Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.
Typotex
Miután megállapítottuk a foton teljes impulzusmomentumának lehetséges értékeit, most meg kell adnunk az ezekhez tartozó hullámfüggvényeket.[20]
Először formálisan tekintjük a feladatot: határozzuk meg azokat a vektorfüggvényeket,
amelyek a és
operátorok sajátfüggvényei; de ne kössük ki előre, hogy ezek közül
melyek alkothatják a bennünket érdeklő foton-hullámfüggvényeket, és ne vegyük számításba
a transzverzalitási feltételt sem.
A függvényeket impulzusreprezentációban keressük. Ebben a reprezentációban a
koordináta operátora [l. III. (15,12)]. A pályamomentum operátora
ak azaz csak az cserében különbözik a koordinátareprezentációbeli alaktól. Így a
kitűzött feladat megoldása formailag mindkét reprezentációban azonos.
Jelöljük a keresett sajátfüggvényeket -mel, és nevezzük őket gömbi vektoroknak. Ezeknek a következő
egyenleteket kell kielégíteniük:
(a tengely előre megadott térbeli irány). Megmutatjuk, hogy tetszőleges,
alakú függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ahol
valamilyen, az
egységvektorból képzett vektor,
a szokásos (skalár) gömbfüggvényeket jelöli. Ez utóbbiak definíciója
III. 28. § alapján:
( az
irány gömbi polárszögei).[21]
A fenti állítás belátásához felidézzük a III. (29,4) felcserélési összefüggést:
Az egyenlőség jobb oldalát () alakban írhatjuk, ahol
az egységnyi spin operátora
[ezen operátor hatását egy vektorfüggvényre az
egyenlőség adja (l. III. 57. 2. feladat)]. Ezért
Ezt az egyenlőséget felhasználva adódik, hogy
Ebből következik, hogy
Minthogy az függvény az
és
operátorok sajátfüggvénye, és a hozzájuk tartozó sajátértékek rendre
és
, így éppen a (7,1) egyenletekre
jutunk.
Három lényegesen különböző típusú gömbi vektorra
juthatunk, ha vektorként a következő vektorokat választjuk:[22]
Így a gömbi vektorokat a következőképpen definiáljuk:
Minden hullámfüggvénnyel egy sorban feltüntettük párosságát is. A három gömbi vektor
kölcsönösen ortogonális, közülük longitudinális,
és
transzverzális az
irányhoz viszonyítva.
A gömbi vektorok kifejezhetők a skalár gömbfüggvényekkel . egyetlen,
rendű gömbfüggvénnyel, viszont
és
, az
rendű gömbfüggvényekkel fejezhető ki. Ez eleve világos, elegendő
a (7,4)-beli gömbi vektorok paritásait a vektortérnek a hullámfüggvényben található
gömbfüggvények rendjével kifejezett
paritásával összehasonlítani.
A gömbi vektorok páronként merőlegesek, és a következő egyenlettel normáltak:
Az vektorokra (7,5) nyilvánvaló az
gömbfüggvények normálása alapján. A
vektorokra a normaintegrál:
és minthogy , így (7,5)-re jutunk. Hasonló
integrálra vezethető vissza az
függvények normaintegrálja is.
Megjegyezzük, hogy a (7,4) vektorokhoz a (7,1) egyenlet fenti közvetlen megoldása nélkül is
eljuthattunk volna – pusztán a függvények alapvető transzformációs tulajdonságai
alapján. Ilyen megfontolások vezettek bennünket az előző szakaszban arra, hogy egy
alakú függvény
tejes impulzusmomentumú állapotnak felel meg, amely egyszerűen egyezik
azoknak a gömbfüggvényeknek a rendjével, amelyek
-t felépítik; így ha
-et választunk, akkor az
függvénynek egyúttal határozott
teljes impulzusmomentum-vetület értéke lesz. Ezzel azonnal megkapjuk
az
vektorokat. De a 6-beli
megfontolások, melyek a transzformációs tulajdonságokra vonatkoznak, nem változnak akkor
sem, ha az
tényezőt az
szorzatban
vektorra vagy
vektorra változtatjuk; így kapjuk a másik két típusú gömbi vektort.
Térjünk vissza a foton hullámfüggvényeihez. Az () elektromos típusú foton
esetében az
vektor paritása
kell, hogy legyen. Ilyen paritása van az
és
függvényeknek; közülük azonban csak az első elégíti ki a
transzverzalitási feltételt. Mágneses típusú
(
) fotonra az
vektor paritása
; ilyennel csak az
vektor rendelkezik. Ezért a foton határozott
momentumú és
vetületű (
energiájú) állapotainak hullámfüggvényei:
ahol helyén
vagy
írandó aszerint, hogy elektromos vagy mágneses típusú fotonról van-e
szó; az adott energiát a
tényező veszi figyelembe.
A (7,6) függvények a következőképpen normáltak:
A koordinátareprezentációbeli hullámfüggvényekre a (7,7) feltétel a következő alakú lesz:[23]
Valóban, a bal oldali integrált potenciálokkal kifejezve, a következő alakra
jutunk:
összefüggéseket behelyettesítve, a szerinti integrál adja a
függvényt, amelyet a
integrálás távolít el, és az integrál (7,7) alakú lesz.
Mindeddig a potenciálok háromdimenziós transzverzális mértékét tételeztük fel, amely
esetben a skalárpotenciál zérusnak választható. A különböző alkalmazásokban
kényelmesebb lehet a gömbhullámok másféle mérték melletti felírása. A megengedett
mértéktranszformáció
impulzusreprezentációbeli alakja a következő:
ahol tetszőleges függvény. Ezt a szóban forgó esetben válasszuk meg úgy,
hogy az új potenciálokat gömbfüggvényekkel fejezhessük ki, és azoknak – az előzőekhez
hasonlóan – határozott paritásuk legyen. Az elektromos típusú fotonra ezek a feltételek
a választást a következőképpen korlátozzák:
ahol tetszőleges állandó. Mágneses típusú foton esetén a fenti hozzáadás megszüntetné
határozott paritását, így arra a (7,6) választás egyértelmű.
Annak valószínűsége, hogy a határozott impulzusmomentumú és paritású fotont a
térszögelemben elhelyezkedő
irányban haladva észleljék, (3,5)
és (7,6) alapján
Itt a megfelelő kifejezést az típusú fotonra írtuk fel. Minthogy
,így a
valószínűségeloszlás mindkét típusú fotonra egyforma.
Az abszolút érték négyzet nem függ a
azimutszögtől (a gömbfüggvényekben levő
szorzók kiesnek). A
valószínűségeloszlás tehát szimmetrikus a
tengelyre. Minthogy továbbá a gömbi vektorok mindegyikének határozott
a paritása, így az abszolút érték négyzetek tükrözésre, azaz a
polárszög
-ra változtatására párosak; ez azt jelenti, hogy a
függvény Legendre-polinomok szerinti kifejtése csak a páros rendű
polinomokat tartalmazza. E kifejtés együtthatóinak meghatározása három gömbfüggvény
szorzata integráljának kiszámítására, továbbá a komponensek szerinti összegezésre vezet.
Ezt is, azt is a III. 107. §-109. §-okban kapott összefüggések segítségével végezhetjük
el, és így a következő eredményre jutunk:
Végül megadjuk a gömbi vektorok komponenseinek gömbharmonikusokkal való kifejezését. Itt a vektor „gömbi komponenseit” használjuk, melyeknek definíciója III. 107. § szerint a következő:
Ha bevezetjük a „cirkuláris bázisvektorokat”:
( az
,
,
tengelyek irányába eső bázisvektorok), akkor
A gömbi vektorok gömbi komponenseit a -szimbólumokkal és a gömbharmonikusokkal a következő képletek
segítségével fejezhetjük ki:
Ezeket a képleteket a következő módon lehet levezetni. Mindhárom gömbi vektor
alakú, ahol
a (7,3) vektorok valamelyike. Ezért
és így a feladat az vektorok pályamomentum-sajátfüggvények között vett mátrixelemeinek
meghatározására redukálódik. III. 106. § szerint ezekre
ahol . így elegendő az
redukált mátrixelemek nullától különböző elemeit ismerni. Ezekre a
következő összefüggések állnak fenn:
[20] Ezt a kérdést elsőként W. Heitler tárgyalta (1936). A megoldás itt közölt formáját Bereszteckij adta meg 1947-ben.
[21] A további hivatkozások kedvéért megjegyezzük, hogy esetén (
a
tengely irányába mutat) a függvények értéke:
[22] A operátor (
) csak az
iránytól függő függvényekre hat. Gömbi koordinátákban explicit
alakjának csak két összetevője van:
. A későbbiek során
-nel jelölendő operátor, amely a Laplace-operátor szögfüggő
részét jelöli, a következő:
.