Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

104 §. Nem gömbszimmetrikus és forgó testek gravitációs kollapszusa

104 §. Nem gömbszimmetrikus és forgó testek gravitációs kollapszusa

A két előző fejezetben mondottak csak szigorúan gömbszimmetrikus testek esetén érvényesek. Egyszerű megfontolások azonban azt mutatják, hogy a gravitációs kollapszus kvalitatív képe változatlan marad a gömbszimmetrikustól kicsit eltérő testekre is (A. G. Doroskevics, B. Zeldovics, I. D. Novikov, 1965).

Először olyan testekkel foglalkozunk, amelyek gömbszimmetriától való eltérését az anyageloszlás aszimmetriája okozza, nem pedig a test egészének forgása.

Nyilvánvaló, hogy ha egy nagy tömegű gömbszimmetrikus test gravitációsan nem stabil, akkor ez az instabilitás a szimmetria kis sérülése esetén is megmarad, tehát ilyen test is kollapszust szenved. A kis aszimmetriát gyenge perturbációként kezelve, fejlődése nyomon követhető a test összehúzódásának folyamán (együttmozgó vonatkoztatási rendszerben). A perturbációk általában a test sűrűsége növekedésének mértékében nőnek. Ha a perturbációk az összehúzódás kezdetén elegendően kicsik, akkor kicsik maradnak abban a pillanatban is, amikor a test eléri a gravitációs sugarat; a  113. §-ban megjegyeztük, hogy ez az időpillanat nem jelentős az összehúzódó test belső dinamikája szempontjából; a test sűrűsége itt magától értetődően véges.[184]

A testben levő belső perturbációk kicsisége miatt kicsik a test által létrehozott gömbszimmetrikus külső gravitációs tér perturbációi is. Ez azt jelenti, hogy majdnem változatlan marad az „eseményhorizont” felülete, a Schwarzschild-gömb, így (együttmozgó rendszerben) semmi sem gátolja a kollapszust szenvedő testet, hogy áthaladjon rajta.

A test belsejében levő perturbációk fejlődéséről semmiféle információ nem jut el a külső megfigyelőhöz, mivel az eseményhorizont alól semmilyen jel nem jön ki; az egész folyamat a távoli megfigyelő „idővégtelenje” mögött marad. Ebből pedig az következik, hogy külső vonatkoztatási rendszerben a kollapszust szenvedő test gravitációs terének stacionárius térhez kell tartania, amikor a test aszimptotikusan közeledik a gravitációs sugárhoz. E közeledés jellemző ideje igen kicsi (∼rg∕c). Ezután úgy vehetjük, hogy a külső térben csupán a gömbszimmetrikus tér korábban keletkezett perturbációi maradnak. Az összes, időben változó perturbációnak azonban idővel szét kell oszlania a térben a végtelenbe kifutó (vagy a horizont mögé futó) gravitációs hullámok formájában.

A keletkező fekete lyuk külső gravitációs terében azonban nem maradhatnak időtől független, sztatikus perturbációk sem. Erre a következtetésre a vákuumbeli Schwarzschild-térre szuperponált állandó perturbációk analízise alapján juthatunk. Egy ilyen analízis azt mutatja, hogy sztatikus esetben minden (végtelenben csökkenő) perturbáció, a nem perturbált feladat Schwarzschild-gömbjéhez közeledve, minden határon túl növekszik;[185] ugyanakkor az adott esetben külső térbeli nagy perturbációk keletkezésére, amint már kimutattuk, semmilyen ok sincs.

A test sűrűségeloszlásának gömbszimmetrikustól való eltérését e sűrűség kvadrupól-és magasabb multipólmomentumai írják le; minden egyes multipólmomentum járulékot ad a külső térhez. Ebből pedig az következik, hogy a külső tér minden ilyen perturbációja a kollapszus véges szakaszaiban (a külső megfigyelő szempontjából) kialszik.[186] A kollapszár kialakult tere ismét gömbszimmetrikus Schwarzschild-féle tér, amelyet a test teljes tömege egyértelműen meghatároz.

A test kollapszusának az eseményhorizont alatti véges jövőjével (amelyet külső vonatkoztatási rendszerből nem figyelhetünk meg) kapcsolatos kérdés nem teljesen világos. Úgy tűnik, itt is igaz marad, hogy a kollapszus a téridőmetrika valódi szingularitásával fejeződik be, de egészen más típusú szingularitással, mint a gömbszimmetrikus esetben. Ez a kérdés azonban jelenleg még nem teljesen tisztázott.

Térjünk most rá annak az esetnek a vizsgálatára, amikor a gömbszimmetria gyenge sérülését nem csupán a sűrűségeloszlás aszimmetriája okozza, hanem a test egésznek forgása is. Az a feltételezés, hogy a gömbszimmetriától való eltérés kicsi, ilyenkor azt jelenti, hogy a forgás elegendően lassú. Az összes fent tett állítás egynek kivételével érvényben marad. Eleve nyilvánvaló, hogy a test J teljes impulzusmomentumának megmaradása miatt a kollapszár tere ez esetben nem függhet egyedül csak a tömegtől. Éppen ennek felel meg az a körülmény, hogy a gömbszimmetrikus gravitációs tér stacionárius (de nem sztatikus) perturbációi között van egy olyan, amely r→rg esetén nem nő minden határon túl. Ez a perturbáció éppen a test forgásával kapcsolatos, és úgy írható le, hogy a Schwarzschild-féle gik metrikus tenzorhoz (az x0=t, x1=r, x2=𝜃, x3=φ koordinátákban) kis nem diagonális komponenseket adunk:[187]

12.92. egyenlet - (104.1)

g 0 3 = 2 k J r sin 2 𝜃

(lásd a  105. §-t követő feladatot). Ez a kifejezés (külső térben) igaz marad a testnek a gravitációs sugárhoz való közeledésekor is, ezért a lassan forgó kollapszár gravitációs tere (a kis J impulzusmomentum szerint vett első közelítésben) a kis (104.1) járulékkal korrigált gömbszimmetrikus Schwarzschild-féle tér lesz. Ez a tér már nem sztatikus, csupán stacionárius.

Ha lehetséges gravitációs kollapszus a gömbszimmetria kis sérülése mellett, akkor létezhet ugyanilyen jellegű kollapszus (a test eseményhorizont alá való jutásával) olyan véges tartományban is, ahol a gömbszimmetriától lényeges eltérés mutatkozik; e tartományt meghatározó feltételeket a mai napig még nem sikerült megállapítani. E feltételektől függetlenül úgy tűnik, azt lehet mondani, hogy egy ilyen kollapszus eredményeképpen létrejött képződmény (a forgó fekete lyuk) tulajdonságai a külső megfigyelő szempontjából függetlenek az eredeti test jellemzőitől, kivéve a test m teljes tömegét és J impulzusmomentumát.[188] Ha a test mint egész nem forog (J=0), akkor a feket lyuk külső gravitációs tere gömbszimmetrikus Schwarzschild-tér.[189]

Ugyanakkor a forgó kollapszár gravitációs terét a tengelyszimmetrikus és stacionárius Kerr-metrika adja meg:[190]

12.93. egyenlet - (104.2)

d s 2 = 1 r g r ϱ 2 d t 2 ϱ 2 Δ d r 2 ϱ 2 d 𝜃 2 r 2 + a 2 + r g r a 2 ϱ 2 sin 2 𝜃 sin 2 𝜃 d φ 2 + 2 r g r a ϱ 2 sin 2 𝜃 d φ d t .

Itt bevezettük a

12.94. egyenlet - (104.3)

Δ = r 2 r g r + a 2 , ϱ 2 = r 2 + a 2 cos 2 𝜃

jelölést, rg pedig most is rg=2mk. Ez a metrika két állandó paramétertől függ, m-től és a-tól, amelyek jelentése a metrika nagy r távolságokban való aszimptotikus viselkedéséből olvasható le. Az ∼1∕r rendű tagokig vett pontossággal fennáll, hogy

g001rgr,g03rgarsin2𝜃;

az első kifejezést (100.18)-cal, a másodikat (104.1)-gyel összehasonlítva, azt kapjuk, hogy m a test tömege, az a paraméter pedig a J impulzusmomentummal áll kapcsolatban:

12.95. egyenlet - (104.4)

J = m a

(a szokásos egységekben J=mac). a=0 esetén a Kerr-metrika átmegy a Schwarz-schild-metrika (100.14) standard alakjába.[191]

Figyeljük meg, hogy a (104.2) kifejezés szembetűnő invarianciát mutat az időtükrözéssel szemben: a t→–t transzformáció a forgás irányát, tehát az impulzusmomentum előjelét (a→–a) is megváltoztatja, a ds2 azonban változatlan marad.

A metrikus tenzor determinánsa (104.2) alapján:

12.96. egyenlet - (104.5)

g = ϱ 4 sin 2 𝜃 .

Megadjuk a gik kontravariáns komponenseket is. Ezekkel a négyesgradiens-operátor négyzete így írható:

12.97. egyenlet - (104.6)

g i k x i x k = 1 Δ r 2 + a 2 + r g r a 2 ϱ 2 sin 2 𝜃 t 2 Δ ϱ 2 r 2 1 ϱ 2 𝜃 2 1 Δ sin 2 𝜃 1 r g r ϱ 2 φ 2 + 2 r g r a ϱ 2 Δ φ t .

m=0 esetén, amikor nincs gravitáló tömeg, a (104.2) metrikának Galilei-alakúra kell egyszerűsödnie. Valóban, a

12.98. egyenlet - (104.7)

d s 2 = d t 2 ϱ 2 r 2 + a 2 d r 2 ϱ 2 d 𝜃 2 ( r 2 + a 2 ) sin 2 𝜃 d φ 2

kifejezés tulajdonképpen a

ds2=dt2dx2dy2dz2

Galilei-metrika, belapult térbeli szferoidális koordinátákban; ezek az alábbi képletekkel transzformálhatók Descartes-koordinátákba:

x=r2+a2 sin𝜃cosφ,y=r2+a2 sin𝜃sinφ,z=rcos𝜃.

Az r=const felület belapult forgási ellipszoid:

x 2 + y 2 r 2 + a 2 + x 2 a 2 = 1 .

(104.2) metrikának a (100.14) Schwarzschild-metrikához hasonlóan r=rg-nél fiktív szingularitása van. A Schwarzschild-esetben azonban az r=rg felületen egyidejűleg válik g00 zérussá, g11 pedig végtelenné, a Kerr-metrikában viszont e két felület különböző. A g00=0 egyenlőség ϱ2=rrg-nél áll fenn; e másodfokú egyenlet nagyobbik gyöke:

12.99. egyenlet - (104.8)

r 0 = r g 2 + r g 2 2 a 2 cos 2 𝜃 ( g 0 0 = 0 ) .

g 11 viszont akkor válik végtelenné, amikor Δ=0, az egyenlet nagyobbik gyöke ilyenkor

12.100. egyenlet - (104.9)

r hor = r g 2 + r g 2 2 a 2 ( g 1 1 = ) .

Jelöljük az r=r0 és r=rhor, felületeket a rövidség kedvéért S0-val illetve Shor-ral. Ezek fizikai jelentését rövidesen tisztázzuk. Az Shor felület gömb, S0 pedig egy belapult forgási idom. Shor az S0 felület belsejében van, a két felület két pontban (𝜃=0 és 𝜃=π) érintkezik egymással.

Amint a (104.8) és (104.9) összefüggésekből leolvasható, az S0 és Shor felületek csak a≤rg∕2 esetén léteznek. a>rg∕2 esetén a (104.2) metrika jellege gyökeresen megváltozik, fizikailag nem megengedhető, az okság elvét sértő tulajdonságokat vesz fel.[192]

Az a tény, hogy a Kerr-metrika a>rg∕2 esetén értelmét veszíti, azt jelenti, hogy az

12.101. egyenlet - (104.10)

a max = r g 2 , J max = m r g 2

érték a fekete lyuk impulzusmomentuma lehetséges értékeinek felső határát adja. amax-ot minden bizonnyal aszimptotikus értéknek kell tekinteni, amelyhez tetszőlegesen közel juthatunk, de az a=amax pontos értéket nem érhetjük el. Az S0 és Shor felületek sugarainak megfelelő aszimptotikus értékei:

12.102. egyenlet - (104.11)

r 0 = r g 2 ( 1 + sin 𝜃 ) , r hor = r g 2 .

Megmutatjuk, hogy az Shor felület az eseményhorizontot adja, amely a mozgó részecskéket és a fénysugarakat csak egy irányban, befelé engedi át.

Előbb általánosan megmutatjuk, hogy minden fényszerű hiperfelület (amelynek normálisa a felület minden pontjában nulla-négyesvektor) rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy csak egy irányban engedi át a mozgó részecskék világvonalait. Adjunk meg egy hiperfelületet az f(x0,x1,x2,x3)=const egyenlettel. E felület normálisának iránya megegyezik azaz ni=∂f∕∂xi négyesgradiens irányával, így fényszerű felületre fennáll az nini=0 egyenlőség. Más szóval ez azt jelenti, hogy a normális iránya magában a hiperfelületben fekszik: a hiperfelület mentén df=nidxi=0, és ez a feltétel teljesül, ha a dxi és ni négyesvektorok irányai megegyeznek. Ekkor az nini=0 tulajdonság miatt a hiperfelületen ugyanabban az irányban vett ds hosszúságelem zérus, vagyis ebben az irányban a hiperfelület az adott pontban érinti az e ponthoz tartozó fénykúpot. Tehát a fényszerű hiperfelület minden egyes pontjából (mondjuk a jövő irányába) kiinduló fénykúpok teljes egészében a hiperfelület egyik oldalán helyezkednek el, a hiperfelületet (az illető pontokban) egyik alkotójuk mentén érintve. Ez a tulajdonság viszont éppen azt jelenti, hogy a részecskék vagy fénysugarak (jövőbe irányított) világvonalai a hiperfelületet csak az egyik irányból keresztezhetik.

A fényszerű felületek tárgyalt tulajdonságának fizikai tartalma rendszerint triviális: az e felületeken való egyirányú áthaladás egyszerűen azt fejezi ki, hogy a fénysebességnél nagyobb sebességgel való mozgás nem lehetséges (a legegyszerűbb példát erre a nem görbült téridő x=t hiperfelülete szolgáltatja). Új, nem triviális fizikai helyzettel állunk szemben, amikor a fényszerű hiperfelület nem terjed ki a térbeli végtelenre, hanem a t=const felülettel való metszete zárt térbeli felületet alkot. Ezek a felületek éppen az eseményhorizontok, olyan értelemben, ahogyan gömbszimmetrikus gravitációs tér esetén a Schwarzschild-gömbre leírtuk.

A Kerr-térben az Shor felület éppen ilyen. Valóban, az f(r,𝜃) Kerr-térbeli hiperfelületre az nini=0 feltétel

12.103. egyenlet - (104.12)

g 1 1 f r 2 + g 2 2 f 𝜃 2 = 1 ϱ 2 Δ f r 2 + f 𝜃 2 = 0

alakú [gik-t (104.6)-ból vettük]. Ez az egyenlet nem teljesül S0-n, de teljesül Shor-on (amelyre ∂f∕∂𝜃=0, Δ=0).

A Kerr-metrikának a horizontfelület belsejébe való folytatása (ahogyan ezt a Schwarzschild-metrikára is bemutattuk a  102103. §-okban) fizikailag értelmetlen. Egy ilyen folytatás csak ugyanattól a két paramétertől (m-től és a-tól) függene, amelytől az Shor-on kívüli tér is függ, és már ebből nyilvánvaló, hogy a folytatásnak nincs semmi köze a kollapszust szenvedő test eseményhorizont alá jutását követő sorsának fizikai problematikájához. A gömbszimmetriától való eltérést adó effektusok az együttmozgó vonatkoztatási rendszerben egyáltalán nem alszanak ki, éppen ellenkezőleg, a test további összehúzódásakor növekednek. Ezért semmilyen okunk sincs azt várni, hogy a horizont alatt csupán a test össztömege és impulzusmomentuma határozza meg a teret.[193]

Térjünk rá most az S0 felület, továbbá az S0 és a horizont közötti tér tulajdonságainak vizsgálatára (a Kerr -tér e tartományát ergoszférának nevezzük).

Az ergoszféra alaptulajdonsága, hogy benne egyetlen részecske sem maradhat nyugalomban a távoli megfigyelő vonatkoztatási rendszerében: ha r,𝜃,φ=const, akkor ds2<0, tehát az ívelemnégyzet nem időszerű, bár ezt egy részecske világvonala esetén mindig elvárjuk; a t változó elveszíti időjellegét. Egy merev vonatkoztatási rendszer tehát nem terjedhet ki a végtelentől az ergoszféra belsejéig, és ebben az értelemben S0-t a stacionaritás határfelületének nevezhetjük.

Az ergoszférában szükségképpen mozgó részecskék mozgásának jellege lényegesen más, mint a Schwarzschild-térben az eseményhorizont belsejében végbemenő mozgásé. Az utóbbi esetben a részecskék szintén nem lehetnek nyugalomban a külső vonatkoztatási rendszerhez képest, mégpedig úgy, hogy r=const számukra lehetetlen: az összes részecskének sugárirányban, a centrum felé kell mozognia. A Kerr-tér ergoszférájában ugyanakkor φ=const lehetetlen (a részecskéknek szüntelenül keringeniük kell a tér szimmetriatengelye körül), r=const azonban megengedett. Ezen túlmenően, a részecskék (és fénysugarak) mozgása egyaránt járhat r növelésével és csökkenésével, miközben ki is jutnak az ergoszférából a külső térbe. Ezzel a jelenséggel összhangban a külső térből érkező részecske elérheti az ergoszférát: ilyen részecske (vagy fénysugár) S0-ra jutásának távoli megfigyelő által mért t ideje az egész S0-ra véges, kivéve azt a két pólust, amelyben S0 érinti Shor-t. E pontok elérésének ideje, akárcsak az egész Shor eléréséé, az előzőekkel egyezésben végtelen.[194]

Tekintettel arra, hogy a részecske keringése az ergoszférában elkerülhetetlen, a metrikát ebben a tartományban kézenfekvő módon az alábbi alakban adhatjuk meg:

12.104. egyenlet - (104.13)

d s 2 = g 0 0 g 0 3 2 g 3 3 d t 2 + g 1 1 d r 2 + g 2 2 d 𝜃 2 + g 3 3 d φ + g 0 3 g 3 3 d t 2 .

Itt dt2 együtthatója:

g00g032g33=Δr2+a2+rgra2 sin2𝜃ϱ2.

Ez Shor-on kívül mindenütt pozitív (és nem válik zérussá S0-on); az r=const, 𝜃=const, dφ=–(g03∕g33) dt értékekhez tartozó ds ívelem időszerű. A

12.105. egyenlet - (104.14)

g 0 3 g 3 3 = r g a r ϱ 2 ( r 2 + a 2 ) + r g r a 2 sin 2 𝜃

mennyiség az „ergoszféra forgásának szögsebessége” külső vonatkoztatási rendszerben. (A forgás iránya megegyezik a központi test forgásának irányával.)[195]

A részecske energiája (amit úgy definiáltunk, mint a hatásnak a pálya mentén szinkronizált órák τ sajátideje szerint képzett –∂S∕∂τ deriváltját, 88. §) mindig pozitív. De a  88. §-ban tisztáztuk, hogy a t időtől független térben való mozgásakor a –∂S∕∂t differenciálhányadossal definiált ℰ0 energia megmarad; ez a mennyiség megegyezik a négyesimpulzus p0=mu0=mg0idxi kovariáns komponensével (itt m a részecske tömege). Az a tény, hogy a t változónak (a távoli megfigyelő órái által jelzett időnek) nincs időjellege, sajátos helyzetre vezet: ebben a tartományban g00<0, és ezért az

0 = m ( g 0 0 u 0 + g 0 3 u 3 ) = m g 0 0 d t d s + g 0 3 d φ d s

mennyiség negatív lehet. Az ℰ0 energia nem lehet negatív a külső térben, ahol t időváltozó, ezért az ℰ0<0 energiájú részecske kívülről nem juthat be az ergoszférába. Ilyen részecskék keletkezésére lehetőség van például akkor, amikor a test ergoszférájába repülő részecske, mondjuk, két részre bomlik, és egyikük „negatív energiájú” pályán befogódik. Ez a rész már nem tud kijönni az ergoszférából, és végül a horizont belsejébe kerül. A másik rész ugyanakkor visszatérhet a külső térbe; mivel ℰ0 additíven megmaradó mennyiség, a második rész energiája ekkor nagyobb lesz, mint e kezdeti test energiája volt. Ezáltal a forgó fekete lyukból energiát nyerünk (R. Penrose, 1969).

Végül megjegyezzük, hogy bár S0 a téridőmetrikának nem szinguláris felülete, ilyenkor a tisztán térbeli metrika a (104.2) rendszerben szinguláris. S0-n kívül, ahol t változó időjellegű, a térbeli metrikus tenzor a (84.7) képlet szerint számítható ki, és a térbeli ívelem

12.106. egyenlet - (104.15)

d l 2 = ϱ 2 Δ 2 d r 2 + ϱ 2 d 𝜃 2 + Δ sin 2 𝜃 1 r r g ϱ 2 d φ 2

alakú. S0 közelében a 𝜃=const, r=const párhuzamos kontúrok hossza a 2πasin2𝜃∕√(g00) törvény szerint végtelenhez tart. Ugyanekkor végtelenhez tart az e zárt kontúrok mentén szinkronizált órák állásai közötti különbség is [lásd (88.5)-öt].

Feladatok

1. Válasszuk szét a változókat a Kerr-térben mozgó részecske Hamilton–Jacobi-egyenletében (B. Carter, 1968).

Megoldás.(104.6) alapján gik-val felírt Hamilton–Jacobi-egyenlet:

g i k S x i S x k m 2 = 0 .

(Itt m a részecske tömege, ez nem tévesztendő össze a központi test tömegével!) Ebben az egyenletben a t idő és a φ szög ciklikus változók; ezért az S hatásban –ℰ0t+Lφ alakban szerepelnek, ahol ℰ0 a megmaradó energia, L-lel pedig a részecske impulzusmomentumának a tér szimmetriatengelyének irányába eső komponensét jelöljük. Bebizonyítható, hogy a 𝜃 és r változók szintén szétválaszthatók. S-et

12.107. egyenlet - (1)

S = 0 t + L φ + S ( r ) + S 𝜃 ( 𝜃 )

alakba írva, a Hamilton–Jacobi-egyenlet két közönséges differenciálegyenletre esik szét (lásd az I. kötet 48. §-át):

12.108. egyenlet - (2)

d S 𝜃 d 𝜃 2 + α 0 sin 𝜃 L sin 𝜃 2 + a 2 m 2 cos 2 𝜃 = K , d S r d r 2 1 Δ [ ( r 2 + a 2 ) 0 a L ] 2 + m 2 r 2 = K ,

ahol a K szétválasztási paraméter tetszőleges új állandó. Ebből S𝜃 és Sr egyszerű integrálással meghatározható.

A részecske négyesimpulzusa:

p i = m d x i d s = g i k p k = g i k S x k .

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalát (1) és (2) segítségével kiszámítva, a következő egyenleteket kapjuk:

mdtds=rgraϱ2ΔL+0Δr2+a2+rgra2ϱ2 sin2𝜃,(3)mdφds=LΔsin2𝜃1rgrϱ2+rgraϱ2Δ0,(4)m2drds2=1ϱ4[(r2+a2)0aL]2Δϱ4(K+m2r2),(5)m2d𝜃ds2=1ϱ4(Ka2m2 cos2𝜃)1ϱ4a0 sin𝜃Lsin𝜃2.(6)

Ezek az egyenletek a mozgásegyenleteknek (a geodetikus vonalak egyenleteinek) az első integráljai. A pályaegyenlet és a koordináták időfüggése vagy a (3)(6) képletekből, vagy közvetlenül a

S 0 = c o n s t , S L = c o n s t , S K = c o n s t

egyenletekből határozható meg. Fényjelek esetén a (3)(6) egyenletek jobb oldalán m=0-t, ℰ0 helyett ω0-t kell helyettesítenünk (vesd össze a  101. §-ban mondottakkal), a bal oldalon pedig az md∕ds derivált helyét a sugár mentén változó λ paraméter szerinti d∕dλ differenciálás foglalja el (lásd a  87. § végét).

(4)(6) egyenletek tisztán sugárirányú mozgást csupán a test forgástengelye mentén engednek meg, amint ez már szimmetriamegfontolásokból is látható. Ugyanezekből a megfontolásokból következik az is, hogy „sík mozgás” csak akkor lehetséges, ha ez a sík az egyenlítő síkja. Az utóbbi esetben 𝜃=π∕2-t véve, és felhasználva a d𝜃∕ds=0 feltételt, valamint K-t ℰ0 és L által kifejezve, a mozgásegyenleteket az

mdtds=rgarΔL+0Δr2+a2+rga2r,(7)mdφds=LΔ1rgr+rgarΔ0,(8)m2drds2=1r4[(r2+a2)0aL]2Δr4[(a0L)2+m2r2],(9)

alakban kapjuk.

2. Határozzuk meg az aszimptotikus Kerr-tér egyenlítői síkjában (a→rg∕2) mozgó részecske középponthoz legközelebb eső stabil körpályájának sugarát (R. Ruffini, J. A. Wheeler, 1969).

Megoldás.102. § 1. feladata megoldásához hasonlóan járva el, bevezetjük az U(r) „effektív potenciális energiát”, amelyet az

[ ( r 2 + a 2 ) U ( r ) a L ] 2 Δ [ ( a U ( r ) L ) 2 + r 2 m 2 ] = 0

egyenlettel definiálunk. [ℰ0=U esetén a (9) egyenlet jobb oldala zérussá válik.] A stabil pályák sugarait az U(r) függvény minimumai, tehát az U(r)=ℰ0, U′(r)=0 egyenletek közös megoldásai határozzák meg U″(r)≥0 mellett. A középponthoz legközelebb eső pályának az U″(rmin)=0 egyenlőség felel meg; r<rmin esetén az U(r) függvénynek nincsenek minimumai. Eredményül a mozgás paramétereire a következő értékek adódnak:

a) Ha L<0, tehát a részecske a fekete lyuk forgási irányával ellentétes irányban mozog, akkor

r min r g = 9 2 , 0 m = 5 3 3 , L m r g = 1 1 3 3 .

b) L>0 esetén (a fekete lyuk forgási irányával egyező mozgásnál) az a→rg∕2 határesetben az rmin sugár az eseményhorizont sugarához tart. a=(1/2)rg(1+δ) behelyettesítésével δ→0 esetén azt kapjuk, hogy

r hor r g = 1 2 ( 1 + 2 δ ) , r min r g = 1 2 [ 1 + ( 4 δ ) 1 3 ] .

Ekkor

0 m = L m r g = 1 3 [ 1 + ( 4 δ ) 1 3 ] .

Figyeljük meg, hogy mindig érvényes marad az rmin∕rhor>1 egyenlőtlenség, tehát a pálya a horizonton kívül van. Így is kell lennie: a horizont egy olyan fényszerű hiperfelület, amelyben nem fekhetnek mozgó részecskék időszerű világvonalai.



[184] A nem stacionárius, végtelen, homogén anyageloszlásban levő perturbációk fejlődését a  115. §-ban vizsgáljuk meg (az ott kapott képletek egyaránt érvényesek a kitágulás és az összehúzódás eseteire). A nem perturbált eloszlás inhomogenitása vagy a test végessége ezeket az állításokat nem változtatja meg.

[185] Lásd T. Regge, J. A. Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957). Hangsúlyozzuk, hogy olyan perturbációkról van szó, amelyek magától a központi testtől erednek. A végtelenben való viselkedésre kirótt feltétel kizárja azt az esetet, amikor a sztatikus perturbációk külső forrásokból származnak: ilyen esetekben a gyenge perturbációk egy kissé eltorzítják a Schwarzschild-gömböt, de nem változtatják meg kvalitatív tulajdonságait, és nem hoznak létre rajta valódi téridő-szingularitást.

[186] E kialvás törvényét illetően lásd R. H. Price, Phys. Rev. D 5, 2419, 2439 (1972). A külső gravitációs tér kezdeti sztatikus, l-pólus perturbációi 1∕t2l+2 szerint csökkennek a kollapszus során.

[187] Ebben a szakaszban c=1 egységrendszert használunk.

[188] A félreértések elkerülése végett megemlítjük, hogy nem vizsgálunk olyan testeket, amelyeknek nem kompenzált elektromos töltésük van.

[189] Ezt az állítást lényegesen megerősíti Israel következő tétele: az Einstein-egyenletek összes, zárt, egyszeresen összefüggő térszerű felületekkel (g00=const, t=const) rendelkező, a végtelenben Galilei-féle megoldásai közül egyedül a Schwarzschild-féle megoldásnak van olyan horizontja (g00=0), amelyen nincs a téridő-metrikának szingularitása. [Ennek az állításnak a bizonyítását illetően lásd W. Israel cikkét: Phys. Rev. 164, 1776 (1967).]

[190] Az Einstein-egyenleteknek ezt a megoldását más alakban Kerr adta meg (R. Kerr, 1963), a (104.2) alakra Boyer és Lindquist hozta (R. H. Boyer, R. W. Lindquist, 1967). Az irodalomban nem létezik a (104.2) metrika fizikai jelentésének megfelelő, konstruktív analitikus levezetése, az Einstein-egyenletek e megoldásának közvetlen ellenőrzése is igen bonyolult számításokkal jár. A Kerr-metrikának mint a forgó fekete lyuk terének unicitására vonatkozó állítást a fentebb említett, a Schwarzschild-térre vonatkozó Israel-féle tételhez hasonló tétel erősíti meg [lásd B. Carter cikkét, Phys. Rev. Lett. 26, 331 (1971)].

[191] a-ban elsőrendű tagokig vett pontossággal a (104.2) metrika a≪1 esetén csupán a (2rga∕r)sin2𝜃dφdt tagban különbözik a Schwarzschild-metrikától – összhangban a gömbszimmetriától való kis eltérés esetével kapcsolatban mondottakkal.

[192] Ezek az okság elvét sértő tulajdonságok zárt időszerű világvonalak megjelenésében mutatkoznak meg; ilyen világvonalak segítségével lehetséges volna a jövő felé elindulni, és később a múltba visszatérni. Azonnal megjegyezzük, hogy ilyenféle sértés fellép már a<rg∕2 esetén is, ha a Kerr-metrikát az Shor alá folytatjuk, ami arról tanúskodik, hogy Shor belsejében e metrika fizikailag nem alkalmazható (erre az alábbiakban még visszatérünk). Ugyanebből az okból nem érdekesek fizikailag azok a felületek, amelyeket a g00=0 és 1∕g11=0 másodfokú egyenletek kisebbik gyökei határoznak meg, és amelyek Shor belsejében vannak; lásd B. Carter, Phys. Rev. 174, 1559 (1968) cikkét.

[193] Matematikai szempontból ez úgy jelentkezik, hogy, mint már említettük, a Kerr-metrikának az Shor belsejébe való folytatásánál sérül az okság elve.

[194] Végtelen lehet az S0 egyes pontjaiba jutás ideje a részecske energiájának és impulzusmomentumának speciális értékeinél, amikor a sugárirányú sebesség az S0 adott pontjában zérus.

[195] Vegyük észre, hogy az ergoszféra határa mentén mozgó részecskék sajátidő-intervallumai nem válnak zérussá g00 eltűnésével. Ebben az értelemben S0 nem tekinthető a „végtelen vöröseltolódás” felületének; az S0-ról mozgó források által (itt nincsenek nyugvó források!) kibocsátott és a távoli megfigyelő által megfigyelt fényjelek frekvenciái nem válnak zérussá. Megjegyezzük, hogy gömbszimmetrikus térben a Schwarzschild-felületen nincsenek sem mozgó, sem nyugalomban levő források (a fényszerű hiperfelület nem tartalmazhat időszerű világvonalakat). A „végtelen vöröseltolódás” ebben az esetben akkor következik be, ha (adott dt mellett) r→rg esetén a vonatkoztatási rendszerhez képest nyugvó órákkal mért sajátidő-intervallumok, dτ=√(g00) dt zérushoz tartanak.