Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

108 §. Gravitációs hullámok görbült téridőben

108 §. Gravitációs hullámok görbült téridőben

Ahogy a gravitációs hullámok terjedését a görbületlen téridő „hátterén” tanulmányoztuk, ugyanúgy megvizsgálhatjuk kis perturbációk terjedését egy tetszőleges (nem Galilei-féle) „nem perturbált” gik(0) metrikához képest. Tekintetbe véve bizonyos egyéb alkalmazásokat is, a szükséges képleteket itt a legáltalánosabb alakban adjuk meg.

A gik-t ismét (107.1) alakban írva, azt kapjuk, hogy a Christoffel-szimbólumokhoz adódó elsőrendű járulékok hik-k segítségével a

13.13. egyenlet - (108.1)

Γ k l i ( 1 ) = 1 2 ( h k ; l i + h l ; k i h k l ; i )

képlet szerint fejezhetők ki, amiről közvetlen számolással győződhetünk meg. (Itt és a későbbiekben, az összes tenzorművelet – indexek fel- és lehúzása, kovariáns differenciálás – a nem Galilei-féle gik(0) metrikával végzendő.) A görbületi tenzorhoz adódó járulékokra az

13.14. egyenlet - (108.2)

R k l m ( 1 ) i = 1 2 ( h k ; m ; l l + h m ; k ; l i h k m ; i ; l h k ; l ; m i h l ; k ; m i + h k l ; i ; m )

kifejezést kapjuk. Ebből a Ricci-tenzor megváltozása:

13.15. egyenlet - (108.3)

R i k ( 1 ) = R i l k ( 1 ) l = 1 2 ( h i ; k ; l l + h k ; i ; l l h i k ; l ; l h ; i ; k ) .

A Ricci-tenzor kevert komponenseihez a korrekciókat az

Ri(0)k+Ri(1)k=(Ril(0)+Ril(1))(g(0)klhkl)

összefüggésből kapjuk meg, amiből

13.16. egyenlet - (108.4)

R i ( 1 ) k = g ( 0 ) k l R i l ( 1 ) h k l R i l ( 0 ) .

A pontos metrikának vákuumban ki kell elégítenie az Rik=0 Einstein-egyenleteket. Mivel a nem perturbált gik(0) metrika kielégíti az Rik(0)=0 egyenletet, a perturbációra az Rik(1)=0 egyenletet kapjuk, tehát

13.17. egyenlet - (108.5)

h i ; k ; l l + h k ; i ; l l h i k ; l ; l h ; i ; k = 0 .

Tetszőleges gravitációs hullámok esetén ez az egyenlet nem hozható a (107.8)-hoz hasonló egyszerű alakra. Lehetséges viszont ilyen egyszerűsítés a nagy frekvenciájú hullámok fontos esetében: ekkor a λ hullámhossz és a λ∕c periódusidő kicsi azon jellemző L távolságokhoz és L∕c időkhöz képest, amelyeken belül a nem perturbált erőtér állandónak tekinthető. A hik mennyiségek minden egyes differenciálása a nagyságrendet a nem perturbált gik(0) metrika deriváltjaihoz képest L∕λ-szorosra növeli. A két legnagyobb rendű [(L∕λ)2 és (L∕λ)] tagig terjedő pontosságra szorítkozva, (108.5)-ben felcserélhetjük a differenciálás sorrendjét; valóban a

h i ; k ; l l h i ; l ; k l h m l R ( 0 ) m i k l h i m R m k l ( 0 ) l

különbség nagyságrendje (L∕λ)0, a hi;k;ll és hi;l;kl mennyiségek mindegyike tartalmaz magasabb rendű [(L∕λ)2 és (L∕λ)-t egyaránt] tagokat. Kiróva ezek után hik-ra a

13.18. egyenlet - (108.6)

ψ i ; k k = 0

mellékfeltételeket [amelyek (107.5) hasonmásai], a

13.19. egyenlet - (108.7)

h i k ; l ; l = 0

egyenletet kapjuk, ami a (107.8) egyenlet általánosítása.

107. §-ban említett okok miatt a (108.6) feltétel nem rögzíti a koordináták egyértelmű megválasztását. A koordinátákat még az x′1=xi+ξi transzformációnak vethetjük alá, ahol ξi-k kicsiny mennyiségek, és kielégítik a ξ ;ki;k=0 egyenletet. Ezeket a transzformációkat speciálisan arra is felhasználhatjuk, hogy kirójuk hik-kra még a h≡hii=0 feltételt is. Ekkor ψik=hik, így hik kielégíti a

13.20. egyenlet - (108.8)

h i ; k k = 0 , h = 0

feltételeket. A megengedett transzformációk tartománya ezek után a ξi;i=0 feltételre szűkül.

A tik pszeudotenzor a nem perturbált t(0)ik tagok mellett általában hik-kban különböző rendű tagokat is tartalmaz. A (107.11)-hez hasonló kifejezéshez jutunk, ha a tik mennyiségeknek a négyestér λ-hoz képest nagy, de L-hez képest kicsi részeire átlagolt értékeit vesszük. Egy ilyen átlagolás (amelyet az alábbiakban ⟨…⟩ hegyes zárójelekkel jelölünk) nem változtatja meg gik(0)-t, és zérussá teszi a gyorsan oszcilláló hik mennyiségekben az összes elsőrendű tagot. A négyzetes tagokból csak az 1∕λ szerint legmagasabb (másod-) rendű tagokat tartjuk meg; ezek a hik,l≡∂hik∕∂xl deriváltakban négyzetes tagok.

Ilyen pontosság mellett a tik-ban szereplő összes négyesdivergencia elhagyható. Valóban, az ilyen kifejezéseknek a négyestér tartományaira (az átlagolás tartományaira) vonatkozó integráljait a Gauss-tétel segítségével átalakíthatjuk. Ennek eredményeképpen 1∕λ szerinti nagyságrendjük az egységre csökken. Ezen túlmenően kiesnek azok a tagok is, amelyek parciális integrálás után (108.7) és (108.8) miatt zérussá válnak. Így parciális integrálással és a négyesdivergenciák elhagyásával azt kapjuk, hogy

h l n , p h l , n p = h l n h l , p , n p = 0 , h i l , n h l k , n = h i l h l , n k , n = 0 .

Végeredményben a másodrendű tagok közül csupán az alábbi marad meg:

13.21. egyenlet - (108.9)

t i k ( 2 ) = c 4 3 2 π k h q n , i h n q , k .

Megjegyezzük, hogy ugyanezzel a pontossággal: ⟨ti(2)i⟩=0.

Az energiát tartalmazó gravitációs erőtér maga is járulékos gravitációs tér forrása. Ez az erőtér azonban az őt létrehozó energiával együtt a hik-ban másodrendű. Nagyfrekvenciás gravitációs hullámok esetében azonban ez a hatás lényegesen felerősödik: az a tény, hogy a tik pszeudotenzor hik deriváltjaiban négyzetes, a nagy λ–2 számmal becsülhető szorzótényezőt hoz tik-ba. Ilyen esetben azt mondhatjuk, hogy maguk a hullámok hozzák létre azt a háttér-teret, amelyben terjednek. Ezt a teret célszerű úgy tanulmányozni, hogy a négyestér λ-hoz képest nagyméretű tartományaira a fentebb leírt módon átlagolunk. Az ilyen átlagolás a rövid hullámhosszú „fodrokat” kisimítja, és egy lassan változó háttérmetrikát eredményez (R. A. Isaacson, 1968).

E metrikát meghatározó egyenlet levezetéséhez az Rik tenzor sorfejtésében nemcsak a hik-ban lineáris, hanem a négyzetes tagokat is figyelembe kell vennünk: Rik=Rik(0)+Rik(1)+Rik(2). Mint már említettük, az átlagolás nem érinti a nulladrendű tagokat. Az ⟨Rik⟩=0 átlagolt téregyenlet tehát

13.22. egyenlet - (108.10)

R i k ( 0 ) = R i k ( 2 )

alakú lesz, és Rik(2)-ban csupán az 1∕λ-ban másodrendű tagokat kell megtartani. Ezeket könnyen megkaphatjuk a (96.7) azonosság alapján. Az azonosság jobb oldaláról származó hik-kban négyzetes tagok négyesdivergencia alakjában lépnek fel, ezért az átlagolásnál (az adott pontosság mellett) eltűnnek, és így az

Rik12gikR(2)=8πkc4tik(2)

egyenlet marad, vagy mivel tii(2)=0, ugyanilyen pontossággal:

Riki(2)=8πkc4tik(2).

Végül (108.9) felhasználásával megkapjuk a (108.10) végleges alakját:

13.23. egyenlet - (108.11)

R i k ( 0 ) = 1 4 h q , i n h n , k q .

Ha a „hátteret” teljesen maguk a hullámok hozzák létre, akkor a (108.11) és (108.7) egyenleteket együttesen kell megoldani. A (108.11) jobb és bal oldalán álló kifejezések nagyságrendi becslése azt mutatja, hogy ebben az esetben, a háttérmetrika görbületi sugarának L nagyságrendje a λ hullámhosszal és a h által keltett erőtér nagyságrendjével L–2∼h2∕λ2, azaz a λ∕L∼h szerint van kapcsolatban.