Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

9.§. A kétfotonos rendszer

9.§. A kétfotonos rendszer

6. §-beli megfontolásokhoz hasonló módon a bonyolultabb feladat, a két fotonból álló rendszer lehetséges állapotainak összeszámlálása is elvégezhető (L. Landau, 1948).

Tömegközépponti rendszerükben tekintjük a fotonokat; impulzusaikra a k1=–k2≡k összefüggés érvényes.[30] A kétfotonos rendszer hullámfüggvényét (impulzusreprezentációban) egy Aik(n) háromdimenziós, másodrendű tenzor alakjában állíthatjuk elő, amely a két foton vektorhullámfüggvénye komponenseinek bilineáris alakja; az indexek mindegyike valamelyik fotonhoz rendelhető (n a k irányú egységvektor). A fotonok transzverzalitását az Aik tenzor és az n vektor merőlegessége fejezi ki:

1.77. egyenlet - (9,1)

Ailnl=0,Alknl=0.


A fotonok kölcsönös felcserélése az Aik tenzor indexeinek és egyidejűleg n irányának megcserélését jelenti. Minthogy a fotonok Bose-statisztikát követnek, ezért

1.78. egyenlet - (9,2)

Aik(n)=Aki(n).


Az Aik tenzor indexeiben általában nem szimmetrikus. Bontsuk fel szimmetrikus (sik) és antiszimmetrikus (aik) részekre: Aik=sik+aik. A (9,2) összefüggést [és egyidejűleg a (9,1) ortogonalitási feltételt] nyilvánvalóan, mindkét tagnak külön-külön ki kell elégítenie. Ebből adódik, hogy

sik(–n) =sik(n), (9,3) aik(–n) =–aik(n). (9,4)

A koordináta-rendszer tükrözése nem változtatja meg a másodrendű tenzor komponenseinek előjelét, de megváltoztatja n-ét. Ezért (9,3)-ből látható, hogy az sik hullámfüggvény tükrözésre szimmetrikus, azaz a fotonok páros paritású állapotainak felel meg, míg az aik hullámfüggvény a páratlanokéinak.

Egy másodrendű antiszimmetrikus tenzor ekvivalens (duális) egy a axiális vektorral, melynek komponenseit a tenzoréval az ai=(1/2)eiklakl összefüggés révén fejezhetjük ki, ahol eikl az antiszimmetrikus egységtenzor (l. II. 6. §). Az akl tenzor és az n vektor merőlegessége következtében az a és n vektorok párhuzamosak.[31] Ezért írhatjuk, hogy a=nφ(n), ahol φ skalár; (9,4)szerint a(–n)=–a(n), ezért

φ(–n)=φ(n).

Ez az egyenlőség arra utal, hogy a φ skalárt a csak páros, L-edrendű gömbfüggvények lineáris kombinációjaként (ideértve a nulladik rendet is) állíthatjuk elő.

Látjuk, hogy az aik antiszimmetrikus tenzor (forgatással szemben mutatott) transzformációs tulajdonságai szerint egy skalármennyiséggel ekvivalens (l. az I. fejezet9. lábjegyzetét). Ehhez nulla „spint” rendelve, az állapot impulzusmomentumára J=L adódik. Tehát az aik tenzor páros J impulzusmomentumú és páratlan paritású kétfotonos állapotnak felel meg.

Vizsgáljuk a szimmetrikus sik tenzort. Minthogy n előjelváltásaival szemben páros, így páros paritású kétfotonos állapotnak felel meg. Ebből az is következik, hogy sik komponenseit páros rendű (L=2k) gömbfüggvényekkel fejezhetjük ki (L=0-t beleértve). Tetszőleges szimmetrikus másodrendű tenzor, mint ismeretes, egy skalárra (sii) és egy nulla nyomú sik′ szimmetrikus tenzorra (sii′=0) redukálható.

Az sii skalárhoz 0 „spint” rendelünk, így a megfelelő állapotok impulzusmomentuma J=L, azaz páros. Az sík tenzornak 2-es „spin” felel meg (l. III. 57. §). Az impulzusmomentum összeadásának szabályai szerint összerakva ezt a spint és a páros „pályamomentumot”, azt látjuk, hogy adott páros J≠0 esetén három állapot (L=J±2,J), páratlan J≠1 esetén két állapot (L=J±1) lehetséges. J=0-nak kivételként egy állapot felel meg (L=2) csakúgy, mint J=1-nek (L=2).

Az összeszámlálásnál azonban nem vettük még figyelembe, hogy sik merőleges az n vektorra. Így az állapotok eddigi számából le kell vonni az n-nel „párhuzamos” szimmetrikus másodrendű tenzornak megfelelő állapotok számát. Ezt a tenzort (jelöljük sik″-vel) a következő alakban írhatjuk:

sik″=nibk+nkbi,

ahol b valamely vektor. (9,3) szerint ez a vektor ki kell, hogy elégítse a b(–n)=–b(n) feltételt. Így a felesleges állapotokért felelős sik″ tenzor egy páratlan vektorral ekvivalens. Ennek következtében a vektort a páratlan L-edrendű gömbfüggvényekkel kell kifejeznünk. Minthogy a vektornak 1-es „spin” felel meg, látjuk, hogy páros J≠0 impulzusmomentumhoz két állapot tartozik (L=J±1), a páratlan J-khez 1 állapot (L=J); különleges esetként kezelendő J=0, melyhez csak 1 állapot tartozik (L=1).

Összeszedve a kapott eredményeket, a következő táblázatot kapjuk, amely a megengedett páros és páratlan kétfotonos (nulla összimpulzusú) állapotok számát tünteti fel a J teljes impulzusmomentum különböző értékeire:

1.79. egyenlet - (9,5)

JPárosPáratlan01112k212k+11


(k pozitív egész, nemzérus szám). Látjuk, hogy páratlan J esetén páratlanállapotok nem léteznek, és a J=1állapot pedig egyáltalán nem létezhet.

A kétfotonos rendszer Aik hullámfüggvénye a fotonok polarizációjának korrelációját is meghatározza. Annak valószínűsége, hogy a két foton egyidejűleg e1, ill. e2 polarizációval rendelkezzék, arányos az

Aike1i∗e2k∗

mennyiséggel. Más szavakkal, ha adott az egyik foton e1 polarizációja, akkor a másik foton polarizációja arányos lesz az e2 vektorral,

1.80. egyenlet - (9,6)

e2kAike1i.


A rendszer páratlan állapotaiban aik megegyezik az aik antiszimmetrikus tenzorral. Ekkor

e2e1∗∝aike1i∗e1k∗=0,

azaz a két foton polarizációja kölcsönösen merőleges egymásra. Lineáris polarizáció esetén ez irányuk merőlegességét jelenti, cirkuláris polarizáció esetén forgásirányuk ellentétességét.

A J=0 páros állapot egy skalárra redukálódó szimmetrikus tenzorral írható le,

sik=const⋅(δik–nink).

Ezért (9,6)-ból e1=e2∗-ra következtethetünk. Ez lineáris polarizáció esetén párhuzamos irányítottságot jelent, cirkuláris polarizáció esetén viszont újra csak a forgási irányok ellentétességét. Az utóbbi körülmény előre látható, minthogy J=0 esetén a fotonok impulzusmomentumainak egy adott k irányra vett vetületeit összegezve, az eredmény szükségszerűen nulla (az ellentétes k1 és k2 irányokra vett vetületek, a helicitások, természetesen egyenlőek).



[30] Ilyen vonatkoztatási rendszer mindig létezik, kivéve az egymással párhuzamosan, azonos irányban haladó fotonok esetét. Ekkor az eredő fotonimpulzus (k1+k2) és energia ω1+ω2 közötti kapcsolat ugyanaz, mint egyetlen fotonra, így nem létezik olyan rendszer, ahol k1+k2=0 összefüggés lenne érvényes.

[31] Ui. aik=eiklal, és az ortogonalitási feltétel szerint aiknk=eiklalnk=(n×a)i=0.