Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

5.§. Az elektromágneses tér a kvantumelméletben

5.§. Az elektromágneses tér a kvantumelméletben

Az elektromágneses tér kvantumelméletbeli fizikai jelentésének egyedül a fotonok halmazával történő leírás felel meg. Ez lép a klasszikus térerősségekkel való leírás helyére. Ezek a fotonkép apparátusában mint a második kvantálás operátorai lépnek fel.

Mint ismeretes, a kvantumrendszerek viselkedése akkor közelítőleg klasszikus, mikor a stacionárius állapotokat jellemző kvantumszámok nagyok. Szabad (adott térfogatbeli) elektromágneses tér esetén ez azt jelenti, hogy az oszcillátorok kvantumszámainak , azaz az Nkα fotonszámoknak nagyoknak kell lenniük. Ezért mély jelentése van annak, hogy a fotonok Bose-statisztikával írhatók le. Az elmélet matematikai formalizmusában a Bose-statisztika és a klasszikus tér tulajdonságainak kapcsolata a ckα és ckα+ operátorok felcserélési szabályaiban nyilvánul meg. Nagy Nkα értékek esetén, mikor az operátorok mátrixelemei nagyok, a (2,16) felcserélési reláció jobb oldalán az egységet elhanyagolhatjuk, és így a

ckαckα+≈ckα+ckα

összefüggésre jutunk, azaz az operátorok felcserélhetők egymással csakúgy, mint a klasszikus térerősségeket meghatározó ckα és ckα∗ mennyiségek.

A tér kváziklasszikus jellege még további pontosításra szorul. Ha ugyanis az összes Nkα szám nagy, akkor a kα állapotokra való összegezés során a térenergia végtelenné válik, azaz a feltétel így értelmetlen.

A fizikailag átgondolt kérdésfeltevés, amely a kváziklasszikus jelleg feltételeire vonatkozik, a térerősség értékeinek egy kis Δt időtartamra vett átlagát vizsgálja. Ha a klasszikus elektromos teret, E-t (vagy a mágneseset, H-t) Fourier-kifejtés formájában adjuk meg, akkor a Δt időre való átlagolásakor az Ē középértékhez lényeges járulékot csak azok a Fourier-komponensek adnak, amelyek frekvenciái eleget tesznek az ωΔt≲1 feltételnek; ellenkező esetben az e–iωt oszcilláló szorzótényező átlagoláskor lényegében nullát ad. Ezért a kváziklasszikus viselkedés feltételeinek vizsgálata során csak azokat a kvantumoszcillátorokat kell tekintetbe venni, amelyeknek frekvenciájára ω≲1∕Δt teljesül. Elegendő megkövetelni, hogy ezeknek az oszcillátoroknak a kvantumszámai legyenek nagyok.

Azoknak az oszcillátoroknak a száma, amelyeknek frekvenciája 0 és ω∼1∕Δt közé esik (V=1 térfogatra vonatkoztatva) nagyságrendileg[15]:

1.38. egyenlet - (5,1)

ωc31(cΔt)3.


Egységnyi térfogat teljes energiája ∼Ē2. Ha ezt a mennyiséget az oszcillátorok számával és a foton átlagos energiájával (∼ℏω) elosztjuk, akkor megkapjuk a fotonok számának nagyságrendjét ,

Nk∼(Ē2c3/ℏω4).

Ha ezt a számot nagynak követeljük meg, akkor a következő egyenlőtlenségre jutunk:

1.39. egyenlet - (5,2)

|E|c(cΔt)2.


Ez az a keresett feltétel, amely a Δt időre átlagolt tér leírására a klasszikus közelítés jogosságát korlátozza. Láthatjuk, hogy a térnek annál intenzívebbnek kell lennie, minél rövidebb a Δt intervallum. Változó terekre ez az időtartam nyilván kisebb kell, hogy legyen a tér változását jellemző időtartamnál. Így az elég gyenge terek semmi esetre sem kváziklasszikusak. Csak sztatikus (időbenállandó) terekre lehet Δt→∞-t venni, mikor is (5,2) jobb oldala nulla lesz, azaz a sztatikus tér mindig klasszikus.

Mint megmutattuk, az elektromágneses tér klasszikus síkhullámok szuperpozíciójaként való előállítását a kvantumelméletben operátorkifejezésként kell tekinteni. Ezeknek az operátoroknak a fizikai jelentése azonban erősen korlátozott. Például egy fizikailag konzekvens térerősség-operátor sajátértéke a foton–vákuum állapotban nulla kellene, hogy legyen. Ugyanakkor az E2 téroperátor-négyzet átlagértéke az alapállapotban konstans szorzótényező erejéig megegyezik a rendszer nullponti energiájával, tehát végtelennek adódik („átlagértéken” kvantummechanikai átlagot , azaz az operátor megfelelő diagonális elemét értjük). Ezt a körülményt még valamely formális levonási művelet segítségével sem lehet kiküszöbölni, mivel ehhez az E és H operátorokat (és nem a négyzeteiket) kellene újra definiálni, ami nem lehetséges. Így a szokványos kvantummechanikával szemben a kvantumelektrodinamikai operátorok nem feleltethetők meg semmiféle értelmes fizikai mennyiségnek.



[15] Ebben a szakaszban a szokásos egységekkel dolgozunk.