Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

6.§. A foton impulzusmomentuma és paritása

6.§. A foton impulzusmomentuma és paritása

Mint minden részecskének, a fotonnak is lehet határozott impulzusmomentuma. Hogy megvilágítsuk e mennyiség tulajdonságait a foton esetében, emlékezetbe idézzük, milyen összefüggés van a részecske hullámfüggvényének tulajdonságai és impulzusmomentuma között a kvantummechanika matematikai apparátusában.

A részecske j teljes momentuma az l pálya- és az s sajátmomentumból (spinből) adódik össze. Az s spinű részecske hullámfüggvénye 2s-edrendű szimmetrikus tenzor, azaz 2s+1 komponens halmazát jelenti, melyek a koordináta-rendszer elforgatásai során meghatározott módon transzformálódnak egymásba. A pályamomentum a hullámfüggvény helyfüggésével kapcsolható össze: az l pályamomentumú állapotoknak olyan hullámfüggvények felelnek meg, amelyeknek komponensei l-edrendű gömbfüggvények lineáris kombinációjaként állíthatók elő.

A spin- és pályamomentum következetes megkülönböztetése megköveteli a hullámfüggvény „spin”- és „koordináta”-tulajdonságainak függetlenségét: a spinorkomponensek koordinátafüggését (adott időpillanatban) nem korlátozhatja semmiféle mellékfeltétel.

Impulzusreprezentációban a hullámfüggvény koordinátafüggésének a k impulzustól való függés felel meg. A foton hullámfüggvénye (a háromdimenziós transzverzális mérték használata esetén) az A(k) vektor. A vektor egy másodrendű spinorral ekvivalens, így a fotonhoz s=1 spin rendelhető. De a vektorhullámfüggvény kielégíti a kA(k)=0 transzverzalitási mellékfeltételt , tehát az impulzusfüggés adott időpillanatban nem lehet tetszőleges a vektor minden komponensére, ami miatt lehetetlen a spin- és a pályamomentum szétválasztása.

Megjegyezzük, hogy a foton esetében nem alkalmazható a spinnek az a definíciója sem, amely szerint az a nyugvó részecske teljes impulzusmomentumával lenne egyenlő, minthogy a fénysebességgel haladó fotonra nem létezik nyugalmi rendszer.

Így csak a foton teljes impulzusmomentumáról beszélhetünk. Eleve nyilvánvaló, hogy ez csak egész értékeket vehet fel. Ez abból is következik, hogy a fotont jellemző mennyiségek között egyetlen páratlan rendű spinor sem szerepel.

Mint minden részecskének, a foton állapotait szintén paritásukkal is jellemezzük, amely a hullámfüggvény viselkedését adja meg a koordináta-rendszer tükrözése során (l. III. 30. §). Impulzusreprezentációban a koordináta előjelének megváltozása k összes komponensének előjelváltását eredményezi. A tükrözés P operátorának hatása egy skalár φ(k) függvényre csak ebben a változásban nyilvánul meg: Pφ(k)=φ(–k). A vektorfüggvényre való hatásnál figyelembe kell még venni, hogy a tengelyek irányváltása a vektor összes komponensének előjelét megváltoztatja; ezért[16]

1.40. egyenlet - (6,1)

PA(k)=A(k).


Bár a foton teljes impulzusmomentumának spinre és pályamomentumra való felbontása fizikailag tartalmatlan, mégis kényelmes formálisan bevezetni az s „spin” és az l „pályamomentum” segédfogalmakat, amelyek a hullámfüggvény forgatással szembeni viselkedését jellemzik: az s=1 érték a hullámfüggvény vektorjellegének felel meg, l pedig a kifejtésében jelen levő gömbfüggvények rendje. Itt a határozott impulzusmomentumú fotonállapotok hullámfüggvényeit vettük figyelembe, melyek szabad részecske esetén gömbhullámok. Az l szám ekkor egyidejűleg meghatározza a fotonállapot paritását is, amely

1.41. egyenlet - (6,2)

P=(1)l+1


Ebben az értelemben a teljes impulzusmomentum j operátora előállítható az s+l összeg alakjában. Az impulzusmomentum operátora, mint ismeretes, a koordinátarendszer infmitezimális elforgatásának operátorával kapcsolatos; az adott esetben ennek az operátornak a vektortérre kifejtett hatásával. Az s+l összegben az s operátor a vektori indexekre hat, a vektor különböző komponenseit egymásba transzformálja. Az l operátor ezekre a komponensekre mint az impulzus (vagy koordináták) függvényeire hat.

Határozzuk meg azoknak az (adott energiájú) állapotoknak a számát, amelyek adott j impulzusmomentum esetén létrejöhetnek [eltekintve a momentum irányítása szerinti triviális (2j+1)-szeres elfajulástól].

Független l és s esetén ezt egyszerűen az adja meg, hogy hányféle módon lehet a vektormodell szerint l–et és s-et úgy összeadni, hogy éppen a kívánt j értéket kapjuk. Az s=1 spinű részecskére így (j adott, nem nulla értéke esetén) három állapot adódik l és P következő értékeivel:

l=j, P=(–1)l+1=(–1)j+1; l=j±1, P=(–1)l+1=(–1)j.

Ha j=0, akkor csak egy állapotot kapunk (l=1), melynek paritása P=+1.

Ebben az összeszámolásban azonban A transzverzalitását még nem vettük figyelembe; mindhárom vektorkomponenst mint függetlent tekintettük. Ezért a kapott értékből le kell még vonnunk a longitudinális vektornak megfelelő állapotok számát. Ezt a vektort kφ(k) alakban írhatjuk, és így látjuk, hogy transzformációs tulajdonságai (forgatások szempontjából) egy skalár φ-vel ekvivalensek.[17] Következésképpen azt mondhatjuk, hogy a transzverzalitási feltétellel összeférhetetlen, felesleges állapot egy skalár hullámfüggvényű részecskének felel meg (nulladrendű spinor) , azaz amelynek „spinje” 0.[18] Ebben az állapotban a j impulzusmomentum értéke így egybeesik a φ-ben megjelenő gömbfüggvények rendjével. Az állapot paritását a P tükrözésoperátornak a kφ vektorfüggvényre gyakorolt hatása határozza meg:

P(kφ)=–(–k)φ(–k)=(–1)jkφ(k),

azaz (–1)j-nel egyenlő. így a fenti (–1)j paritású állapotok számából (kettő j≠0, egy j=0 esetén) egyet le kell vonnunk.

Végül tehát azt az eredményt kapjuk, hogy nullától különböző j impulzusmomentum esetén a fotonnak egy páros és egy páratlan állapota létezik. j=0 esetén nem kapunk egyetlen állapotot sem. Ez azt jelenti, hogy a foton teljes momentuma nem lehet nulla, j csak az 1,2,3,… értékeket futhatja be. A j=0 érték meg nem valósíthatósága eleve nyilvánvaló, minthogy a nulla momentumú állapot hullámfüggvénye gömbszimmetrikus kell, hogy legyen, amely transzverzális hullám esetén közismerten lehetetlen.

A foton különböző állapotaira a következő terminológia elfogadott. A j impulzusmomentumú (–1)j paritású fotont elektromos2j-pólusnak (vagy Ej-fotonnak ) hívjuk, míg a (–1)j+1 paritásúakat mágneses2j-pólusoknak (vagy Mj-fotonoknak) . Így az elektromos dipólusfotonnakj=1-es páratlan állapot, az elektromos kvadrupólusnak j=2-es páros, a mágneses dipólusnakj=1-es páros állapot felel meg.[19]



[16] Az állapot paritását aszerint határozzuk meg, hogy mi a tükrözés operátorának hatása az olyan poláris vektorokra, mint amilyen A (vagy a megfelelő elektromos vektor E=iωA). Ez előjelben különbözik a H=ik×A axiális vektorra kifejtett hatástól, minthogy a tükrözés az utóbbi irányát nem változtatja meg: PH(k)=H(k).

[17] Valójában, amikor egy mennyiség forgás során mutatott transzformációs tulajdonságairól beszélünk, akkor adott pontbeli, azaz fix k esetén vett transzformációról van szó. Így a transzformáció során kφ(k) általában nem változik, tehát skalárként viselkedik.

[18] Nem lehet elégszer hangsúlyozni, hogy itt nem valamiféle létező részecske állapotát tekintjük. A végrehajtott összeszámlálás formális jellegű, és végeredményben matematikailag az egymásba transzformálódó mennyiségek halmazának a forgáscsoport irreducibilis ábrázolásai szerinti osztályozását adja.

[19] Ezek az elnevezések a klasszikus sugárzáselmélet terminológiájával egybehangzóak: a továbbiakban látni fogjuk ( 4647), hogy az elektromos és mágneses típusú fotonok kisugárzását a töltésrendszer megfelelő elektromos és mágneses momentumai határozzák meg.