ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

Beágyazás

7.§. A fotonok gömbhullámai

Miután megállapítottuk a foton teljes impulzusmomentumának lehetséges értékeit, most meg kell adnunk az ezekhez tartozó hullámfüggvényeket.^[20]

Először formálisan tekintjük a feladatot: határozzuk meg azokat a vektorfüggvényeket, amelyek a és operátorok sajátfüggvényei; de ne kössük ki előre, hogy ezek közül melyek alkothatják a bennünket érdeklő foton-hullámfüggvényeket, és ne vegyük számításba a transzverzalitási feltételt sem.

A függvényeket impulzusreprezentációban keressük. Ebben a reprezentációban a koordináta operátora r=i∂∕∂k [l. III. (15,12)]. A pályamomentum operátora

ak azaz csak az r→k cserében különbözik a koordinátareprezentációbeli alaktól. Így a kitűzött feladat megoldása formailag mindkét reprezentációban azonos.

Jelöljük a keresett sajátfüggvényeket Yjm -mel, és nevezzük őket gömbi vektoroknak. Ezeknek a következő egyenleteket kell kielégíteniük:

1.42. egyenlet - (7,1)

j^{2} Y_{j m} = j (j + 1) Y_{j m}, j_{z} Y_{i m} = m Y_{j m}

(a tengely előre megadott térbeli irány). Megmutatjuk, hogy tetszőleges, aYjm alakú függvény rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, ahol valamilyen, az n=k∕ω egységvektorból képzett vektor, Yjm a szokásos (skalár) gömbfüggvényeket jelöli. Ez utóbbiak definíciója III. 28. § alapján:

1.43. egyenlet - (7,2)

Y_{i m} (n) = {(- 1)}^{\frac{m + | m |}{2}} i^{l} \sqrt{\frac{(2 l + 1) (l - | m |)!}{4 π (l + | m |)!}} P_{l}^{| m |} (cos 𝜃) e^{i m φ}

( az irány gömbi polárszögei).^[21]

A fenti állítás belátásához felidézzük a III. (29,4) felcserélési összefüggést:

Az egyenlőség jobb oldalát ( –siak ) alakban írhatjuk, ahol az egységnyi spin operátora [ezen operátor hatását egy vektorfüggvényre az siak=–ieiklal egyenlőség adja (l. III. 57. 2. feladat)]. Ezért

Ezt az egyenlőséget felhasználva adódik, hogy

Ebből következik, hogy

Minthogy az Yjm függvény az és operátorok sajátfüggvénye, és a hozzájuk tartozó sajátértékek rendre j(j+1) és , így éppen a (7,1) egyenletekre jutunk.

Három lényegesen különböző típusú gömbi vektorra juthatunk, ha vektorként a következő vektorokat választjuk:^[22]

1.44. egyenlet - (7,3)

\frac{\nabla_{n}}{\sqrt{j (j + 1)}}, \frac{n + \nabla_{n}}{\sqrt{j (j + 1)}}, n .

Így a gömbi vektorokat a következőképpen definiáljuk:

1.45. egyenlet - (7,4)

\begin{aligned} Y_{j m}^{(e)} & = \frac{1}{\sqrt{j (j + 1)}} \nabla_{n} Y_{j m}, & P = {(- 1)}^{j}; \\ Y_{j m}^{(m)} & = n \times Y_{j m}^{(e)}, & P = {(- 1)}^{j + 1}; \\ Y_{j m}^{(l)} & = n Y_{j m}, & P = {(- 1)}^{j} . \end{aligned}

Minden hullámfüggvénnyel egy sorban feltüntettük párosságát is. A három gömbi vektor kölcsönösen ortogonális, közülük Yjm(l) longitudinális, Yjm(e) és Yjm(m) transzverzális az irányhoz viszonyítva.

A gömbi vektorok kifejezhetők a skalár gömbfüggvényekkel . Yjm(m) egyetlen, l=j rendű gömbfüggvénnyel, viszont Yjm(e) és Yjm(l) , az l=j±1 rendű gömbfüggvényekkel fejezhető ki. Ez eleve világos, elegendő a (7,4)-beli gömbi vektorok paritásait a vektortérnek a hullámfüggvényben található gömbfüggvények rendjével kifejezett (–1)l+1 paritásával összehasonlítani.

A gömbi vektorok páronként merőlegesek, és a következő egyenlettel normáltak:

1.46. egyenlet - (7,5)

\int Y_{j m} Y_{j^{'} m^{'}}^{*} d Ω = δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}} .

Az Yjm(l) vektorokra (7,5) nyilvánvaló az Yjm gömbfüggvények normálása alapján. A Yjm(e) vektorokra a normaintegrál:

(1/j(j+1))∫∇nYjm∇nYj′m′∗dΩ=–(1/j(j+1))∫yj′m′∗ΔnYjmdΩ,

és minthogy ΔnYjm=–j(j+1)Yjm , így (7,5)-re jutunk. Hasonló integrálra vezethető vissza az Yjm(m) függvények normaintegrálja is.

Megjegyezzük, hogy a (7,4) vektorokhoz a (7,1) egyenlet fenti közvetlen megoldása nélkül is eljuthattunk volna – pusztán a függvények alapvető transzformációs tulajdonságai alapján. Ilyen megfontolások vezettek bennünket az előző szakaszban arra, hogy egy alakú függvény tejes impulzusmomentumú állapotnak felel meg, amely egyszerűen egyezik azoknak a gömbfüggvényeknek a rendjével, amelyek -t felépítik; így ha φ=Yjm -et választunk, akkor az függvénynek egyúttal határozott teljes impulzusmomentum-vetület értéke lesz. Ezzel azonnal megkapjuk az Yjm(l) vektorokat. De a 6-beli megfontolások, melyek a transzformációs tulajdonságokra vonatkoznak, nem változnak akkor sem, ha az tényezőt az szorzatban vektorra vagy n×∇n vektorra változtatjuk; így kapjuk a másik két típusú gömbi vektort.

Térjünk vissza a foton hullámfüggvényeihez. Az () elektromos típusú foton esetében az A(k) vektor paritása (–1)j kell, hogy legyen. Ilyen paritása van az Yjm(e) és Yjm(l) függvényeknek; közülük azonban csak az első elégíti ki a transzverzalitási feltételt. Mágneses típusú () fotonra az A(k) vektor paritása (–1)j+1 ; ilyennel csak az Yjm(m) vektor rendelkezik. Ezért a foton határozott momentumú és vetületű ( energiájú) állapotainak hullámfüggvényei:

1.47. egyenlet - (7,6)

A_{ω j m} (k) = \frac{4 π^{2}}{ω^{3 ∕ 2}} δ (| k | - ω) Y_{j m} (n),

ahol Yjm helyén Yjm(e) vagy Yjm(m) írandó aszerint, hogy elektromos vagy mágneses típusú fotonról van-e szó; az adott energiát a δ(|k|–ω) tényező veszi figyelembe.

A (7,6) függvények a következőképpen normáltak:

1.48. egyenlet - (7,7)

\frac{1}{{(2 π)}^{4}} \int ω ω^{'} A_{ω^{'} j^{'} m^{'}}^{*} (k) A_{} ω j m (k) d^{3} k = ω δ (ω^{'} - ω) δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}} .

A koordinátareprezentációbeli hullámfüggvényekre a (7,7) feltétel a következő alakú lesz:^[23]

1.49. egyenlet - (7,8)

\frac{1}{4 π} \int {E_{ω^{'} j^{'} m^{'}}^{*} (r) E_{ω j m} (r) + H_{ω^{'} j^{'} m^{'}}^{*} (r) H_{ω j m} (r)} d^{3} x = ω δ (ω^{'} - ω) δ_{j j^{'}} δ_{m m^{'}} .

Valóban, a bal oldali integrált potenciálokkal kifejezve, a következő alakra jutunk:

Ide az

1.50. egyenlet - (7,9)

\begin{matrix} \begin{aligned} A_{ω j m} (r) & = \int A_{ω j m} (k) e^{i k r} \frac{d^{3} k}{{(2 π)}^{3}}, \\ A_{ω^{'} j^{'} m^{'}}^{*} (r) & = \int A_{ω^{'} j^{'} m^{'}}^{*} (k^{'}) e^{- i k^{'} r} \frac{d^{3} k^{'}}{{(2 π)}^{3}} \end{aligned} & (7,9) \end{matrix}

összefüggéseket behelyettesítve, a d3x szerinti integrál adja a (2π)3δ(k′–k) függvényt, amelyet a d3k integrálás távolít el, és az integrál (7,7) alakú lesz.

Mindeddig a potenciálok háromdimenziós transzverzális mértékét tételeztük fel, amely esetben a skalárpotenciál zérusnak választható. A különböző alkalmazásokban kényelmesebb lehet a gömbhullámok másféle mérték melletti felírása. A megengedett mértéktranszformáció impulzusreprezentációbeli alakja a következő:

ahol f(k) tetszőleges függvény. Ezt a szóban forgó esetben válasszuk meg úgy, hogy az új potenciálokat gömbfüggvényekkel fejezhessük ki, és azoknak – az előzőekhez hasonlóan – határozott paritásuk legyen. Az elektromos típusú fotonra ezek a feltételek a választást a következőképpen korlátozzák:

1.51. egyenlet - (7,10)

\begin{matrix} \begin{aligned} A_{ω j m}^{(e)} (k) & = \frac{4 π^{2}}{ω^{3 ∕ 2}} δ (| k | - ω) (Y_{j m}^{(e)} + C n Y_{j m}), \\ φ_{ω j m}^{(e)} (k) & = \frac{4 π^{2}}{ω^{3 ∕ 2}} δ (| k | - ω) C Y_{j m}, \end{aligned} & (7,10) \end{matrix}

ahol tetszőleges állandó. Mágneses típusú foton esetén a fenti hozzáadás megszüntetné A(m)(k) határozott paritását, így arra a (7,6) választás egyértelmű.

Annak valószínűsége, hogy a határozott impulzusmomentumú és paritású fotont a térszögelemben elhelyezkedő irányban haladva észleljék, (3,5) és (7,6) alapján

1.52. egyenlet - (7,11)

w (n) d Ω = | Y_{j m}^{(e)} (n) |^{2} d Ω .

Itt a megfelelő kifejezést az típusú fotonra írtuk fel. Minthogy |Yjm(m)|2=|Yjm(e)|2 ,így a w(n) valószínűségeloszlás mindkét típusú fotonra egyforma.

Az |Yjm(e)|2 abszolút érték négyzet nem függ a azimutszögtől (a gömbfüggvényekben levő e±imφ szorzók kiesnek). A w(n) valószínűségeloszlás tehát szimmetrikus a tengelyre. Minthogy továbbá a gömbi vektorok mindegyikének határozott a paritása, így az abszolút érték négyzetek tükrözésre, azaz a polárszög (π–) -ra változtatására párosak; ez azt jelenti, hogy a w() függvény Legendre-polinomok szerinti kifejtése csak a páros rendű polinomokat tartalmazza. E kifejtés együtthatóinak meghatározása három gömbfüggvény szorzata integráljának kiszámítására, továbbá a komponensek szerinti összegezésre vezet. Ezt is, azt is a III. 107. §-109. §-okban kapott összefüggések segítségével végezhetjük el, és így a következő eredményre jutunk:

1.53. egyenlet - (7,12)

w (𝜃) = {(- 1)}^{j + 1} \frac{{(2 j + 1)}^{3 ∕ 2}}{4 π} \sum_{n = 0}^{\infty} (4 n + 1) (\begin{matrix} j & j & 2 n \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \{\begin{matrix} j & j & 1 \\ j & j & 2 n \end{matrix}\} P_{2 n} (cos 𝜃) .

Végül megadjuk a gömbi vektorok komponenseinek gömbharmonikusokkal való kifejezését. Itt a vektor „gömbi komponenseit” használjuk, melyeknek definíciója III. 107. § szerint a következő:

1.54. egyenlet - (7,13)

f_{0} = i f_{z}, f_{+ 1} = - \frac{i}{\sqrt{2}} (f_{x} + i f_{y}), f_{- 1} = \frac{i}{\sqrt{2}} (f_{x} - i f_{y}) .

Ha bevezetjük a „cirkuláris bázisvektorokat”:

1.55. egyenlet - (7,14)

e^{(1)} = i e^{(z)}, e^{(+ 1)} = - \frac{i}{\sqrt{2}} (e^{(x)} + i e^{(y)}), e^{(- 1)} = \frac{i}{\sqrt{2}} (e^{(x)} - i e^{(y)})

( e(x,y,z) az , , tengelyek irányába eső bázisvektorok), akkor

1.56. egyenlet - (7,15)

f = \sum_{λ} {(- 1)}^{1 - λ} f_{- λ} e^{(λ)}, f_{λ} = {(- 1)}^{1 - λ} f e^{{(- λ)}^{*}} = f e^{(λ)} .

A gömbi vektorok gömbi komponenseit a -szimbólumokkal és a gömbharmonikusokkal a következő képletek segítségével fejezhetjük ki:

1.57. egyenlet - (7,16)

\begin{matrix} \begin{aligned} {(- 1)}^{j + m + λ + 1} {(Y_{j m}^{(e)})}_{λ} & = - \sqrt{j} (\begin{matrix} j + 1 & 1 & j \\ m + λ & - λ & - m \end{matrix}) Y_{j + 1, m + λ} + \\ + \sqrt{j + 1} (\begin{matrix} j - 1 & 1 & j \\ m + λ & - λ & - m \end{matrix}) Y_{j - 1, m + λ}, \\ {(- 1)}^{j + m + λ + 1} {(Y_{j m}^{(m)})}_{λ} & = - \sqrt{2 j + 1} (\begin{matrix} j & 1 & j \\ m + λ & - λ & - m \end{matrix}) Y_{j, m + λ}, \\ {(- 1)}^{j + m + λ + 1} {(Y_{j m}^{(l)})}_{λ} & = - \sqrt{j + 1} (\begin{matrix} j + 1 & 1 & j \\ m + λ & - λ & - m \end{matrix}) Y_{j + 1, m + λ} + \\ + \sqrt{j} (\begin{matrix} j - 1 & 1 & j \\ m + λ & - λ & - m \end{matrix}) Y_{j - 1, m + λ} . \end{aligned} & (7,16) \end{matrix}

Ezeket a képleteket a következő módon lehet levezetni. Mindhárom gömbi vektor Yjm=aYjm alakú, ahol a (7,3) vektorok valamelyike. Ezért

és így a feladat az vektorok pályamomentum-sajátfüggvények között vett mátrixelemeinek meghatározására redukálódik. III. 106. § szerint ezekre

⟨lm′∣aλ∣jm⟩=i(–1)jmax–m′(l 1 j / –m′λm)⟨l∥a∥j⟩,

ahol jmax=max(l,j) . így elegendő az ⟨l∥a∥j⟩ redukált mátrixelemek nullától különböző elemeit ismerni. Ezekre a következő összefüggések állnak fenn:

1.58. egyenlet - (7,17)

\begin{matrix} \begin{aligned} ⟨ l - 1 ∥ n ∥ l ⟩ & = {⟨ l ∥ n ∥ l - 1 ⟩}^{*} = i \sqrt{l}, \\ ⟨ l ∥ \nabla_{n} ∥ l - 1 ⟩ & = i (l - 1) \sqrt{l}, \\ ⟨ l - 1 ∥ \nabla_{n} ∥ l ⟩ & = i (l + 1) \sqrt{l}, \\ ⟨ l ∥ n \times \nabla_{n} ∥ l ⟩ & = i \sqrt{l (l + 1) (2 l + 1)} . \end{aligned} & (7,17) \end{matrix}

^[20]Ezt a kérdést elsőként W. Heitler tárgyalta (1936). A megoldás itt közölt formáját Bereszteckij adta meg 1947-ben.

^[21]A további hivatkozások kedvéért megjegyezzük, hogy esetén ( a tengely irányába mutat) a függvények értéke: Yim(nz)=il√((2l+1/4π))δm0. (7,2a)

^[22]A operátor ( ∇n≡|k|∇k ) csak az iránytól függő függvényekre hat. Gömbi koordinátákban explicit alakjának csak két összetevője van: ∇n=((∂/∂),(1/sin)(∂/∂φ)) . A későbbiek során -nel jelölendő operátor, amely a Laplace-operátor szögfüggő részét jelöli, a következő: Δn=(1/sin)(∂/∂)sin(∂/∂)+(1/sin2)(∂2/∂φ2) .

^[23]Ez a feltétel (2,22)-vel azonos jellegű. A δ(ω′–ω) tényező megjelenése a jobb oldalon azzal kapcsolatos, hogy itt (gömbhullám lévén) a teljes, végtelen teret kitöltő állapotot vizsgáljuk a véges V=1 térfogat helyett.