Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

7.§. A fotonok gömbhullámai

7.§. A fotonok gömbhullámai

Miután megállapítottuk a foton teljes impulzusmomentumának lehetséges értékeit, most meg kell adnunk az ezekhez tartozó hullámfüggvényeket.[20]

Először formálisan tekintjük a feladatot: határozzuk meg azokat a vektorfüggvényeket, amelyek a j2 és jz operátorok sajátfüggvényei; de ne kössük ki előre, hogy ezek közül melyek alkothatják a bennünket érdeklő foton-hullámfüggvényeket, és ne vegyük számításba a transzverzalitási feltételt sem.

A függvényeket impulzusreprezentációban keressük. Ebben a reprezentációban a koordináta operátorar=i∂∕∂k [l. III. (15,12)]. A pályamomentum operátora

l=r×k=–ik×(∂/∂k),

ak azaz csak az r→k cserében különbözik a koordinátareprezentációbeli alaktól. Így a kitűzött feladat megoldása formailag mindkét reprezentációban azonos.

Jelöljük a keresett sajátfüggvényeket Yjm-mel, és nevezzük őket gömbi vektoroknak. Ezeknek a következő egyenleteket kell kielégíteniük:

1.42. egyenlet - (7,1)

j2Yjm=j(j+1)Yjm,jzYim=mYjm


(a z tengely előre megadott térbeli irány). Megmutatjuk, hogy tetszőleges, aYjm alakú függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ahol a valamilyen, az n=k∕ω egységvektorból képzett vektor, Yjm a szokásos (skalár) gömbfüggvényeket jelöli. Ez utóbbiak definíciója III. 28. § alapján:

1.43. egyenlet - (7,2)

Yim(n)=(1)m+|m|2il(2l+1)(l|m|)!4π(l+|m|)!Pl|m|(cos𝜃)eimφ


(,φ az n irány gömbi polárszögei).[21]

A fenti állítás belátásához felidézzük a III. (29,4) felcserélési összefüggést:

{li,ak}–=ieiklal.

Az egyenlőség jobb oldalát (–siak) alakban írhatjuk, ahol s az egységnyi spin operátora [ezen operátor hatását egy vektorfüggvényre az siak=–ieiklal egyenlőség adja (l. III. 57. 2. feladat)]. Ezért

liak–akli=–siak.

Ezt az egyenlőséget felhasználva adódik, hogy

jiak=(li+si)ak=akli.

Ebből következik, hogy

j2(aYjm)=al2Yjm, jz(aYjm)=alzYjm.

Minthogy az Yjm függvény az l2 és lz operátorok sajátfüggvénye, és a hozzájuk tartozó sajátértékek rendre j(j+1) és m, így éppen a (7,1) egyenletekre jutunk.

Három lényegesen különböző típusú gömbi vektorra juthatunk, ha a vektorként a következő vektorokat választjuk:[22]

1.44. egyenlet - (7,3)

nj(j+1),n+nj(j+1),n.


Így a gömbi vektorokat a következőképpen definiáljuk:

1.45. egyenlet - (7,4)

Yjm(e)=1j(j+1)nYjm,P=(1)j;Yjm(m)=n×Yjm(e),P=(1)j+1;Yjm(l)=nYjm,P=(1)j.


Minden hullámfüggvénnyel egy sorban feltüntettük párosságát is. A három gömbi vektor kölcsönösen ortogonális, közülük Yjm(l) longitudinális, Yjm(e) és Yjm(m) transzverzális az n irányhoz viszonyítva.

A gömbi vektorok kifejezhetők a skalár gömbfüggvényekkel . Yjm(m) egyetlen, l=j rendű gömbfüggvénnyel, viszont Yjm(e) és Yjm(l), az l=j±1 rendű gömbfüggvényekkel fejezhető ki. Ez eleve világos, elegendő a (7,4)-beli gömbi vektorok paritásait a vektortérnek a hullámfüggvényben található gömbfüggvények rendjével kifejezett (–1)l+1 paritásával összehasonlítani.

A gömbi vektorok páronként merőlegesek, és a következő egyenlettel normáltak:

1.46. egyenlet - (7,5)

YjmYjmdΩ=δjjδmm.


Az Yjm(l) vektorokra (7,5) nyilvánvaló az Yjm gömbfüggvények normálása alapján. A Yjm(e) vektorokra a normaintegrál:

(1/j(j+1))∫∇nYjm∇nYj′m′∗dΩ=–(1/j(j+1))∫yj′m′∗ΔnYjmdΩ,

és minthogy ΔnYjm=–j(j+1)Yjm, így (7,5)-re jutunk. Hasonló integrálra vezethető vissza az Yjm(m) függvények normaintegrálja is.

Megjegyezzük, hogy a (7,4) vektorokhoz a (7,1) egyenlet fenti közvetlen megoldása nélkül is eljuthattunk volna – pusztán a függvények alapvető transzformációs tulajdonságai alapján. Ilyen megfontolások vezettek bennünket az előző szakaszban arra, hogy egy nφ alakú függvény j tejes impulzusmomentumú állapotnak felel meg, amely egyszerűen egyezik azoknak a gömbfüggvényeknek a rendjével, amelyek φ-t felépítik; így ha φ=Yjm-et választunk, akkor az nφ függvénynek egyúttal határozott m teljes impulzusmomentum-vetület értéke lesz. Ezzel azonnal megkapjuk az Yjm(l) vektorokat. De a 6-beli megfontolások, melyek a transzformációs tulajdonságokra vonatkoznak, nem változnak akkor sem, ha az n tényezőt az nφ szorzatban ∇n vektorra vagy n×∇n vektorra változtatjuk; így kapjuk a másik két típusú gömbi vektort.

Térjünk vissza a foton hullámfüggvényeihez. Az (Ej) elektromos típusú foton esetében az A(k) vektor paritása(–1)j kell, hogy legyen. Ilyen paritása van az Yjm(e) és Yjm(l) függvényeknek; közülük azonban csak az első elégíti ki a transzverzalitási feltételt. Mágneses típusú (Mj) fotonra az A(k) vektor paritása (–1)j+1; ilyennel csak az Yjm(m) vektor rendelkezik. Ezért a foton határozott j momentumú és m vetületű (ω energiájú) állapotainak hullámfüggvényei:

1.47. egyenlet - (7,6)

Aωjm(k)=4π2ω32δ(|k|ω)Yjm(n),


ahol Yjm helyén Yjm(e) vagy Yjm(m)írandó aszerint, hogy elektromos vagy mágneses típusú fotonról van-e szó; az adott energiát a δ(|k|–ω) tényező veszi figyelembe.

(7,6) függvények a következőképpen normáltak:

1.48. egyenlet - (7,7)

1(2π)4ωωAωjm(k)Aωjm(k)d3k=ωδ(ωω)δjjδmm.


A koordinátareprezentációbeli hullámfüggvényekre a (7,7) feltétel a következő alakú lesz:[23]

1.49. egyenlet - (7,8)

14π{Eωjm(r)Eωjm(r)+Hωjm(r)Hωjm(r)}d3x=ωδ(ωω)δjjδmm.


Valóban, a bal oldali integrált potenciálokkal kifejezve, a következő alakra jutunk:

(1/2π)∫Aω′j′m′∗(r)Aωjm∗(r)ω′ωd+3x.

Ide az

1.50. egyenlet - (7,9)

Aωjm(r)=Aωjm(k)eikrd3k(2π)3,Aωjm(r)=Aωjm(k)eikrd3k(2π)3(7,9)


összefüggéseket behelyettesítve, a d3x szerinti integrál adja a (2π)3δ(k′–k) függvényt, amelyet a d3k integrálás távolít el, és az integrál (7,7) alakú lesz.

Mindeddig a potenciálok háromdimenziós transzverzális mértékét tételeztük fel, amely esetben a φ skalárpotenciál zérusnak választható. A különböző alkalmazásokban kényelmesebb lehet a gömbhullámok másféle mérték melletti felírása. A megengedett mértéktranszformáció impulzusreprezentációbeli alakja a következő:

A→A+nf(k), φ→φ+f(k),

ahol f(k) tetszőleges függvény. Ezt a szóban forgó esetben válasszuk meg úgy, hogy az új potenciálokat gömbfüggvényekkel fejezhessük ki, és azoknak – az előzőekhez hasonlóan – határozott paritásuk legyen. Az elektromos típusú fotonra ezek a feltételek a választást a következőképpen korlátozzák:

1.51. egyenlet - (7,10)

Aωjm(e)(k)=4π2ω32δ(|k|ω)(Yjm(e)+CnYjm),φωjm(e)(k)=4π2ω32δ(|k|ω)CYjm,(7,10)


ahol C tetszőleges állandó. Mágneses típusú foton esetén a fenti hozzáadás megszüntetnéA(m)(k) határozott paritását, így arra a (7,6) választás egyértelmű.

Annak valószínűsége, hogy a határozott impulzusmomentumú és paritású fotont a dΩ térszögelemben elhelyezkedő n irányban haladva észleljék, (3,5) és (7,6) alapján

1.52. egyenlet - (7,11)

w(n)dΩ=|Yjm(e)(n)|2dΩ.


Itt a megfelelő kifejezést az E típusú fotonra írtuk fel. Minthogy |Yjm(m)|2=|Yjm(e)|2,így a w(n) valószínűségeloszlás mindkét típusú fotonra egyforma.

Az |Yjm(e)|2 abszolút érték négyzet nem függ a φ azimutszögtől (a gömbfüggvényekben levő e±imφ szorzók kiesnek). A w(n) valószínűségeloszlás tehát szimmetrikus a z tengelyre. Minthogy továbbá a gömbi vektorok mindegyikének határozott a paritása, így az abszolút érték négyzetek tükrözésre, azaz a polárszög (π–)-ra változtatására párosak; ez azt jelenti, hogy a w() függvény Legendre-polinomok szerinti kifejtése csak a páros rendű polinomokat tartalmazza. E kifejtés együtthatóinak meghatározása három gömbfüggvény szorzata integráljának kiszámítására, továbbá a komponensek szerinti összegezésre vezet. Ezt is, azt is a III. 107. §-109. §-okban kapott összefüggések segítségével végezhetjük el, és így a következő eredményre jutunk:

1.53. egyenlet - (7,12)

w(𝜃)=(1)j+1(2j+1)324πn=0(4n+1)jj2n000jj1jj2nP2n(cos𝜃).


Végül megadjuk a gömbi vektorok komponenseinek gömbharmonikusokkal való kifejezését. Itt a vektor „gömbi komponenseit” használjuk, melyeknek definíciója III. 107. § szerint a következő:

1.54. egyenlet - (7,13)

f0=ifz,f+1=i2(fx+ify),f1=i2(fxify).


Ha bevezetjük a „cirkuláris bázisvektorokat”:

1.55. egyenlet - (7,14)

e(1)=ie(z),e(+1)=i2(e(x)+ie(y)),e(1)=i2(e(x)ie(y))


(e(x,y,z) az x, y, z tengelyek irányába eső bázisvektorok), akkor

1.56. egyenlet - (7,15)

f=λ(1)1λfλe(λ),fλ=(1)1λfe(λ)=fe(λ).


A gömbi vektorok gömbi komponenseit a 3j-szimbólumokkal és a gömbharmonikusokkal a következő képletek segítségével fejezhetjük ki:

1.57. egyenlet - (7,16)

(1)j+m+λ+1(Yjm(e))λ=jj+11jm+λλmYj+1,m+λ++j+1j11jm+λλmYj1,m+λ,(1)j+m+λ+1(Yjm(m))λ=2j+1j1jm+λλmYj,m+λ,(1)j+m+λ+1(Yjm(l))λ=j+1j+11jm+λλmYj+1,m+λ++jj11jm+λλmYj1,m+λ.(7,16)


Ezeket a képleteket a következő módon lehet levezetni. Mindhárom gömbi vektor Yjm=aYjm alakú, ahol a(7,3) vektorok valamelyike. Ezért

Yjm=∑lm′⟨lm′∣a∣jm⟩Ylm′,

és így a feladat az a vektorok pályamomentum-sajátfüggvények között vett mátrixelemeinek meghatározására redukálódik. III. 106. § szerint ezekre

⟨lm′∣aλ∣jm⟩=i(–1)jmax–m′(l 1 j / –m′λm)⟨l∥a∥j⟩,

ahol jmax=max(l,j). így elegendő az ⟨l∥a∥j⟩ redukált mátrixelemek nullától különböző elemeit ismerni. Ezekre a következő összefüggések állnak fenn:

1.58. egyenlet - (7,17)

l1nl=lnl1=il,lnl1=i(l1)l,l1nl=i(l+1)l,ln×nl=il(l+1)(2l+1).(7,17)




[20] Ezt a kérdést elsőként W. Heitler tárgyalta (1936). A megoldás itt közölt formáját Bereszteckij adta meg 1947-ben.

[21] A további hivatkozások kedvéért megjegyezzük, hogy =0 esetén (n a z tengely irányába mutat) a függvények értéke: Yim(nz)=il√((2l+1/4π))δm0. (7,2a)

[22] A ∇n operátor (∇n≡|k|∇k) csak az n iránytól függő függvényekre hat. Gömbi koordinátákban explicit alakjának csak két összetevője van: ∇n=((∂/∂),(1/sin)(∂/∂φ)). A későbbiek során Δn-nel jelölendő operátor, amely a Laplace-operátor szögfüggő részét jelöli, a következő: Δn=(1/sin)(∂/∂)sin(∂/∂)+(1/sin2)(∂2/∂φ2).

[23] Ez a feltétel (2,22)-vel azonos jellegű. A δ(ω′–ω) tényező megjelenése a jobb oldalon azzal kapcsolatos, hogy itt (gömbhullám lévén) a teljes, végtelen teret kitöltő állapotot vizsgáljuk a véges V=1 térfogat helyett.