Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA IV. - Relativisztikus kvantumelmélet

Pitajevszki L.P., Landau L.D., Lifsic E.M.

Typotex

1. fejezet - I. FEJEZET A FOTON

1. fejezet - I. FEJEZET A FOTON

2.§. A szabad elektromágneses tér kvantálása

Mivel az elektromágneses teret mint kvantumos objektumot kívánjuk vizsgálni, célszerű a tér olyan klasszikus leírásából kiindulni, amelyben azt bár végtelen sok, de mégis diszkrét változósorozat jellemzi; az ilyen leírás a kvantummechanika fegyvertárának közvetlen alkalmazását teszi lehetővé. Az elektromágneses térnek a tér minden pontjában megadott potenciálok segítségével való leírása lényegét tekintve folytonos változósokaságot használó módszer.

Legyen A(r,t) a szabad elektromágneses teret jellemző vektorpotenciál, amely a

1.1. egyenlet - (2,1)

divA=0


„transzverzalitási feltételt” kielégíti. A skalárpotenciált φ=0-nak választjuk,így az Eés H terek az

1.2. egyenlet - (2,2)

E=Ȧ,H= rotA


összefüggésekből számolhatók. A Maxwell-egyenletek ekkor a

1.3. egyenlet - (2,3)

ΔA2At2=0


hullámegyenletre vezetnek.

Mint ismeretes (l. II. 52. §), a klasszikus elektrodinamikában a tér leírása diszkrét változók sorozatával valamely nagy, de véges V térfogatra való korlátozódás révén válik lehetségessé.[9] Most emlékeztetünk ennek menetére, a részleteket azonban elhagyjuk. A véges térfogatban a teret haladó síkhullámokra bonthatjuk fel, így a potenciál a következő sor alakjában írható:

1.4. egyenlet - (2,4)

A=k(akeikr+akeikr),


ahol az ak együtthatók

1.5. egyenlet - (2,5)

akeiωt,ω=|k|


módon függenek az időtől. A (2,1) feltétel miatt az ak komplex vektorok merőlegesek a megfelelő hullámvektorokra: akk=0.

(2,4)-beli összegezést a hullámvektorok (azok három komponense kx,ky,kz) végtelen diszkrét halmazán kell elvégezni. A folytonos k-eloszláson vett integrálra való áttérést úgy valósíthatjuk meg, hogy a

(d3k/(2π)3)

kifejezést beírjuk a k-tér d3k=dkxdkydkz térfogatelemében levő megengedett k értékek számának helyére.

Az ak vektorok megadása teljesen meghatározza a teret a tekintett térfogatban. Így ezeket a mennyiségeket a klasszikus „térváltozók” diszkrét halmazaként tekinthetjük. Hogy azonban a kvantumelméletre való áttérést kellően megvilágítsuk, e változókon még bizonyos transzformációt kell végrehajtanunk, melynek eredményeként a téregyenletek a klasszikus mechanika kanonikus (Hamilton-féle) egyenletével analóg alakot öltenek. A tér kanonikus változóit a következő összefüggések definiálják:

1.6. egyenlet - (2,6)

Qk=11π(ak+ak),Pk=iω4π(akak)=Q̇k(2,6)


(ezek nyilvánvalóan valósak). E kanonikus változókkal a vektorpotenciál kifejezése a következő:

1.7. egyenlet - (2,7)

A=4πkQkcoskr1ωPksinkr.


A Hamilton-függvény megadásához ki kell számítanunk a tér teljes

(1/8π)∫(E2+H2) d3x

energiáját a Qk és a Pk mennyiségekkel kifejezve. A-t a (2,7) felbontásban megadva, E-t és H-t (2,2) szerint kiszámítva, és elvégezve az integrálást, azt kapjuk, hogy

H=(1/2)∑k(Pk2+ω2Qk2).

Minthogy mind Pk, mind Qk merőleges k-ra, így két-két független komponensünk van. E vektorok iránya a hullám polarizációjának irányát is meghatározza. A Pk és Qk vektorok (k irányára merőleges síkban fekvő) két komponensét Pkα-val és Qkα-val (α=1,2) jelölve a Hamilton-függvény a

1.8. egyenlet - (2,8)

H=kα12(Pkα2+ω2Qkα2)


alakban írható.

Így a Hamilton-függvény olyan független tagok összegére bomlik fel, melyek közül mindegyik csak egy Qkα,Pkα párt tartalmaz. Mindegyikük meghatározott hullámvektorú és polarizációjú haladó hullámnak felel meg, és alakilag a harmonikus oszcillátor Hamilton-függvényével egyezik meg. Ezért ezt a felbontást a tér oszcillátorokra való felbontásának hívják.

Térjünk rá a szabad elektromágneses tér kvantálására . A tér leírásának fent kifejtett módszere alapján nyilvánvalóvá vált a kvantumelméletre való áttérés módja. Tekintsük az általánosított Qka koordinátákat és az általánosított Pkα impulzusokat – a klasszikus kanonikus változókat – mint operátorokat, melyekre a

1.9. egyenlet - (2,9)

PkαQkαQkαPkα=i


felcserélési relációérvényes (a különbözőkα indexű operátorok mind felcserélhetők egymással). Egyidejűleg (2,9) révén az A potenciál és (2,2) miatt azEés H térerősségek is operátorokká váltak.

A Hamilton-operátor következetes definíciója megköveteli, hogy a

1.10. egyenlet - (2,10)

H=18π(E2+H2)d3x


integrált újból kiszámítsuk, E-t és H-t Pkα-val és Qkα-val kifejezve. Ezek fel nem cserélhetősége azonban nem jelenik meg, mivel a QkαPkα tényezőkcoskrsinkr együtthatót kapnak, melyeknek a térfogatra vett integrálja nulla. Így a Hamilton-operátor kifejezése

1.11. egyenlet - (2,11)

H=kα12(Pkα2+ω2Qkα2)


lesz, amely pontosan megegyezik a klasszikus Hamilton-függvénnyel, amint azt várni lehetett.

A fenti operátor sajátértékeinek meghatározása nem igényel külön számításokat, mivel visszavezethető a lineáris oszcillátorok energiaszintjei meghatározásának ismert feladatára (l. III. 23. §). Ezért a tér energiaszintjeire azonnal írhatjuk, hogy

1.12. egyenlet - (2,12)

E=kαNkα+12ω,


ahol Nkα egész szám.

(2,12) összefüggés vizsgálatára a következő szakaszban még visszatérünk, itt csak közöljük a Qkα mátrixelemeit, melyeket az oszcillátor koordinátájának ismert mátrixelemei révén (l. III. 23. §) azonnal lehet tudni. A nullától különböző elemek:

1.13. egyenlet - (2,13)

NkαQkαNkα1=Nkα1QkαNkα=Nkα2ω.


Pkα=Q̇kα mátrixelemei csak a ±iω szorzóban térnek el Qkα-éitől.

A további számításokban a Qkα,Pkα mennyiségek helyett kényelmesebb lesz lineáris kombinációkkal, nevezetesen ωQkαpmiPkα-val számolni, melyeknek csak az Nkα→Nkα±1 átmenetekre vannak nullától különböző mátrixelemeik. Ennek megfelelően bevezetjük a

1.14. egyenlet - (2,14)

ckα=12ω(ωQkα+iPkα),ckα+=12ω(ωQkαiPkα)


operátorokat [a ckαés ckα∗ klasszikus mennyiségek egy √(2π∕ω) szorzó erejéig a (2,4)-beli akαés akα∗ együtthatókkal egyeznek meg]. Ezeknek az operátoroknak a mátrixelemei:

1.15. egyenlet - (2,15)

Nkα1ckαNkα=Nkαckα+Nkα1=Nkα.


A ckαés ckα+ felcserélési szabálya(2,14) definíciók és a (2,9) szabály segítségével adódik:

1.16. egyenlet - (2,16)

ckαckα+ckα+ckα=1.


A vektorpotenciálban visszatérünk a (2,4) típusú kifejtésekhez, azonban az együtthatók itt operátorok lesznek:

1.17. egyenlet - (2,17)

A=kα(ckαAkα+ckα+Akα),


ahol

1.18. egyenlet - (2,18)

Akα=4πe(α)2ωeikr.


Azokra az egységvektorokra , amelyek az oszcillátorok polarizációjának irányát mutatják, bevezettük az e(α) jelölést, az e(α) vektorok merőlegesek ak hullámvektorra ; minden k-ra két független polarizáció lehetséges.

Hasonló módon E és H operátoraira is írható, hogy

1.19. egyenlet - (2,19)

E=kα(ckαEkα+ckα+Ekα),H=kα(ckαHkα+ckα+Hkα),(2,19)


ahol

1.20. egyenlet - (2,20)

Ekα=iωAkα,Hkα=n×Ekα,(n=kω).


Az Akα vektorok kölcsönösen merőlegesek az

1.21. egyenlet - (2,21)

AkαAkαd3x=2πωδααδkk


összefüggés értelmében. Valóban, ha Akαés Ak′α′ hullámvektorai különbözőek, akkor szorzatuk tartalmazza az ei(k–k′)r tényezőt, amely a térfogatra integrálva nullát ad; ha a hullámok csak polarizációs vektoraikban térnek el, akkor is nulla lesz járulékuk, mivel e(α)e(α′)∗=0, a független polarizációs irányok merőlegessége miatt. Hasonlóösszefüggésekérvényesek az Ekαés Hkα vektorokra. Ezek normálását a következő alakban vonhatjuk össze:

1.22. egyenlet - (2,22)

14π(EkαEkα+HkαHkα)d3x=ωδkkδαα.


(2,19) operátorait (2,10)-be behelyettesítve és (2,22) segítségével elvégezve az integrálást, megkapjuk a tér Hamilton-operátorát a ckα és ckα+ operátorokkal kifejezve:

1.23. egyenlet - (2,23)

H=kα12(ckαckα++ckα+ckα)14π(|Ekα|2+|Hkα|2)d3x=kα12ω(ckαckα++ckα+ckα).


Az operátor ebben a reprezentációban (a (2,15)-beli cés c+ operátorokéban) diagonális, és sajátértékei természetesen a (2,12)-beli sajátértékspektrummal egyeznek meg.

A klasszikus elméletben a térimpulzust a

P=(1/4π)∫(E×H) d3x

integrál határozza meg. A kvantumelméletre való áttéréskor, melyet E-nek és H-nak a  (2,19) operátor-összefüggéssel történő helyettesítése valósít meg, könnyen kapjuk, hogy

1.24. egyenlet - (2,24)

P=kα12(Pkα2+ω2Qkα2)n,


jó egyezésben a síkhullámok energiája és impulzusa közötti klasszikusösszefüggéssel. Ennek az operátornak a sajátértékei:

1.25. egyenlet - (2,25)

P=kαkNkα+12.


(2,15) mátrixelemekkel megvalósított operátor-reprezentáció, amelynek neve „betöltési szám reprezentáció ”, megfelel annak, hogy a rendszer (a tér) állapotát az Nkα számokkal (a betöltési számokkal ) írjuk le. E reprezentációban a (2,19) operátorok (és velük a (2,11) Hamilton-operátor) az Nkα független változóktól függő hullámfüggvényre hatnak, melyet φ(Nkα,t)-vel jelölünk. A (2,19) téroperátorok nem függnek explicit módon az időtől. Ez a nemrelativisztikus kvantummechanikában az operátorok Schrödinger-reprezentációjának felel meg. A φ(Nkα,t) állapot lesz időfüggő, és ezt az időfüggést a Schrödinger-egyenlet határozza meg:

i(∂φ/∂t)=Hφ.

Ez a térleírás lényegében relativisztikusan invariáns, amennyiben a relativisztikusan invariáns Maxwell-egyenleteken alapul. De ez az invariancia nem jelenik meg explicit módon, elsősorban azért, mert a leírásban a térkoordináták és az idő aszimmetrikusak.

A relativisztikus elméletben célszerűnek látszik formailag is invariáns leírást alkalmazni. Erre a célra a Heisenberg-reprezentációt kell használni, amelyben az explicit időfüggést az operátorokra hárítjuk át (l. III. 13. §). Ekkor az idő- és a térkoordináták egyenrangúan szerepelnek a téroperátorokban, és a rendszer φ állapota csak a betöltési számoktól függ.

Az A operátor esetében a Heisenberg-reprezentációra való áttérést úgy végezhetjük, hogy a (2,17)-beli összeg minden tagjában az eikr tényezőt ei(kr–ωt)-vel helyettesítjük, azaz Akα időfüggő lesz,

1.26. egyenlet - (2,26)

Akα=4πe(α)2ωei(ωtkr).


Erről könnyen meggyőződhetünk, ha észrevesszük, hogy az i→fátmenetnél a Heisenberg-operátor mátrixelemeexp{–i(Ei–Ef)t} szorzót tartalmaz, ahol Eiés Ef a kezdeti és végsőállapotok energiái (l. III. 13. §). Nk-t 1-gyel növelő vagy csökkentőátmenetekre ez a tényezőeiωt-re és e–iωt-re redukálódik. Ezt a követelményt vesszük figyelembe a fenti helyettesítés révén.

A továbbiakban (az elektromágneses tér és ugyanúgy a részecsketerek vizsgálata során) az operátorokat mindig Heisenberg-reprezentációban tekintjük.



[9] A képletek felesleges szorzótényezőkkel való nehézkessé tételét V=1 választással kerüljük el.