Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

109 §. Erős gravitációs hullámok

109 §. Erős gravitációs hullámok

Ebben a szakaszban az Einstein-egyenleteknek azt a megoldását vizsgáljuk, amely a sík téridő gyenge gravitációs síkhullámainak általánosítása (I. Robinson, H. Bondi, 1957).

Olyan megoldást keresünk, amelyben a metrikus tenzor komponensei a vonatkoztatási rendszer alkalmas megválasztása esetén csupán egyetlen (előre meg nem határozott jellegű) x0 változótól függnek. Ez a feltétel megengedi még a koordináták

xαxα+φα(x0),(109.1)x0φ0(x0)(109.2)

alakú transzformációját, ahol φ0, φα tetszőleges függvények.

A megoldás jellege lényegesen függ attól, hogy a (109.1) transzformációkkal zérussá tehető-e az összes g0α. Ez akkor érhető el, ha a |gαβ| determináns nem nulla. Valóban, a (109.1) transzformáció esetén g0α→g0α+gαβφ̇β (a pont x0 szerinti differenciálást jelent), és ha |gαβ|≠0, a

g 0 α + g α β φ ̇ β = 0

egyenletrendszer meghatározza a kívánt transzformációt megvalósító φβ(x0) függvényeket. Ilyen esetet a  117. §-ban vizsgálunk; itt most a

13.24. egyenlet - (109.3)

| g α β | = 0

megoldással foglalkozunk.

Ilyenkor nem létezik olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az összes g0α eltűnik. Ehelyett azonban a (109.1)(109.2) transzformációkkal elérhetjük, hogy

13.25. egyenlet - (109.4)

g 1 0 = 1 , g 0 0 = g 2 0 = g 3 0 = 0

legyen. Az x0 változó jellege ekkor „fényszerű”: dxα=0, dx0≠0 esetén a ds ívelem zérus; az így megválasztott x0 változót az alábbiakban x0=η-val jelöljük. A (109.4) feltételek teljesülése mellett az ívelemnégyzet

13.26. egyenlet - (109.5)

d s 2 = 2 d x 1 d η + g a b ( d x α + g α d x 1 ) ( d x b + g b d x 1 )

alakú. Ebben a szakaszban az a,b,c,… indexek a 2, 3 értékeket veszik fel; gab(η)-t kétdimenziós tenzornak, a két ga(η) mennyiséget pedig egy kétdimenziós vektor komponenseinek tekinthetjük. Az Rab mennyiségek kiszámítása a következő téregyenletekre vezet:

Rab=12gacġcgbdġd=0.

Ebből következik, hogy gacġc=0 vagy ġc=0, azaz gc=const. Az xα+gax1→xα transzformációval a vizsgált metrikát ezért a

13.27. egyenlet - (109.6)

d s 2 = 2 d x 1 d η + g a b ( η ) d x a d x b

alakra lehet hozni.

E metrikus tenzor –g determinánsa megegyezik a |gab| determinánssal, a Christoffel-szimbólumok közül pedig csak a következők különböznek zérustól:

Γ b 0 a = 1 2 ϰ b a , Γ a b 1 = 1 2 ϰ a b .

Itt bevezettük a ϰab=ġab, ϰab=gbcϰac kétdimenziós tenzort. A Ricci-tenzor összes komponensei közül csupán R00 nem azonosan nulla, így az

13.28. egyenlet - (109.7)

R 0 0 = 1 2 ϰ ̇ a a 1 4 ϰ a b ϰ b a = 0

egyenletet kapjuk.

Ezek szerint a három g22(η), g23(η), g33(η) függvénynek csupán egy egyenletet kell kielégítenie. Ezért közülük kettőt teljesen tetszőlegesen adhatunk meg. A kényelem kedvéért (109.7)-et más alakba írjuk a gab mennyiségek

13.29. egyenlet - (109.8)

g a b = χ 2 γ a b , | γ a b | = 1

parametrizálásának felhasználásával. Ekkor a –g determináns: –g=|gab|=χ4, ami (109.7)-be való behelyettesítés és egyszerű átalakítások után a

13.30. egyenlet - (109.9)

χ ̈ + 1 8 ( γ ̇ a c γ b c ) ( γ ̇ b d γ a d ) χ = 0

egyenletet adja (γab a kétdimenziós γab tenzor inverze). Megadva a tetszőleges γab(η) függvényeket (amelyek egymással a |γab|=1 összefüggés révén vannak kapcsolatban), ez az egyenlet meghatározza a χ(η) függvényt.

Így olyan megoldáshoz jutottunk, amely két tetszőleges függvényt tartalmaz. Könnyű belátni, hogy ez a megoldás a  107. §-ban vizsgált (egy irányban terjedő) gyenge gravitációs síkhullámok általánosítása. [206] Az egyszerűbb esetet az

η = t + x 2 , x 1 = t x 2

transzformáció és a γab=δab+hab(η) helyettesítés elvégzésével (hab-k kis mennyiségek, amelyek eleget tesznek a h22+h33=0 feltételeknek) x=1-et véve kapjuk vissza; χ állandó értéke a másodrendűen kis tagok elhanyagolásával kielégíti a (109.9) egyenleteket.

Haladjon át az erőtér valamely x pontján egy véges kiterjedésű gyenge gravitációs hullám („hullámcsomag”). Az áthaladás előtt hab=0, χ=1; az áthaladás után ismét hab=0, ∂2χ∕∂t2=0, de a (109.9) egyenletben a másodrendű tagok figyelembevétele ∂χ∕∂t zérustól különböző negatív értékére vezet:

χ t 1 8 h a b t 2 d t < 0

(az integrálást a hullám áthaladási idejére kell elvégezni). Ezért a hullám áthaladása után χ=1–const⋅t lesz, és véges időintervallum elteltével χ előjelet vált. χ zérussá válása azonban a g metrikus determináns eltűnését jelenti, azaz a metrikában szingularitás jelenik meg. Ez a szingularitás azonban nem fizikai, csak az áthaladó gravitációs hullám által „elrontott” vonatkoztatási rendszer fogyatékosságaival kapcsolatos, és a rendszer megfelelő transzformációjával megszüntethető; a valóságban a hullám áthaladása után a téridő ismét sík lesz.

Erről közvetlenül is meggyőződhetünk. Ha η értékét a szinguláris pontban felvett értékétől számítjuk, akkor χ=η, tehát

d s 2 = 2 d η d x 1 η 2 [ ( d x 2 ) 2 + ( d x 3 ) 2 ] .

Az

η x 2 = y , η x 3 = z , x 1 = ξ y 2 + z 2 2 η

transzformáció elvégzése után azt kapjuk, hogy

d s 2 = 2 d η d ξ d y 2 d z 2 ,

ami végül az η=(t+x)∕√2, ξ=(t–x)∕√2 helyettesítéssel Galilei-alakra hozható.

A gravitációs hullámoknak az a tulajdonsága, hogy fiktív szingularitás keletkezésére vezethetnek, természetesen független attól, hogy az erőtér gyenge, és hogy a (109.7) egyenlet általános megoldására is elmondható. Éppúgy, mint a vizsgált példában, a szingularitás közelében χ∼η, azaz –g∼η4. [207]

Feladat

Határozzuk meg annak feltételét, hogy a

d s 2 = d t 2 d x 2 d y 2 d z 2 + f ( t x , y , z ) ( d t d x ) 2

alakú metrika vákuumban az Einstein-egyenletek egzakt megoldása legyen (A. Peres, 1960).

Megoldás. A Ricci-tenzort legegyszerűbben az u=(t–x)∕√2, v=(t+x)∕√2, y, z koordinátákban lehet kiszámítani, amelyekben

d s 2 = d y 2 d z 2 + 2 d u d v + 2 f ( u , y , z ) d u 2 .

A g22=g33=–1 mellett a metrikus tenzornak csupán a következő komponensei különböznek zérustól: guu=2f, guv=1; eközben gvv=–2f, guv=1, a determináns pedig g=–1. A (92.1) szerint elvégzett közvetlen számítás a görbületi tenzor zérustól különböző komponenseire a következő értékeket adja:

R y u y u = 2 f y 2 , R z u z u = 2 f z 2 , R y u z u = 2 f y z

A Ricci-tenzor egyetlen zérustól különböző komponense Ruu=△f, ahol △ az y, z koordináták szerinti Laplace-operátor. Így az Einstein-egyenlet △f=0, tehát az f(t–x,y,z) függvénynek harmonikusnak kell lennie az y, z változókban.

Ha az f függvény nem függ az y, z változóktól, vagy ezekben lineáris, akkor nincs erőtér; a téridő sík (a görbületi tenzor zérus). Az y, z-ben másodrendű

f ( u , y , z ) = y z f 1 ( u ) + 1 2 ( y 2 z 2 ) f 2 ( u )

függvény az x tengely mentén pozitív irányban terjedő síkhullámnak felel meg; valóban, ilyen térben a görbületi tenzor csak t–x-től függ:

R y u z u = f 1 ( u ) , R y u y u = R z u z u = f 2 ( u ) .

A hullám két lehetséges polarizációjának megfelelően a metrika ebben az esetben két tetszőleges f1(u) és f2(u) függvényt tartalmaz.



[206] Több változótól függő hasonló megoldásokat találtak: I. Robinson, A. Trautman, Phys. Rev. Lett. 4, 431 (1960); Proc. Roy. Soc. A265, 463 (1962).

[207] Ez a (109.7) egyenlet segítségével ugyanúgy bizonyítható, mint a  97. §-ban a hasonló háromdimenziós egyenlet esetében szinkronizált vonatkoztatási rendszerben tettük. Akárcsak ott, a fiktív szingularitás keletkezése most is a koordinátavonalak metszésével kapcsolatos.