ψ hullámfüggvény normálása szabja meg; lásd alább).

Az energia–impulzus-tenzort a következő képlet adja:

2.11. egyenlet - (10,11)

Tμν=q,μLq,νLδμν


(az összegezés a qáltalános koordinátákra vonatkozik). (10,9)-et behelyettesítve kapjuk, hogy

2.12. egyenlet - (10,12)

Tμν=μψνψ+νψμψLgμν


(ezek a mennyiségek, ahogy azt el is várjuk, valósak, mivel L valós). Néhány komponens részletesen:

2.13. egyenlet - (10,13)

T00=2ψtψtL=ψtψt+ψψ+m2ψψ,


2.14. egyenlet - (10,14)

Ti0=ψtψxi+ψxiψt.


A tér négyesimpulzusa

2.15. egyenlet - (10,15)

Pμ=Tμ0d3x,


azaz T00és T0i az energia - és impulzussűrűség . Megjegyezzük, hogy T00 mindig pozitív.

(10,3) összefüggés felhasználható a hullámfüggvény normálására . Az „egységnyi térfogatban egy részecske” szerint normált síkhullám:

2.16. egyenlet - (10,16)

ψp=12𝜀eipx.


Ezt használva T00=ε, így az egységnyi térfogat energiája ténylegesen egy részecske energiájával egyenlő.

Az impulzusmomentum, melynek megmaradása a tér izotropiájával függ össze, szintén térintegrálként írható fel, az explicit alakra azonban a továbbiakban nem lesz szükségünk.

A tér–idő szimmetriával közvetlen összefüggésben levő megmaradási törvények mellett a (10,4) egyenletekből még egy megmaradási törvény következik. (10,4) (és a ψ∗-ra felírt hasonló egyenletek) alapján könnyen látható, hogy

2.17. egyenlet - (10,17)

μjμ=0,


ahol

2.18. egyenlet - (10,18)

jμ=m(ψψμ+ψμψ)=i[ψμψ(μψ)ψ].


Ebből látszik, hogy jμ az áramsűrűség négyesvektora . (10,17)éppen a kontinuitási egyenlet, ami a

2.19. egyenlet - (10,19)

Q=j0d3x


mennyiség megmaradását fejezi ki, ahol

j0=j0=i(ψ∗(∂ψ/∂t)–(∂ψ∗/∂t)ψ).

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy j0 nem pozitív definit mennyiség. Már ez a tény is arra mutat, hogy általános esetben j0-t nem értelmezhetjük a részecske térbeli lokalizációjának valószínűségsűrűségeként. A (10,17) egyenlettel kifejezett megmaradási törvény jelentését a következő szakaszban vizsgáljuk.



[32] A fotonok száma természetesen csak a különböző kölcsönhatások során változik.

[33] Az egyes részecskék energiáját ε-nal, a teljes rendszerét E-vel jelöljük.

[34] Lehetne magasabb rendű négyestenzor időszerű komponense is, ez azonban magasabb rendű egyenlethez vezetne.

[35] Az m állandót úgy vezettük be (10,4)-ben, hogy ψμ és ψ mértékegysége azonos legyen. Felesleges lenne különböző állandók (ml, m2) bevezetése, mert m1=m2 mindig elérhető ψ vagy ψμ definíciójának módosításával.

[36] Az L másodkvantált operátort a tér Lagrange-operátorának hívják. A terminológia egyszerűsítésére ezt fogjuk használni mind a „kvantált”, mind a „nemkvantált” Lagrange-függvény sűrűségre.