Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

4.§. Mértékinvariancia

4.§. Mértékinvariancia

Mint ismeretes, a klasszikus elektrodinamikai potenciálok megválasztása nem egyértelmű: az Aμ négyespotenciál komponenseit tetszőleges mérték- (avagy gradiens-) transzformációnak vethetjük alá, amely

1.32. egyenlet - (4,1)

AμAμ+μχ


alakú, ahol χ a koordináták és az idő tetszőleges függvénye (l. II. 18. §).

Síkhullámok esetében a potenciál alakját [azaz az exp(–ikμxμ) tényezővel való azonosságot] változatlanul hagyó transzformációkra szorítkozva, a fenti határozatlanság oda vezet, hogy az amplitúdóhoz egy kμ-vel arányos tetszőleges négyesvektort adhatunk.

A potenciál megválasztásabeli határozatlanság megmarad a kvantumelméletben is – melyet vagy a téroperátorok, vagy a hullámfüggvények megválasztása tükröz. Ha nem korlátozzák előre a potenciálok megválasztását, akkor (2,17) helyett az Aμ négyespotenciál-operátorra kell analóg kifejtést felírni:

1.33. egyenlet - (4,2)

Aμ=kα(akαAkαμ+ckα+Akαμ),


ahol az Akαμ hullámfüggvények négyesvektorok, alakjuk:

Akμ=√(4π)(eμ/√(2ω))e–ikνxν, eμeμ∗=–1,

vagy a rövidebb írásmód kedvéért elhagyva a vektorindexeket:

1.34. egyenlet - (4,3)

Ak=4πe2ωeikx,ee=1,


Itt a kμ=(ω,k) négyesimpulzus (és kx=ωt–kr), e pedig a polarizáció négyes egységvektora .[14]

Ha a (4,3) függvény téridőfüggését változatlanul hagyó mértéktranszformációkra korlátozódunk, akkor ezek a következőben foglalhatók össze:

1.35. egyenlet - (4,4)

eμeμ+χkμ,


ahol χ=χ(kμ) tetszőleges függvény. A polarizáció transzverzalitása mindig lehetővé teszi olyan mérték választását, amelyben az e négyesvektor alakja a következő:

1.36. egyenlet - (4,5)

eμ=(0,e),ek=0


(ezt háromdimenziós transzverzális mértéknek nevezzük). Kovariáns alakban ezt az

1.37. egyenlet - (4,6)

ek=0


négydimenziós transzverzalitási feltétel fejezi ki.

Vegyük észre, hogy ez a feltétel (csakúgy mint az ee∗=–1 normálási feltétel) invariáns a (4,4) transzformációval szemben, minthogy k2=0. Másrészt az, hogy a részecske négyesimpulzusának négyzete nulla, azt jelenti, hogy a részecske tömege zérus. Így világos a mértékinvariancia és a foton nulla tömege közötti kapcsolat (e kapcsolat más vonatkozásaira a 14-ban mutatunk majd rá).

A folyamatban részt vevő fotonok hullámfüggvényének mértéktranszformációja során egyetlen fizikailag mérhető mennyiség értéke sem változhat. A mértékinvariancia e követelménye nagyobb szerepet játszik a kvantumelektrodinamikában, mint a klasszikusban. Nagyszámú példán mutatjuk majd be, hogy ez a követelmény a relativisztikus invarianciával együtt, nagy hatású heurisztikus elvként jelenik meg.

Az elmélet mértékinvarianciája másrészt szorosan kapcsolódik az elektromos töltés megmaradási törvényéhez; ezt a 43-ban taglaljuk.

Már az előző szakaszban emlékeztettünk arra, hogy a foton koordinátatérbeli hullámfüggvénye nem kezelhető úgy, mint annak térbeli lokalizációját leíró valószínűségi amplitúdó . Matematikai szemszögből ez úgy jelentkezik, hogy lehetetlen a hullámfüggvényből olyan mennyiséget alkotni, amely pusztán formai tulajdonságai alapján valószínűségsűrűségként szerepelhetne. Ilyen mennyiséget Aμ-ből és komplex konjugáltjából, Aμ∗-ból alkotott pozitív definit bilineáris alakban kellene kifejeznünk. Emellett a Lorentz-transzformációval szemben meghatározott transzformációs tulajdonságokat kell mutatnia; egy négyesvektor negyedik komponensének kell lennie (a részecskeszám megmaradását kifejező kontinuitási egyenlet négydimenziós alakja ugyanis mint az áram-négyesvektor divergenciamentessége fejezhető ki; ennek időkomponense a részecske lokalizációjának valószínűségsűrűsége, (l. II. 29. §)). Másrészt a mértékinvariancia követelménye szerint az áram kifejezésében az Aμ négyesvektor csak az Aμν=∂μAν–∂νAμ=–i(kμAν–kνAμ) antiszimmetrikus tenzor formájában fordulhat elő. Tehát az áram-négyesvektort és Fμν és Fμν∗ bilineáris alakjaként kell előállítani (szerepelhet benne még a kμ négyesvektor). Ilyen négyesvektor azonban nem létezik, mivel minden, a fenti követelményeket kielégítő kifejezés (pl. kλFμν∗Fλν) a transzverzalitás követelménye alapján azonosan nulla, arról már nem is beszélve, hogy nem lenne pozitív definit sem, mivel kμ páratlan hatványait tartalmazná.



[14] (4,3) kifejezés nem teljesen relativisztikusan kovariáns, aminek oka az, hogy a V=1 véges térfogatra való normálás nem invariáns. E körülménynek azonban nincs elvi jelentősége, és a vele járó előnyök teljesen ellensúlyozzák ezt a hátrányát. A továbbiakban látni fogjuk, hogy a mérhető fizikai mennyiségeket automatikusan és igen egyszerűen a szükséges relativisztikusan invariáns formában fejezhetjük ki.