Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

96 §. A gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora

96 §. A gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzora

Ha gravitációs tér nincs, az anyag (beleértve az elektromágneses erőteret is) energiájának és impulzusának megmaradását a

T i k x k = 0

egyenlet fejezi ki. Ennek az egyenletnek gravitációs tér jelenlétében is érvényes általánosítása a

11.69. egyenlet - (96.1)

T i ; k k = 1 g ( T i k g ) x k 1 2 g k l x i T k l = 0

egyenlet. Ez az egyenlet azonban ilyen alakban általában semminek sem fejezi ki a megmaradását.[142]

Ez a körülmény azzal kapcsolatos, hogy gravitációs térben nem a gravitáló anyag négyesimpulzusának, hanem az anyag és a gravitációs tér együttes négyesimpulzusának kell megmaradnia; az utóbbit a Tik-re adott kifejezés nem veszi figyelembe.

A gravitációs tér és a benne levő anyag megmaradó, teljes négyesimpulzusának meghatározása céljából a következőképpen járunk el (L. D. Landau, E. M. Lifsic, 1947).[143] Válasszuk meg úgy a koordináta-rendszert, hogy a téridő valamilyen kiszemelt pontjában a gik mennyiségek koordináták szerinti összes első deriváltja zérus legyen. (Maguknak a gik-knak nem kell feltétlenül Galilei-félének lenniük.) Ekkor a kiszemelt pontban a (96.1) egyenlet második tagja eltűnik, az első tagban pedig √(–g) kihozható a deriválás jele elé, és így a

x k T i k = 0

egyenlet érvényben marad; ugyanez kontravariáns komponensekben:

x k T i k = 0

Az ezeket az egyenleteket azonosan kielégítő Tik mennyiségeket

T i k = x l η i k l

alakban adhatjuk meg, ahol az ηikl-ek a k, l indexekben antiszimmetrikus mennyiségek:

η i k l = η i l k .

Nem nehéz Tik-t expliciten ilyen alakra hozni. Induljunk ki a téregyenletekből:

T i k = c 4 8 π k R i k 1 2 g i k R ,

(92.1) szerint pedig

R i k = 1 2 g i m g k p g l n 2 g l p x m x n + 2 g m n x l x p 2 g l n x m x p 2 g m p x l x n

(emlékeztetünk arra, hogy a vizsgált pontban az összes Γkli=0). Egyszerű transzformációk után a Tik tenzort

T i k = x l c 4 1 6 π k 1 ( g ) x m [ ( g ) ( g i k g l m g i l g k m ) ]

alakra hozhatjuk.

A kapcsos zárójelben álló kifejezés a k, l indexekben antiszimmetrikus, és megegyezik azzal, amit korábban ηikl-lel jelöltünk. Mivel gik első deriváltjai a vizsgált pontban nullák, az 1∕(–g) faktort kihozhatjuk a ∂∕∂xl deriválási jel alól. Vezessük be a

11.70. egyenlet - (96.2)

b i k l = x m λ i k l m

és a

11.71. egyenlet - (96.3)

λ i k l m = c 4 1 6 π k ( g ) ( g i k g l m g i l g k m )

jelöléseket; bikl-ek a k, l indexekben antiszimmetrikus mennyiségek:

11.72. egyenlet - (96.4)

b i k l = b i l k .

Ekkor azt írhatjuk, hogy

biklxl=(g)Tik.

Ez (∂gik/∂xl)=0 feltevéssel levezetett összefüggés nem marad érvényes tetszőleges koordináta-rendszerre való áttéréskor. Az (∂bikl/∂xl)–(–g)Tik különbség általános esetben nem tűnik el. A különbséget jelöljük (–g)tik-val. Ekkor definíciószerűen:

11.73. egyenlet - (96.5)

( g ) ( T i k + t i k ) = b i k l x l .

A tik mennyiségek az i, k indexekben szimmetrikusak:

11.74. egyenlet - (96.6)

t i k = t k i .

Ez a definíciójukból közvetlenül leolvasható, mivel mind a Tik tenzor, mind a ∂bikl∕∂xl deriváltak szimmetrikus mennyiségek.[144]Tik az Einstein-egyenletek segítségével Rik-val fejezhető ki. Így az alábbi azonosságot kapjuk:

11.75. egyenlet - (96.7)

( g ) c 4 8 π k R i k 1 2 g i k R + t i k = b i k l x l .

Ebből meglehetősen hosszú számolás után tik-ra az adódik, hogy

11.76. egyenlet - (96.8)

t i k = c 4 1 6 π k { ( 2 Γ l m n Γ n p p Γ l p n Γ m n p Γ l n n Γ m p p ) ( g i l g k m g i k g l m ) + g i g m n ( Γ l p k Γ m n p + Γ m n k Γ l p p Γ n p k Γ l m p Γ l m k Γ n p p ) + g k l g m n ( Γ l p i Γ m n p + Γ m n i Γ l p p Γ n p i Γ l m p Γ l m i Γ n p p ) + g l m g n p ( Γ l n i Γ m p k Γ l m i Γ n p k ) } ,

vagy közvetlenül a metrikus tenzor komponenseinek deriváltjaival

11.77. egyenlet - (96.9)

( g ) t i k = c 4 1 6 π k 𝔤 i k , l 𝔤 l m , m 𝔤 i l , l 𝔤 k m , m + 1 2 g i k g l m 𝔤 l n , p 𝔤 p m , n ( g i l g m n 𝔤 k n , p 𝔤 m p , l + g k l g m n 𝔤 i n , p 𝔤 m p , l ) + g l m g n p 𝔤 i l , n 𝔤 k m , p + 1 8 ( 2 g i l g k m g i k g l m ) ( 2 g n p g q r g p q g n r ) 𝔤 n r , l 𝔤 p q , m ,

ahol 𝔤ik=√(–g)gik, az ≪, i≫ index pedig közönséges deriváltat jelöl xi szerint.

A tik mennyiségek lényeges tulajdonsága, hogy nem képeznek tenzort; ez már abból is látható, hogy ∂bikl∕∂xl-ben közönséges és nem kovariáns derivált szerepel. Ugyanakkor a tik-k kifejezhetők a Γkli mennyiségek segítségével, az utóbbiak pedig a koordináták lineáris transzformációi esetén tenzorként viselkednek (lásd a  85. §-t), tehát ugyanez érvényes tik-ra is.

(96.5) definícióból az is következik, hogy a Tik+tik összeg azonosan eleget tesz a

11.78. egyenlet - (96.10)

x k ( g ) ( T i k + t i k ) = 0

egyenleteknek. Ez azt jelenti, hogy a

11.79. egyenlet - (96.11)

P i = 1 c ( g ) ( T i k + t i k ) d S k

mennyiségre megmaradási törvény érvényes.

Ha nincs gravitációs tér, Galilei-koordinátákban tik=0, a (96.11) integrál pedig ∫(–g)TikdSk-ba megy át, ami az anyag négyesimpulzusa. Ezért a (96.11) mennyiségeket a gravitáló anyag és gravitációs tér eredő négyesimpulzusával azonosíthatjuk. A tik mennyiségek összességét a gravitációs tér energia-impulzus pszeudotenzorának nevezzük.

(96.11)-ben szereplő integrálást elvégezhetjük bármilyen végtelen hiperfelületre, amely tartalmazza a háromdimenziós teret. Ha az x0=const hiperfelületet választjuk, akkor Pi felírható háromdimenziós térfogati integrál alakjában:

11.80. egyenlet - (96.12)

P i = 1 c ( g ) ( T i 0 + t i 0 ) d V .

Rendkívül lényeges az a tény, hogy az anyag és a tér teljes négyesimpulzusát az i és k indexeikben szimmetrikus mennyiségekre vett integrálok alakjában lehet kifejezni. Ez azt jelenti, hogy megmarad a négyes impulzusmomentum, amelyet az alábbi kifejezés definiál (lásd a  32. §-t):[145]

11.81. egyenlet - (96.13)

J i k = ( x i d P k x k d P i ) = 1 c [ x i ( T k l + t k l ) x k ( T i l + t i l ) ] ( g ) d S l .

Ily módon az általános relativitáselméletben is megmarad a gravitációs terek zárt rendszerének teljes impulzusmomentuma, ezenkívül az egyenletes mozgást végző tömegközéppont ugyanúgy definiálható, mint korábban. Ez utóbbi a J0α komponenseknek megmaradásával kapcsolatos, amit az alábbi egyenletek fejeznek ki(lásd a  14. §-t):

x0(Tα0+tα0)(g)dVxα(T00+t00)(g)dV=const,

így a tömegközéppont koordinátáit az

11.82. egyenlet - (96.14)

X α = x α ( T 0 0 + t 0 0 ) ( g ) d V ( T 0 0 + t 0 0 ) ( g ) d V

képletek adják meg.

Az adott térfogatelemben inerciális koordináta-rendszert választva, a téridő bármely pontjában az összes tik mennyiséget zérussá tehetjük (eközben természetesen az összes Γkli is zérussá válik). Másrészről tik-nak zérustól különböző komponensei lehetnek euklideszi, azaz gravitációmentes térben, ha Descartes-koordináták helyett közönséges görbevonalúakat használunk. Ezért mindenesetre értelmetlen arról beszélni, hogy a gravitációs tér energiája a térben lokalizált. Ha a Tik tenzor zérus valamely világpontban, ez bármely vonatkoztatási rendszerben is igaz, ezért mondhatjuk, hogy ebben vagy abban a pontban nincs anyag, nincsen elektromágneses tér. Ezzel ellentétben, abból, hogy egy speciális vonatkoztatási rendszert alkalmazva, a pszeudotenzor valamely pontban zérussal egyenlő, egyáltalán nem következik, hogy ugyanott eltűnik egy másik vonatkoztatási rendszer használata esetén is. Ezért értelmetlen arról beszélni, hogy egy adott pontban van-e gravitációs energia. Ez teljesen megfelel annak, hogy a koordináták alkalmas megválasztásával az adott térfogatelemben a gravitációs teret meg lehet „szüntetni”, hiszen a fentebb mondottak szerint ezzel egyidejűleg ugyanabban az elemben a tik pszeudotenzor is zérussá válik.

Ugyanakkor a tér és anyag együttes Pi négyesimpulzusának teljesen határozott jelentése van, amely láthatóan olyan mértékben független a vonatkoztatási rendszer megválasztásától, amilyen mértékben fizikai meggondolások alapján függetlennek kell lennie.

Vegyünk fel a vizsgált tömegek körül egy olyan nagy tértartományt, hogy a gravitációs tér a tartományon kívül elhanyagolhatóan kicsi legyen. A négydimenziós téridőben ez a tartomány az idő múlásával egy „csatornát” metsz ki. E „csatornán” kívül nincs erőtér, úgyhogy a négyestér sík. Ebből következően az erőtér energiájának és impulzusának kiszámításakor a vonatkoztatási rendszert úgy kell megválasztanunk, hogy az a „csatornán” kívül Galilei-féle legyen, és minden tik eltűnjön.

Ez a követelmény természetesen még egyáltalán nem határozza meg egyértelműen a vonatkoztatási rendszert, azt a csatorna belsejében tetszőlegesen választhatjuk. A Pi mennyiségek fizikai jelentésével teljes egyezésben azonban azok teljesen függetlenek attól, hogy hogyan választottuk meg a koordináta-rendszert a „csatorna” belsejében. Valóban, vizsgáljunk két olyan koordináta-rendszert, amely a „csatornán” kívül ugyanabba a Galilei-féle koordináta-rendszerbe megy át, a „csatornán” belül azonban különbözik, és hasonlítsuk össze a négyesimpulzus két rendszerben adódó Pi és P′i értékeit adott x0, ill. x′0 „időpillanatokban”. Vezessünk be egy harmadik koordináta-rendszert, amely a csatorna belsejében az x0 időpillanatban az első rendszerrel, x′0 időpillanatban pedig a másodikkal esik egybe, a csatornán kívül pedig ugyanazzal a Galilei-félével. Az energia és impulzus megmaradása miatt a Pi mennyiségek állandóak (dPi∕dx0=0). Ez, akárcsak az első kettőben, igaz a harmadik koordináta-rendszerben is. Ebből következik, hogy Pi=P′i, amit bizonyítanunk kellett.

A fentiekben megjegyeztük, hogy a tik mennyiségek lineáris koordinátatranszformációk során tenzorként viselkednek. Ezért a Pi mennyiségek négyesvektort alkotnak lineáris transzformációkkal szemben, speciálisan az olyan Lorentz-transzformációkkal szemben is, amelyek a végtelenben az egyik Galilei-rendszert egy másikba viszik át.[146]

A Pi négyesimpulzust ki lehet fejezni végtelen távoli, az „egész teret” magában foglaló háromdimenziós felületre vett integrál alakjában is. (96.5)-öt (96.11)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

P i = 1 c b i k l x l d S k .

Ez az integrál a (6.17) képlet segítségével közönséges felületi integrállá alakítható:

11.83. egyenlet - (96.15)

P i = 1 2 c b i k l d f k l .

Ha (96.11)-ben integrálási tartományként az x0=const hiperfelületet választjuk, akkor (96.15)-ben az integrálási felület tisztán térszerű:[147]

11.84. egyenlet - (96.16)

P i = 1 c b i 0 α d f α .

Az impulzusmomentumra vonatkozó hasonló képlet levezetése céljából helyettesítsük (96.5)-öt (96.13)-ba, és használjuk fel bikl(96.2) alakját. Ezután parciális integrálással azt kapjuk, hogy

J i k = 1 c x i 2 λ k l m n x m x n x k 2 λ i l m n x m x n d S l = = 1 2 c x i λ k l m n x n x k λ i l m n x n d f l m 1 c δ m i λ k l m n x n δ m k λ i l m n x n d S l = = 1 2 c ( x i b k l m x k b i l m ) d f l m 1 c x n ( λ k l i n λ i l k n ) d S l .

A λiklm definíciójából könnyű belátni, hogy

λ i l k n λ k l i n = λ i l n k .

Ezért a megmaradt dSl szerinti integrál az

1 c λ i l n k x n d S l = 1 2 c λ i l n k d f l n

kifejezéssel egyenlő.

Végül, ismét tisztán térszerű integrálási felületet választva, kapjuk a végeredményt:

11.85. egyenlet - (96.17)

J i k = 1 c ( x i b k 0 α x k b i 0 α k + λ i 0 α k ) d f α .

Feladat

Határozzuk meg a (32.5) képlet felhasználásával a gravitáló anyag és gravitációs tér teljes négyesimpulzusát.

Megoldás. Görbevonalú koordináta-rendszerekben (32.1) szerepét az

S = Λ g d V d t

kifejezés veszi át, ezért a megmaradó mennyiségek meghatározásánál (32.5)-ben Λ helyett Λ√(–g)-t kell írnunk. Így a négyesimpulzus

P i = 1 c Λ g δ i k + q ( l ) x i ( g Λ ) q ( l ) x k d S k .

Ezt a képletet alkalmazzuk az anyagra, ekkor a q(l) mennyiségek nem azonosak a gik-kkal, így √(–g)-t a deriválási jelek alól kihozhatjuk. Az integrandus √(–g)Tik lesz, ahol Tik a gravitáló anyag energiai-impulzus-tenzora. Ha a fent megadott képletet gravitációs térre alkalmazzuk, akkor Λ=–(c4/16πk)G kifejezést kell vennünk, a q(l) mennyiségek pedig a metrikus tenzor gik komponenseit jelentik. Az anyag és tér teljes négyesimpulzusát tehát az alábbi képlet adja meg:

P i = 1 c T i k g d S k + c 3 1 6 π k G g δ i k g l m x i ( G g ) g l m x k d S k .

G-nek (93.3), kifejezését felhasználva, ezt a képletet az alábbi alakra lehet hozni:

P i = 1 c T i k g + c 4 1 6 π k G g δ i k + Γ l m k ( g l m g ) x i Γ m l l ( g m k g ) x i d S k .

A kapcsos zárójelekben levő második tag az anyagtól mentes gravitációs tér négyesimpulzusát határozza meg. Az integrandus nem szimmetrikus az i és k indexekben, ezért nem teszi lehetővé, hogy az impulzusmomentum megmaradásának törvényét megfogalmazzuk.



[142] Ez abból látható, hogy az ∫Tik√(–g) dSk integrál csupán a (∂√(–g)Tik/∂xk)=0 feltétel, nem pedig (96.1) teljesülése esetén marad meg. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha a  29. §-ban Galilei-koordinátákban elvégzett számításokat megismételjük görbevonalú koordinátákban. Egyébként elegendő egyszerűen azt észrevenni, hogy ezek a számítások teljesen formálisak, és függetlenek a megfelelő mennyiségek tenzortulajdonságaitól. [A Gauss-tétel bizonyítása független a változók transzformációjaitól, ezért a Gauss-tétel görbevonalú koordinátákkal megadott (83.17) alakja ugyanolyan, mint a Descartes-koordinátákkal adott egyenletét.]

[143] Felmerülhet az az ötlet, hogy alkalmazzuk gravitációs térre a (94.4) képletet, abba Λ=–c4G∕16πk-t helyettesítve. Hangsúlyozzuk azonban, hogy ez a képlet csak olyan fizikai rendszerekre érvényes, amelyek a gik-któl különböző q mennyiségekkel írhatók le; ezért nem alkalmazhatjuk a gravitációs térre, amelyet maguk a gik mennyiségek határoznak meg. Mellékesen megjegyezzük: ha (94.4)-ben Λ helyett G-t helyettesítünk, egyszerűen zérust kapunk, amint ez (95.3)-ból és a vákuumbeli téregyenletekből közvetlenül látható.

[144] Tik fenti kifejezésében éppen emiatt hoztuk ki (–g)-t az xl szerinti deriválás jele alól. Ellenkező esetben ∂bikl∕∂xl, és így tik-k sem lennének szimmetrikusak az i, k indexekben.

[145] Szükségesnek tartjuk megjegyezni, hogy az anyag és tér négyesimpulzusára általunk kapott kifejezés egyáltalán nem az egyetlen lehetőség. Ellenkezőleg, számtalan más módszerrel lehet olyan kifejezéshez jutni, amely a tér kikapcsolása esetén Tik-ba megy át, a dSk szerinti integráljai pedig megmaradó mennyiségek (lásd például az e szakaszhoz tartozó feladatot). De az általunk használt módszer az egyetlen olyan, amelynek alkalmazásával a gravitáció energiájának és impulzusának pszeudotenzora gik-nak csupán első deriváltjait (és nem magasabb rendűeket) tartalmazza (amely feltétel fizikai szempontból teljesen természetes), és emellett szimmetrikus, ezáltal lehetővé teszi az impulzusmomentum megmaradási törvényének megfogalmazását.

[146] Szigorú értelemben, a (96.11) definíció szerint, a Pi-k csak az egységnyi determinánsú lineáris transzformációkkal szemben alkotnak négyesvektort; ilyenek a fizikai szempontból érdekes Lorentz-transzformációk is. Ha meg akarunk engedni nem egységnyi determinánsú transzformációkat is, akkor Pi definíciójába a (96.11) bal oldalán be kell vezetni g végtelenbeli értékét, Pi helyett √(–g∞)Pi írva.

[147] A dfkl∗ „normális” felületelem a dfik „tangenciális” felületelemmel a (6.11) alatt megismert dfik∗=(1/2)eiklmdflm kapcsolatban van. Az x0 tengelyre merőleges hiperfelületet magában foglaló felületen csupán az l,m=1,2,3 indexű dflm komponensek különböznek zérustól, emiatt dfik∗-nak csak olyan komponensei vannak, amelyekre az i és k indexek egyike zérus. A df0∗ komponensek pedig éppen a felületelem közönséges háromdimenziós komponensei, amelyeket egyszerűen dfα-val jelölünk.