Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

92 §. A görbületi tenzor tulajdonságai

92 §. A görbületi tenzor tulajdonságai

A görbületi tenzor további szimmetriatulajdonságainak felderítése érdekében az Rklmi kevert komponensekről az

R i k l m = g i n R n k l m

kovariáns komponensekre kell áttérnünk. Egyszerű átalakítások után a következő kifejezést kapjuk:

11.10. egyenlet - (92.1)

R i k l m = 1 2 2 g i m x k x l + 2 g k l x i x m 2 g i l x k x m 2 g k m x i x l + g n p ( Γ k l n Γ i m p Γ k m n Γ i l p ) .

Ebből triviálisan következnek az

11.11. egyenlet - (92.2)

R i k l m = R k i l m = R i k m l ,

11.12. egyenlet - (92.3)

R i k l m = R l m i k

szimmetriatulajdonságok, azaz a tenzor az ik és lm indexpárjában antiszimmetrikus, e két pár egymással való felcserélésével szemben pedig szimmetrikus. Ezért Riklm-nek összes, az ik vagy lm indexpárok szerint vett diagonális eleme zérus.

Könnyen ellenőrizhetjük továbbá, hogy Riklm bármelyik három indexe szerint képzett ciklikus összeg zérussal egyenlő, például:

11.13. egyenlet - (92.4)

R i k l m + R i m k l + R i l m k = 0 .

[A többi ilyen típusú összefüggés (92.4)-ből, a (92.3) szimmetriatulajdonságok miatt, azonnal következik.]

Végül bebizonyítjuk a Bianchi-azonosságot, mely szerint

11.14. egyenlet - (92.5)

R n i k l ; m + R n i m k ; l + R n i l m ; k = 0 .

A bizonyítást célszerű lokálisan geodetikus koordináta-rendszerben elvégezni. Tenzorjellege miatt a (92.5) azonosság tetszőleges koordináta-rendszerben érvényes. A (91.4) kifejezést differenciálva, majd a vizsgált pontban Γkli=0-t helyettesítve, azt kapjuk, hogy

Rnikl;m=Rniklxm=2Γilnxmxk2Γiknxmxl.

Ennek segítségével könnyű meggyőződni arról, hogy a (92.5) azonosság valóban helyes.

A görbületi tenzorból indexegybeejtéssel képezhetünk másodrendű tenzort. Ilyenfajta indexegybeejtést azonban csak egyféleképpen hajthatunk végre: az Riklm tenzor, i és k vagy l és m indexét összeejtve, zérust kapunk, minthogy a tenzor ezekben az indexekben antiszimmetrikus. Bármilyen más indexpár összeejtésével pedig egy előjel erejéig azonos eredményt kapunk. Az Rik tenzort (az úgynevezett Ricci-tenzort) az alábbiak szerint definiáljuk:[123]

11.15. egyenlet - (92.6)

R i k = g l m R l i m k = R l i l k .

(91.4) szerint:

11.16. egyenlet - (92.7)

R i k = Γ i k l x l Γ i l l x k + Γ i k l Γ l m m Γ i l m Γ k m l .

Ez a tenzor nyilvánvalóan szimmetrikus:

11.17. egyenlet - (92.8)

R i k = R k i .

Végül Rik indexeit is összeejtve az

11.18. egyenlet - (92.9)

R = g i k R i k = g i l g k m R i k l m

invariánst kapjuk. Az R skalár neve: invariáns görbület.

Az Rik tenzor komponensei egy differenciálazonosságnak tesznek eleget, mely a (92.5) Bianchi-azonosságból az ik és lm indexpárok összeejtésével kapható:

11.19. egyenlet - (92.10)

R l m ; l = 1 2 R x m .

(92.2)(92.4) összefüggések miatt a görbületi tenzor komponensei nem teljesen függetlenek. Határozzuk meg Riklm független komponenseinek számát.

A görbületi tenzornak a fenti képletekkel adott definíciója tetszőleges dimenziószámú térre érvényes. Vizsgáljuk először a kétdimenziós tér, azaz a közönséges felület esetét; jelöljük a görbületi tenzort Pabcd-vel (hogy megkülönböztessük a négydimenziós mennyiségektől), a metrikus tenzort pedig γab-vel, ahol az a,b,… indexek az 1, 2 értékeket vehetik fel. Minthogy az ab és cd indexpárok mindegyikében a két indexnek különböző értékűnek kell lennie, nyilvánvaló, hogy a görbületi tenzor valamennyi, zérustól különböző komponense megegyezik vagy előjelben különbözik egymástól. Ebben az esetben tehát csupán egy független komponens van, például P1212. Ekkor az invariáns görbület:

11.20. egyenlet - (92.11)

P = 2 P 1 2 1 2 γ , γ | γ a b | = γ 1 1 γ 2 2 ( γ 1 2 ) 2 .

A P∕2 mennyiség megegyezik a felület K Gauss-féle görbületével:

11.21. egyenlet - (92.12)

P 2 = K = 1 ϱ 1 ϱ 2 ,

ahol ϱ1 és ϱ2 a felület kiszemelt pontjához tartozó fő görbületi sugarakat jelöli. (Emlékeztetünk arra, hogy ϱ1-et és ϱ2-t akkor tekintjük azonos előjelűnek, ha a nekik megfelelő görbületi középpontok a felületnek ugyanazon az oldalán vannak, különböző előjelűek az ellenkező esetben. Az első esetben K>0, a másodikban K<0.)[124]

Térjünk át ezek után a háromdimenziós tér görbületi tenzorára; ezt Pαβγδ-val, a metrikus tenzort pedig γαβ-val jelöljük, az α,β,… indexek lehetséges értékei most 1, 2, 3. Az αβ és γδ indexpárok mindössze három 23, 31, 12 lényegesen különböző értéket vesznek fel (az indexek felcserélése a páron belül csupán a komponens előjelét változtatja meg). Mivel Pαβγδ szimmetrikus az αβ és γδ indexpárok felcserélésével szemben, csupán 3⋅2∕2=3 különböző indexpárú és 3 azonos indexpárú független komponens van. A (92.4) azonosság ezután már nem ad további megszorítást. Tehát a háromdimenziós térben a görbületi tenzornak hat független komponense van. Ugyanennyi komponense van a Pαβ szimmetrikus tenzornak is. Ezért a Pαβγδ tenzor összes komponensét kifejezhetjük a Pαβ és a γαβ metrikus tenzor komponenseivel, megoldva a Pαβ=gγδPγαδβ lineáris egyenletrendszert (lásd az 1. feladatot). Ha az adott pontban Descartes-féle koordináta-rendszert használunk, akkor a koordinátarendszer alkalmas elforgatásával a Pαβ tenzort diagonizálhatjuk.[125] Így a háromdimenziós tér görbületét a tér minden pontjában három mennyiség határozza meg.[126]

Végül térjünk rá a négydimenziós tér esetére. Ekkor az ik és lm indexpárok 6 különböző értéket vehetnek fel: 01, 02, 03, 23, 31, 12. Emiatt Riklm-nek hat komponense van megegyező, és 6⋅5∕2=15 komponense különböző indexpárokkal. Az utóbbiak azonban még nem teljesen függetlenek egymástól: a négy különböző indexű három komponens a (92.4) azonosság szerint az alábbi összefüggésnek tesz eleget:

11.22. egyenlet - (92.13)

R 0 1 2 3 + R 0 3 1 2 + R 0 2 3 1 = 0 .

Tehát a négydimenziós térben a görbületi tenzornak mindössze 20 független komponense van.

Vezessünk be egy adott pontban Galilei-féle koordináta-rendszert. Tekintsük azokat a transzformációkat, amelyek e koordináta-rendszer elforgatásainak felelnek meg (oly módon, hogy az adott pontban gik értékei ne változzanak a transzformáció során). Ekkor elérhető, hogy a görbületi tenzor hat komponense zérus legyen. (A négydimenziós koordináta-rendszer független elforgatásainak száma hat.) Tehát a legáltalánosabb esetben a négyestér görbületét minden egyes pontban 14 mennyiség határozza meg.

Ha Rik=0,[127] akkor tetszőleges koordináta-rendszerben a görbületi tenzornak csak 10 független komponense van. Ekkor megfelelő koordinátatranszformációval az Riklm tenzor (a négyestér bármely adott pontjában) „kanonikus” alakra hozható, amelyben komponensei az általános esetben négy független mennyiséggel fejezhetők ki; speciális esetekben a független mennyiségek száma kevesebb is lehet.

Ha Rik≠0, akkor a görbületi tenzorra ugyanez igaz az Rik tenzor komponensei által meghatározott rész leválasztása után. Ilyenkor a következő tenzort kell képeznünk:[128]

11.23. egyenlet - (92.14)

C i k l m = R i k l m 1 2 R i l g k m + 1 2 R i m g k l + 1 2 R k l g i m 1 2 R k m g i l + 1 6 R ( g i l g k m g i m g k l ) .

Könnyen beláthatjuk, hogy ez a tenzor rendelkezik az Riklm tenzor összes szimmetriatulajdonságával, az il vagy km indexpárokat egybeejtve pedig zérust kapunk.

Megmutatjuk, hogyan lehet Rik=0 esetén osztályozni a kanonikus alakra hozott görbületi tenzor lehetséges típusait (A. Z. Petrov, 1950).

Tételezzük fel, hogy a négyestér vizsgált pontjában a metrikus tenzort Galilei-féle alakra hoztuk. Az Riklm tenzor 20 független komponensének összességét az

11.24. egyenlet - (92.15)

A α β = R 0 α 0 β C α β = 1 4 e α γ δ e β λ μ R γ δ λ μ , B α β = 1 2 e α γ δ R 0 β γ δ

egyenletekkel definiált három háromdimenziós tenzor összességeként adjuk meg (eαβγ az antiszimmetrikus egységtenzor; mivel a háromdimenziós metrika Descartes-féle, összegezésekor nem kell különbséget tennünk az alsó és felső indexek között). Az Aαβ és Cαβ tenzorok definíciószerűen szimmetrikusak, a Bαβ viszont aszimmetrikus, de a (92.13) összefüggés miatt zérus átlósösszegű tenzor. A (92.15) definíciók szerint például

B11=R0123,B12=R0131,B13=R0112,C11=R2323,

Könnyen beláthatjuk, hogy az Rkm=gilRiklm=0 feltétel a (92.15) tenzorok komponensei között az alábbi összefüggéseket adja:

11.25. egyenlet - (92.16)

A α α = 0 , B α β = B β α , A α β = C α β .

Vezessük be továbbá a

11.26. egyenlet - (92.17)

D α β = 1 2 ( A α β + 2 i B α β C α β ) = A α β + i B α β

szimmetrikus komplex tenzort. Két valós háromdimenziós Aαβ és Bαβ tenzornak egyetlen komplex tenzorrá való ilyen egyesítése pontosan az E és H vektorok (25. §-ban megismert) komplex F vektorrá való egyesítésének felel meg, a Dαβ és az Riklm négyestenzor kapcsolata pedig éppen az F és az Fik négyestenzor közötti kapcsolat hasonmása. Ebből következik, hogy az Riklm tenzor négydimenziós transzformációi ekvivalensek a Dαβ komplex tenzor háromdimenziós komplex forgatásaival.

E forgatásokhoz tartozó λ=λ′+iλ″ sajátértékeket és az nα sajátvektorokat (amelyek általában komplex vektorok) úgy definiálhatjuk, mint a

11.27. egyenlet - (92.18)

D α β n β = γ n α

egyenletrendszer megoldásait. A λ mennyiségek a görbületi tenzor invariánsai. Mivel Dαα=0, a (92.18) egyenlet gyökeinek összege szintén zérussal egyenlő:

λ(1)+λ(2)+λ(3)=0.

A független nα sajátvektorok számától függően a Petrov-féle I.–II. kanonikus típusokhoz jutunk, amelyek a görbületi tenzor redukálása lehetséges eseteinek alábbi osztályozását adják.

I. Három független sajátvektor van. Ekkor ezek nαnα négyzetei zérustól különbözőek, egy alkalmas elforgatással Dαβ és vele együtt az Aαβ és Bαβ is diagonális alakra hozható:

11.28. egyenlet - (92.19)

A α β = λ ( 1 ) 0 0 0 λ ( 2 ) 0 0 0 λ ( 1 ) λ ( 2 ) , B α β = λ ( 1 ) 0 0 0 λ ( 2 ) 0 0 0 λ ( 1 ) λ ( 2 ) .

Ebben az esetben a görbületi tenzornak négy független invariánsa van.[129] A λ(1), λ(2) komplex invariánsok algebrailag kifejezhetők az

11.29. egyenlet - (92.20)

I 1 = 1 4 8 ( R i k l m R i k l m i R i k l m R i k l m ) , I 2 = 1 9 6 ( R i k l m R l m p r R p r i k + i R i k l m R l m p r R p r i k )

komplex skalárok segítségével, ahol a betű feletti csillag a duális tenzort jelenti:

Riklm=12EikprRprlm.

I 1-et és I2(92.19) képlet segítségével kiszámítva, azt kapjuk, hogy

11.30. egyenlet - (92.21)

I 1 = 1 3 ( λ ( 1 ) 2 + λ ( 2 ) 2 + λ ( 1 ) λ ( 2 ) ) , I 2 = 1 2 λ ( 1 ) λ ( 2 ) ( λ ( 1 ) + λ ( 2 ) ) .

Ha valamely koordináta-rendszerben ismerjük Riklm-et, e képletek segítségével a λ(1), λ(2) invariánsokat kiszámíthatjuk.

II. Két független sajátvektor van. Ebben az esetben egyikük négyzete zérussal egyenlő, ezért ezt koordinátatengely megadására nem használhatjuk fel, de mindig megválaszthatjuk úgy, hogy az x1, x2 síkban legyen; ekkor n2=in1, n3=0. A (92.18) megfelelő egyenletei azt adják, hogy

D11+iD12=λ,D22iD12=λ,

amiből

D11=λiμ,D22=λ+iμ,D12=μ.

A λ=λ′+iλ″ komplex mennyiség skalár, és ezért nem változtatható meg. A μ mennyiség azonban különböző komplex forgatások révén bármely (zérustól különböző) értékre szert tehet; ezért μ-t az általánosság korlátozása nélkül valósnak vehetjük. Végeredményben az Aαβ, Bαβ valós tenzorok következő kanonikus típusát kapjuk:

11.31. egyenlet - (92.22)

A α β = λ μ 0 μ λ 0 0 0 2 λ , B α β = λ μ 0 0 0 λ + μ 0 0 0 2 λ .

Ebben az esetben csupán két invariáns van: λ′és λ″. Továbbá (92.21) szerint I1=λ2, I2=λ3, így I13=I22.

III. Mindössze egy sajátvektor van, melynek négyzete zérus. Ebben az esetben az összes λ sajátérték azonos, tehát zérussal egyenlő. A (92.18) egyenlet megoldását D11=D22=D12=0, D13=μ, D23=iμ alakra lehet hozni, ezért

11.32. egyenlet - (92.23)

A α β = 0 0 μ 0 0 0 μ 0 0 , B α β = 0 0 0 0 0 μ 0 μ 0 .

Ebben az esetben a görbületi tenzornak egyetlen invariánsa sincs, és meglehetősen sajátságos helyzettel állunk szemben: a négyestér görbült, de nem létezik olyan invariáns, amely görbültségének mértékéül szolgálhatna.[130]

Feladatok

1. Fejezzük ki a háromdimenziós tér Pαβγδ görbületi tenzorát a Pαβ másodrendű tenzorral.

Megoldás. KereSsük Pαβγδ-t a szimmetriafeltételeknek eleget tevő

P α β γ δ = A α γ γ β δ A α δ γ β γ + A β δ γ α γ A β γ γ α δ

alakban, ahol Aαβ valamely szimmetrikus tenzor, amelynek Pαβ-val való kapcsolatát az α és γ indexek egybeejtésével kapott kifejezés határozza meg. Ily módon azt kapjuk, hogy

P α β = A γ α β + A α β , A α β = P α β 1 4 P γ α β ,

végül

P α β γ δ = P α γ γ β δ P α δ γ β γ + P β δ γ α γ P β γ γ α δ + P 2 ( γ α δ γ β γ γ α γ γ β δ ) .

2. Számítsuk ki az Riklm és Rik tenzorok komponenseit, ha a gik tenzor diagonális.

Megoldás. A metrikus tenzor zérustól különböző komponenseit így állítjuk elő:

g i i = e i e 2 F i , e 0 = 1 , e α = 1 .

(92.1) képlet felhasználásával elvégzett számítás a görbületi tenzor el nem tűnő komponenseire a következő eredményt adja:

R l i l k = e l e 2 F l ( F l , k F k , i + F i , k F l , i F l , i F l , k F l , i , k ) , i k l ; R l i l i = e l e 2 F ( F i , i F l , i F l , i 2 F l , i , i ) + e i e 2 F i ( F l , l F i , l F i , l 2 F i , l , l ) e l e 2 F l m i , l e i e m e 2 ( F i F m ) F i m F l , m , i l

(az ismétlődő indexek szerint nincs összegezés!). A vessző után álló index közönséges differenciálást jelent a megfelelő koordináta szerint.

Két indexet összeejtve azt kapjuk, hogy

R i k = l i , k ( F l , k F k , i + F i , k F l , i F l , i F l , k F l , i , k ) , i k ; R i i = l i F i , i F l , i F l , i 2 F l , i , i + e i e l e 2 ( F i F l ) F l , l F i , l F i , l 2 F i , l , l F i , l m i , l F m , l .



[123] Az irodalomban Rik-ra más definíció is használatos, amikor Riklm-ben az első és utolsó indexet ejtjük össze. Ez az általunk elfogadott definíciótól egy előjelben különbözik.

[124] A(92.12) képletet könnyű levezetni, ha a felület egyenletét az adott (x=y=0) pont környezetében z=(x2/2ϱ1)+(y2/2ϱ2) alakban írjuk. Ekkor az ívelemnégyzet: dl2=(1+(x2/ϱ12))dx2+(1+(y2/ϱ22))dy2+2(xy/ϱ1ϱ2)dxdy.P1212-t (92.1) alapján kiszámítva az x=y=0 pontban (ahol csupán γαβ második deriváltjai adnak járulékot), a (92.12) képlet adódik.

[125] A Pαβ tenzor főértékeinek tényleges kiszámításához nincs okvetlenül szükség arra, hogy az adott pontban Descartes-féle koordináta-rendszerre térjünk át. A főértékeket meg lehet határozni a |Pαβ–λγαβ|=0 egyenlet gyökeiként is.

[126] A Pαβγδ tenzor ismeretében bármely térben adott felület K Gauss-féle görbületét ki tudjuk számítani. Itt csak azt említjük meg, hogy ha x1, x2, x3 ortogonális koordináta-rendszert alkot, akkor az x3 tengelyre (a kiszemelt pontban) merőleges sík Gauss-féle görbülete: K=(P1212/γ11γ22–(γ12)2). Síkon itt geodetikus vonalakkal képzett felületet értünk.

[127] A későbbiekben látni fogjuk (95. §), hogy a vákuumbeli gravitációs tér görbületi tenzora ilyen tulajdonságú.

[128] Ezt a bonyolult kifejezést tömörebb alakban is megadhatjuk: Ciklm=Riklm–Rl[igk]m+Rm[igk]l+(1/3)Rgl[igk]m, ahol a szögletes zárójelben levő indexekben antiszimmetriálni kell: A[ik]=(1/2)(Aik–Aki).(92.14) tenzort Weyl-tenzornak szokás nevezni.

[129] Azt az elfajult esetet, amikor λ(1)′=λ(2)′és λ(1)″=λ(2)″ az irodalomban D típusnak nevezik.

[130] Ugyanez a helyzet áll elő a II. degenerált esetében, mikor λ′=λ″=0 (ezt az alakot N típusnak szokás nevezni).