Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

3.§. Fotonok

3.§. Fotonok

Elemezzük a térkvantálás imént kapott formuláit.

Mindenekelőtt a tér energiáját adó (2,12) képlet okoz nehézséget. A legalacsonyabb energiájú állapothoz az Nkα számok nulla értéke tartozik (ezt az elektromágneses tér vákuumállapotának hívják). Ám még ebben az állapotban is minden oszcillátor ω∕2 energiával rendelkezik. Ha összegezünk a végtelen számú oszcillátorra, akkor a vákuum energiája végtelennek adódik. Így a jelenlegi elmélet logikai zártságának hiányából következő „divergenciák” egyikébe ütközünk.

Míg csak a térenergia sajátértékeivel foglalkozunk, ezt a nehézséget a nullpontrezgések egyszerű levonásával[10] győzhetjük le, azaz a tér energiájára és impulzusára egyszerűen azt írhatjuk, hogy

1.27. egyenlet - (3,1)

E=kαNkαω,P=kαk.


Ezek a képletek lehetővé teszik, hogy bevezessük az egész elektrodinamika egyik legalapvetőbb fogalmát: a fénykvantumokét , avagy a fotonokét.[11] Konkrétan, a szabad elektromágneses teret olyan részecskék halmazának tekinthetjük, amelyek mindegyikének ω(=ℏω) energiája és k(=nℏω∕c) impulzusa van. A foton impulzusa és energiája közötti kapcsolat egyezik azzal, amely a relativisztikus mechanika szerint egy nulla nyugalmi tömegű, fénysebességgel haladó részre jellemző. Az Nkα betöltési szám az adott k impulzusú és e(α) polarizációjú fotonok számaként interpretálható. A foton polarizációjának fogalma hasonló a más részekre bevezetett spin fogalmához (a foton speciális sajátságait ebből a szempontból később, a 6-ban vizsgáljuk).

Könnyen belátható, hogy az előző szakaszban kifejlesztett egész matematikai formalizmus – teljes összhangban az elektromágneses térről mint fotonok halmazáról alkotott elképzeléssel – nem más, mint a fotonok rendszerére alkalmazva a másodkvantálás módszere.[12] E módszerben (l. III. 64. §) a független változók szerepét az állapotok betöltési számai játsszák, az operátorok e számok függvényeire hatnak. A „keltő” és az „eltüntető” operátorok alapvető jelentőségűek: rendre egységgel növelik, ill. csökkentik a betöltési számokat. A ckα+ és ckα operátorok éppen ilyenek: a ckα+ operátor „kelt” egy kα állapotú fotont, a ckα, „eltüntet” egyet.

(2,16) felcserélési szabály a Bose-statisztikát követő részekre érvényes. így a fotonok bozonok, amint ezt a korábbiak alapján várhattuk: a fotonok tetszőleges számban előfordulhatnak tetszőleges állapotban (erre még az 5-ban visszatérünk.)

Az Akα síkhullámok (2,26), melyek az A operátor (2,17) kifejtésében fordulnak elő a „fotoneltüntető” operátorok előtt, azoknak a fotonoknak a hullámfüggvényeiként kezelhetők, amelyeknek k impulzusuk és e(α) polarizációjuk van. Ez a tárgyalásmód a ψ-operátor, a részecske stacioner állapotai szerinti kifejtésének felel meg a nemrelativisztikus másodkvantálási módszerben [azonban ez utóbbitól eltér annyiban hogy (2,17) felbontásban az eltüntető operátorok mellett a részecskekeltők is jelen vannak; e különbség jelentését a továbbiakban a 12-ban világítjuk meg].

(2,26) hullámfüggvényt az

1.28. egyenlet - (3,2)

14π(|Ekα|2+|Hkα|2)d3x=ω


képlet normálja. Ez a „V térfogatban 1 foton” előírásnak felel meg. Valójában a bal oldali integrál az adott hullámfüggvényű foton energiájának kvantummechanikai várhatóértékét adja [ez az interpretáció nyilvánvaló a Hamilton-függvény (2,23) első sora szerinti alakjából].[13](3,2) egyenlőség jobb oldalán 1 foton energiája áll.

A „Schrödinger-egyenlet” szerepét a foton esetében a Maxwell-egyenletek játsszák. Ez esetben [a (2,1) feltételt kielégítő A(r,t) potenciálra] a hullámegyenlet :

(∂2A/∂t2)–ΔA=0.

A foton tetszőleges stacioner állapotát leíró általános „hullámfüggvények” ennek az egyenletnek komplex megoldásai, amelyeknek időfüggését az e–iωt tényező írja le.

Még egyszer aláhúzzuk, hogy a foton hullámfüggvényét nem szabad a foton térbeli lokalizációjának valószínűségi amplitúdójaként értelmezni – ellentétben a nemrelativisztikus kvantummechanikával, ahol ez a hullámfüggvény alapvető jelentése. Ez azzal kapcsolatos, hogy (mint azt az 1-ban megmutattuk) a foton koordinátájának egyszerűen nincs fizikai tartalma. E körülmény matematikai vonatkozásaihoz a következő szakasz végén visszatérünk.

Az A(r,t) függvény koordináták szerinti Fourier-transzformáltjának komponensei a foton impulzusreprezentációbeli hullámfüggvényeit adják; ezeket A(r,t)=A(k)e–iωt jelöléssel látjuk el. Így a határozott k impulzusú és e(α) polarizációjú foton hullámfüggvényét impulzusreprezentációban egyszerűen a (2,26)-beli exponenciális tényező együtthatója adja:

1.29. egyenlet - (3,3)

Akα(k,α)=4πe(α)2ωδkkδαα.


A szabad rész impulzusa mérhetőségének megfelelően, az impulzusreprezentációbeli hullámfüggvénynek mélyebb fizikai jelentése van: ennek révén kiszámítható az a wkα valószínűség, amely adott állapotbeli különböző impulzusok és polarizációk előfordulására vonatkozik. A kvantummechanika általános szabályainak megfelelően, wkα-t megkapjuk, ha tekintjük az A(k′) függvény adott k-val és e(α)-val rendelkező állapotok hullámfüggvényei szerinti kifejtésben az együtthatók abszolút értékeinek négyzetét:

wkα∝|∑k′α′Akα∗(k′,α′)A(k′)|2

(az arányossági tényezőt a függvény normálása befolyásolja). Ide behelyettesítve (3,3)-at,

1.30. egyenlet - (3,4)

wkα|e(α)A(k)|2


adódik. A két polarizációra összegezve, a k impulzusú foton jelenlétének valószínűségét kapjuk meg az A(k)állapotban:

1.31. egyenlet - (3,5)

wk|A(k)|2.




[10] Ezt a levonást formai szemszögből ellentmondásmentesen végezhetjük el, ha megegyezésszerűen a (2,10)-beli operátorok szorzatát „normál”-szorzatoknak tekintjük, azaz olyanoknak, amelyekben a c+ operátorok mindig a c operátoroktól balra helyezkednek el. A (2,23) képlet ekkor a H=∑kαωckα+ckα alakot ölti.

[11] A fotonelképzelést elsőként A. Einstein vezette be 1905-ben.

[12] A másodkvantálás módszerét a sugárzási térre elsőként P. A. M. Dirac alkalmazta 1927-ben.

[13] Figyeljük meg, hogy a (3,2) integrálban előforduló 1∕4π együttható kétszerese a (2,10)-beli együtthatónak. Az eltérés végső soron az Ekα és Hkα vektorok komplex voltából következik, az E és H operátorok valósak.