Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

115 §. Izotrop világ gravitációs stabilitása

115 §. Izotrop világ gravitációs stabilitása

Vizsgáljuk meg a kis perturbációk viselkedését izotrop modellben, vagyis elemezzük az izotrop modell gravitációs stabilitásának problémáját (E. M. Lifsic, 1946). Itt csak olyan perturbációk vizsgálatára szorítkozunk, amelyek a térnek viszonylag olyan kis tartományaira terjednek ki, melyeknek lineáris méretei az a sugárnál jóval kisebbek.[221]

A térmetrikát minden ilyen tartományban első közelítésben euklideszinek vehetjük, a (111.8) vagy a (111.12) metrikát a

14.65. egyenlet - (115.1)

d l 2 = a 2 ( η ) ( d x 2 + d y 2 + d z 2 )

metrikával helyettesítjük, ahol x, y, z az a sugár egységeiben mért Descartes-koordináták. Időkoordinátaként, az előzőekhez hasonlóan, η-t használjuk.

Az általánosság korlátozása nélkül megtehetjük, hogy a perturbált teret szinkronizált vonatkoztatási rendszerben írjuk le, tehát a metrikus tenzor δgik megváltozásaira kirójuk a δg00=δg0α=0 feltételeket. E feltételek mellett variálva a gikuiuk=1 azonosságot [és tekintetbe véve, hogy a négyessebesség komponenseinek nem variált értéke u0=1∕a, uα=0],[222] a g00u0δu0=0 egyenlőséget kapjuk, amiből δu0=0. A δuα perturbációk viszont általában zérustól különböznek, ezért a vonatkoztatási rendszer már nem lesz együttmozgó.

A térbeli metrikus tenzor perturbációit jelölje hαβ≡δγαβ=–δgαβ. Ekkor δγαβ=–hαβ, ahol hαβ indexeinek felhúzását a nem perturbált γαβ metrikával végeztük.

Lineáris közelítésben a gravitációs tér kis perturbációi a

14.66. egyenlet - (115.2)

δ R i k 1 2 δ i k δ R = 8 π k c 4 δ T i k

egyenletnek tesznek eleget.

Szinkronizált vonatkoztatási rendszerben a (94.9) energia-impulzus-tenzor komponenseinek variációi:

14.67. egyenlet - (115.3)

δ T α β = δ α β δ p , δ T 0 α = a ( p + 𝜀 ) δ u α , δ T 0 0 = δ 𝜀 .

Mivel δ𝜀 és δp infinitezimálisan kicsi, δp=(dp/d𝜀)δ𝜀 írható, és a

14.68. egyenlet - (115.4)

δ T α β = δ α β d p d 𝜀 δ T 0 0

összefüggést kapjuk.

A δRik-re vonatkozó képlet a (97.10) kifejezés variálásával adódik. Mivel a nem perturbált metrikus tenzor alakja γαβ=a2δαβ, a nem perturbált értékek:

ϰ α β = 2 ȧ a γ α β = 2 a a 2 γ α β , ϰ α β = 2 a a 2 δ α β ,

ahol a pont ct, a vessző pedig η szerinti deriválást jelent. Ugyanakkor a ϰαβ és ϰαβ=ϰαγγγβ mennyiségek perturbációi:

δ ϰ α β = α β = 1 a h α β , δ ϰ α β = h β γ ϰ α γ + γ β γ α γ = α β = 1 a h α β ,

ahol hαβ=γβγhαβ. A (115.1) euklideszi metrika esetén a Pαβ háromdimenziós tenzor nem perturbált értékei zérussal egyenlők. A δPαβ variációkat pedig a (108.3) és (108.4) képletek segítségével számíthatjuk: nyilvánvaló, hogy δPαβ ugyanúgy fejezhető ki a δγαβ-val, ahogy a δRik négyestenzor δgik-val. Az összes tenzorműveletet a (115.1) metrikájú háromdimenziós térben kell elvégezni; minthogy e metrika euklideszi, az összes kovariáns differenciálás az xα koordináták szerint elvégzett közönséges differenciálásokra egyszerűsödik (a kontravariáns differenciálásoknál még a2-tel osztani kell). Mindezt figyelembe véve (és mindenütt áttérve a t szerinti deriválásokról η szerintiekre), egyszerű számítás után azt kapjuk, hogy

δ R α β = 1 2 a 2 ( h α , γ γ , β + h γ , α β , γ h α , γ β , γ h , α , β ) 1 2 a 2 h α β a a 3 h α β a 2 a 3 h δ α β ,

14.69. egyenlet - (115.5)

δ R 0 0 = 1 2 a 2 h a 2 a 3 h , δ R 0 α = 1 2 a 2 ( h , α h β α , β )

(h≡hαα). Itt és a következőkben a vessző után álló alsó és felső indexek egyaránt az xα koordináták szerinti közönséges deriválást jelölik. (Csak azért használjuk továbbra is a felső és az alsó indexeket, hogy megőrizzük a jelölések egyöntetűségét.) A hαβ-ra vonatkozó végleges egyenleteket megkapjuk, ha a δTik komponenseknek δRik-val (115.2) szerint kifejezett alakját (115.4)-be helyettesítjük. Ilyen egyenletek gyanánt kényelmes a (115.4)-ből az α≠β esetén, illetve az α, β indexek összeejtésekor adódó egyenleteket választanunk. Alakjuk a következő:

(hα,γγ,β+hγ,αβ,γh,α,βhα,γβ,γ)+hαβ+2aahαβ=0,αβ,

14.70. egyenlet - (115.6)

1 2 ( h γ , δ δ , γ h , γ , γ ) 1 + 3 d p d 𝜀 + h + h a a 2 + 3 d p d 𝜀 = 0 .

Az anyag sebességének és sűrűségének perturbációi hαβ ismeretében a (115.2) és (115.3) képletek segítségével kiszámíthatók. Így a relatív sűrűségváltozásra az adódik, hogy

14.71. egyenlet - (115.7)

δ 𝜀 𝜀 = c 4 8 π k 𝜀 δ R 0 0 1 2 δ R = c 4 1 6 π k 𝜀 a 2 h α , β β , α h , α , α + 2 a a h .

(115.6) egyenlet megoldásai között vannak olyanok, amelyeket a vonatkoztatási rendszer egyszerű (szinkronizáltságát nem sértő) transzformációjával ki lehet zárni, ezért nem jelentik a metrika valódi fizikai megváltozását. Az ilyen megoldások alakját a  97. § 3. feladatában kapott (1) és (2) képletek segítségével közvetlenül megállapíthatjuk. E képletekbe a nem perturbált γαβ=a2δαβ értékeket helyettesítve, a metrika fiktív perturbációira a

14.72. egyenlet - (115.8)

h α β = f 0 , α , β d η a + a a 2 f 0 δ α β + ( f α , β + f β , α )

alakot kapjuk, ahol f0, fα az x, y, z koordináták tetszőleges (kicsiny) függvényei.

Mivel a metrika a tér általunk vizsgált kisebb tartományaiban feltevésszerűen euklideszi, a tartomány minden egyes pontjában a tetszőleges perturbációkat síkhullámok szerint sorba fejthetjük. x, y, z-n az a egységekben mért Descartes-koordinátákat értve, a síkhullámok térben periodikus szorzóját einr alakban írhatjuk, ahol az n dimenzió nélküli vektor az 1∕c egységekben mért hullámszámvektor (a hullámszámvektor: k=n∕a). Ha ∼l lineáris méretű tértartományban lép fel perturbáció, akkor sorfejtésében elsősorban λ=2πa∕n∼l hullámhosszúságú komponensek jelentősek. Az l≪a méretű tartományokra való korlátozódás egyúttal annak feltételezését is jelenti, hogy az n szám elegendően nagy (n≫2π).

A gravitációs perturbációkat három típusra lehet osztani. Ez az osztályozás a szimmetrikus hαβ tenzor sorában szereplő síkhullámok lehetséges típusainak meghatározására vezethető vissza. Így a következő osztályokat kapjuk:

1. A

14.73. egyenlet - (115.9)

Q = e i n r

skalár függvény segítségével képezhetünk egy P=nQ vektort és két tenzort:[223]

14.74. egyenlet - (115.10)

Q α β = 1 3 δ α β Q , P α β = 1 3 δ α β n α n β n 2 Q .

E síkhullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben a gravitációs térrel együtt az anyag sűrűsége és sebessége is megváltozik, tehát olyan perturbációkkal van dolgunk, amely együtt jár anyagsűrűsödések és -ritkulások keletkezésével. A hαβ perturbációt ekkor a Qαβ és Pαβ tenzorokkal, a sebesség perturbációit a P vektorral, a sűrűség perturbációját pedig a Q skalárral lehet kifejezni.

2. A transzverzális

14.75. egyenlet - (115.11)

S = s e i n r , s n = 0

vektorhullám segítségével az nβSα+nαSβ tenzort képezhetjük. Mivel nS=0, megfelelő skalár nem létezik. Ezeknek a hullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben a gravitációs térrel együtt változást szenved a sebesség, de az anyagsűrűség már nem; ezeket forgó perturbációknak nevezhetjük.

3. Transzverzális tenzorhullám:

14.76. egyenlet - (115.12)

G α β = g α β e i n r , g α β n β = 0 .

Ezzel sem vektort, sem skalárt nem lehet képezni. E hullámoknak olyan perturbációk felelnek meg, amelyekben az anyag nyugvó és homogén térbeli eloszlású marad. Más szóval ezek az izotrop világ gravitációs hullámai.

Az első típusú perturbációk a legérdekesebbek. Tegyük fel, hogy hαβ alakja:

14.77. egyenlet - (115.13)

h α β = λ ( η ) P α β + μ ( η ) Q α β , h = μ Q .

(115.7)-ből a sűrűség relatív megváltozására azt kapjuk, hogy

14.78. egyenlet - (115.14)

δ 𝜀 𝜀 = c 4 2 4 π k 𝜀 a 2 n 2 ( λ + μ ) + 3 a a μ Q .

A λ és μ függvényeket meghatározó egyenletek (115.13)-nak (115.6)-ba való helyettesítésével adódnak:

λ + 2 a a λ n 2 3 ( λ + μ ) = 0 ,

14.79. egyenlet - (115.15)

μ + μ a a 2 + 3 d p d 𝜀 + n 2 3 ( λ + μ ) 1 + 3 d p d 𝜀 = 0 .

Ezeknek az egyenleteknek mindenekelőtt van két olyan partikuláris megoldása, amelyek a metrika a vonatkoztatási rendszer transzformációjával eltüntethető fiktív megváltozásainak felelnek meg:

14.80. egyenlet - (115.16)

λ = μ = c o n s t ,

14.81. egyenlet - (115.17)

λ = n 2 d η a , μ = n 2 d η a 3 a a 2

[az első f0=0, fα=Pα választással, a második f0=Q, fα=0-val adódik (115.8)-ból].

A világ tágulásának kezdeti stádiumában, amikor az anyagot a p=𝜀∕3 állapotegyenlet írja le, a a≈a1η, η≪1 (mind a nyílt, mind a zárt modellben). A (115.15) egyenletek ekkor

14.82. egyenlet - (115.18)

λ + 2 η λ n 2 3 ( λ + μ ) = 0 , μ + 3 η μ + 2 n 2 3 ( λ + μ ) = 0

alakúak lesznek. Ezeket az egyenleteket előnyös a két nagy n és 1∕η mennyiség kölcsönös viszonyának megfelelő két határesetben külön-külön vizsgálni.

Tételezzük fel először, hogy az n szám nem túl nagy (vagy η elegendően kicsi), ezért nη≪1. Azzal a pontossággal, amellyel a (115.18) egyenletek igazak, az adott esetben azokból a következőket kapjuk:

λ = 3 C 1 η + C 2 1 + n 2 9 η 2 , μ = 2 n 2 3 C 1 η + C 2 1 n 2 6 η 2 ,

ahol C1, C2 állandók; innen már kiküszöböltük a (115.16) és (115.17) alakú megoldásokat. (Ez az a megoldás, amelyben λ–μ=const, és amelyben λ+μ∼1∕η2.) δ𝜀∕𝜀-t (115.14) és (115.15) szerint kiszámítva, a metrika és a sűrűség perturbációira a következő kifejezéseket kapjuk:

h β α = 3 C 1 η P α β + C 2 ( Q α β + P α β ) ,

14.83. egyenlet - (115.19)

δ 𝜀 𝜀 = n 2 9 ( C 1 η + C 2 η 2 ) Q , ha p = 𝜀 3 , η 1 n .

A C1, C2 állandóknak határozott feltételeket kell kielégíteniük, amelyek azt fejezik ki, hogy a perturbáció keletkezésének η0 időpontjában kicsi volt: teljesülnie kell a hαβ≪1 (amiből λ≪1, μ≪1) és δ𝜀∕𝜀≪1 feltételeknek. Ezeket (115.19)-re alkalmazva, a C1≪η0, C2≪1 egyenlőtlenségekhez jutunk.

(115.19) kifejezésekben szerepelnek olyan tagok, amelyek a táguló világban az a=a1η sugár különböző hatványai szerint növekednek. Ez a növekedés azonban nem jelenti, hogy a perturbáció naggyá válhat: ha a (115.19) képleteket rendre alkalmazzuk η∼1∕n-nél is, akkor azt látjuk, hogy (a C1-re és C2-re kapott egyenlőtlenségek miatt) a perturbációk kicsik maradnak még e képletek érvényességi tartományának felső határán is.

Legyen most az n szám olyan nagy, hogy nη≫1. A (115.18) egyenleteket e feltétel teljesítése mellett megoldva, azt kapjuk, hogy λ-ban és μ-ben a vezető tagok

λ = μ 2 = c o n s t 1 η 2 e i n η 3

alakúak.[224] Ebből a metrika és a sűrűség perturbációira azt kapjuk, hogy

h α β = C n 2 η 2 ( P α β 2 Q α β ) e i n η 3 , δ 𝜀 𝜀 = C 9 Q e i n η 3 ,

14.84. egyenlet - (115.20)

p = 𝜀 3 , 1 n η 1 ,

ahol C a |C|≪1 feltételnek eleget tevő komplex állandó. E kifejezésekben a periodikus szorzó fellépése teljesen természetes. Nagy n-eknél olyan perturbációkkal van dolgunk, amelyek térbeli periodicitását a k=n∕a nagy hullámszámvektor határozza meg. Az ilyen perturbációk hanghullámként terjednek

u=dpd(𝜀c2)=c3

sebességgel. A fázis időbeli részét az ∫kudt=(nη/√3) nagy integrál határozza meg, akárcsak a geometriai akusztikában. A sűrűség relatív megváltozásának amplitúdója, amint látjuk, állandó marad, ugyanakkor a táguló világban a metrika perturbációinak amplitúdója a–2 szerint csökken.[225]

Vizsgáljuk meg ezek után a tágulás későbbi szakaszait, amikor az anyag már annyira ritka, hogy nyomását elhanyagolhatjuk (p=0). Itt csak a kis η-k esetére szorítkozunk, ami a tágulás olyan szakaszának felel meg, amikor az a sugár még nagyon kicsi a jelenlegi értékhez képest, de az anyag már elegendően ritka.

p=0 és η≪1 esetén a≈a0η2∕2 és a (115.15) egyenletek

λ + 4 η λ n 2 3 ( λ + μ ) = 0 , μ + 4 η μ + n 2 3 ( λ + μ ) = 0

alakúak lesznek. Az egyenletek megoldásai:

λ + μ = 2 C 1 6 C 2 η 3 , λ μ = n 2 C 1 η 2 1 5 + 4 C 2 η 3 .

(115.14) és (112.12) képletek segítségével δ𝜀∕𝜀-t is kiszámítva, azt kapjuk, hogy

hαβ=C1(Pαβ+Qαβ)+2n2C2η3(PαβQαβ),haη1n,hαβ=C115n2η2(PαβQαβ)+2n2C2η3(PαβQαβ),ha1nη1,(115.21)δ𝜀𝜀=C1n2η230+C2n2η2Q.

Látjuk, hogy δ𝜀∕𝜀 egy a-val arányosan növekvő tagot tartalmaz.[226] Ha azonban nη≪1, akkor δ𝜀∕𝜀 nem válik naggyá a C1≪1 feltétel miatt még η∼1∕n esetén sem. Ha pedig ηn≫1, akkor η∼1 esetén a sűrűség relatív megváltozása C1n2 nagyságrendű, és a kezdeti perturbáció kicsi voltának megkövetelése csupán a C1n2η02≪1 egyenlőtlenségre vezet. Noha a perturbáció lassan növekszik, a teljes növekedés a fentiek szerint mégis jelentős lehet, s végeredményben a perturbáció viszonylag erőssé válhat.

Hasonlóan vizsgálhatjuk meg a fent említett második és harmadik típusú perturbációt is. E perturbációk kialvásának törvényszerűségeit részletes számítások nélkül is, egyszerű megfontolások alapján kitalálhatjuk.

Ha az anyag (l lineáris méretű) kicsiny darabjában δv sebességgel forgó perturbáció lép fel, akkor e rész impulzusmomentuma ∼(𝜀∕c2)l3⋅l⋅v. A világ tágulásakor az l méret a-val arányosan nő, az 𝜀 pedig a–3 szerint (p=0 esetén) vagy a–4 szerint (p=𝜀∕3 esetén) csökken. Az impulzusmomentum megmaradása miatt ezért azt kapjuk, hogy

14.85. egyenlet - (115.22)

δ v = c o n s t , ha p = 𝜀 3 , δ v 1 a , ha p = 0 .

A gravitációs hullámok energiasűrűségének a világ tágulásakor a–4 szerint kell csökkennie. Másrészt e sűrűséget a metrika perturbációval a ∼k2(hαβ)2 képlettel fejezhetjük ki, ahol k=n∕ a a perturbáció hullámszámvektora. Ebből következik, hogy a gravitációs hullám típusú perturbáció az időben 1∕a szerint csökken.



[221] A kérdés részletesebb kifejtését és egyúttal az a-val összemérhető kiterjedésű tartományokban fellépő perturbációk vizsgálatát illetően lásd Uszpeki Fizicseszkij Nauk 80, 411 (1963); Adv. of. Phys. 12, 208 (1963).

[222] A mennyiségek nem perturbált értékeit ebben a szakaszban a (0) index nélküli szimbólumokkal jelöljük.

[223] A közönséges n Descartes-féle vektor esetében csak azért írunk alsó és felső indexeket, hogy megőrizzük a jelölések egyöntetűségét.

[224] Az exponenciális előtt álló 1∕η2 tényező az 1∕nη szerinti sorfejtés első tagja. Meghatározásához a sorfejtés első két tagját [melyet a (115.18) egyenletek pontossága megenged] esetenként egyidejűleg kell megvizsgálnunk.

[225] Könnyű belátni, hogy (p=𝜀∕3 esetén) nη∼L∕λ, ahol L∼u∕√(k𝜀∕c2). Természetes, hogy a λ≪a hullámhosszúságú perturbációk viselkedését meghatározó karakterisztikus L hosszúságot pusztán „hidrodinamikai” mennyiségek: az 𝜀∕c2 anyagsűrűség és a benne terjedő hang u sebessége (valamint a k gravitációs állandó) határozzák meg. Megjegyezzük, hogy a perturbációk növekedése λ≫L esetén következik be [(115.19)-ben].

[226] A kis p(𝜀) nyomást figyelembe vevő gondosabb analízis azt mutatja, hogy a nyomást csak akkor lehet elhanyagolni, ha teljesül az uηn∕c≪1 feltétel (ahol u=c√(dp∕d𝜀) a kis hangsebesség); könnyű ellenőrizni, hogy ez ebben az esetben is a λ≫L feltétellel egyezik meg. Tehát a perturbációk mindig növekszenek, ha λ≫L.