Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

90 §. Az elektrodinamika egyenletei gravitációs térben

90 §. Az elektrodinamika egyenletei gravitációs térben

Az elektromágneses tér speciális relativitáselméletben megismert egyenletei könnyen általánosíthatók oly módon, hogy azok bármely görbevonalú koordinátarendszerben, tehát gravitációs térben is, érvényesek legyenek.

Az elektromágneses tértenzort a speciális relativitáselméletben Fik=(∂Ai/∂xk)–(∂Ak/∂xi) által definiáltuk. Nyilvánvaló, hogy most az Fik=Ai;k–Ak;i definíciót kell elfogadnunk. (86.12) szerint azonban

10.101. egyenlet - (90.1)

F i k = A k ; i A i ; k = A k x i A i x k ,

így tehát Fik-nak az Ai potenciállal való kapcsolata nem változik meg. Ennek következtében a Maxwell-egyenletek első (26.5) párja szintén változatlan marad:[121]

10.102. egyenlet - (90.2)

F i k x l + F l i x k + F k l x l = 0 .

A második két Maxwell-egyenlet átírásához először meg kell határoznunk az áram négyesvektorát görbevonalú koordináta-rendszerben. A  28. §-ban mondottakhoz hasonlóan fogunk eljárni. A dx1, dx2, dx3 térbeli koordinátaelemekkel adott térbeli térfogatelem √γdV, ahol γ a háromdimenziós tér (84.7) metrikus tenzorának determinánsa, és dV=dx1dx2dx3 (lásd a  83. §  7 számú lábjegyzetét). Vezessük be a ϱ töltéssűrűséget a de=ϱ√γdV definícióval, ahol de a √γdV térfogatelemben levő töltés mennyiséggel egyenlő. Ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát dxi-vel megszorozva, azt kapjuk, hogy

d e d x i = ϱ d x i γ d x 1 d x 2 d x 3 = ϱ g 0 0 g d Ω d x i d x 0

[felhasználtuk a –g=γg00(84.10) egyenlőséget]. A √(–g) dΩ szorzat az invariáns négyes-térfogatelem, az áram négyesvektora tehát

10.103. egyenlet - (90.3)

j i = ϱ c g 0 0 d x i d x 0 .

(A koordináták x0 „idő” szerinti változásának sebességét mérő dxi∕dx0 mennyiség maga nem négyesvektor!) Az áram négyesvektorának j0 komponensét √(g00∕c)-vel szorozva, a térbeli töltéssűrűséget kapjuk.

Pontszerű töltésekre a ϱ sűrűséget a (28.1) képlethez hasonlóan δ-függvények összegeként adhatjuk meg. A δ-függvény definícióját úgy kell kiterjesztenünk, hogy görbevonalú koordináta-rendszerben is érvényes maradjon. Mint eddig is, δ(r)-en a δ(x1)δ(x2)δ(x3) szorzatot értjük, függetlenül az x1, x2, x3 koordináták geometriai jelentésétől. Ennek dV (és nem pedig √γdV) szerint képzett integrálja egyenlő 1-gyel: ∫δ(r) dV=1. A δ-függvény definíciójával a töltéssűrűség:

ϱ = a e a γ δ ( r r a ) ,

az áram négyesvektora pedig

10.104. egyenlet - (90.4)

j i = a e a c g δ ( r r a ) d x i d x 0 .

A töltésmegmaradást a kontinuitási egyenlet fejezi ki, amely (29.4)-től csupán abban különbözik, hogy a közönséges deriváltak helyett kovariáns deriváltat írunk:

10.105. egyenlet - (90.5)

j i ; i = 1 g x i ( g j i ) = 0

[felhasználtuk a (86.9) összefüggést].

Hasonlóan általánosíthatjuk a (30.2) alatt megismert második Maxwell-egyenletpárt is. Bennük a közönséges deriváltakat kovariáns deriváltakkal helyettesítve, azt kapjuk, hogy

10.106. egyenlet - (90.6)

F i k ; k = 1 g x k ( g F i k ) = 4 π c j i

[felhasználtuk a (86.10) képletet].

Végül töltött részecske mozgásegyenletét gravitációs és elektromágneses erőtérben úgy kapjuk, hogy (23.4)-ben a dui∕ds négyesgyorsulást Dui∕ds-sel helyettesítjük:

10.107. egyenlet - (90.7)

m c D u i d s = m c d u i d s + Γ k l i u k u l = e c F i k u k .

Feladat

Írjuk fel az adott gravitációs térben érvényes Maxwell-egyenleteket hármas alakban (a γαβ-val adott metrikájú háromdimenziós térben), az E, D hármasvektorok és a Bαβ, Hαβ antiszimmetrikus hármastenzorok alábbi definíciójának felhasználásával:

E α = F 0 α , B α β = F α β ,

10.108. egyenlet - (1)

D α = g 0 0 F 0 α , H α β = g 0 0 F α β .

Megoldás. Az adott módon bevezetett mennyiségek nem függetlenek. Az

F 0 α = g 0 l g α m F l m , F α β = g α l g β m F l m

egyenlőségek részletes kiírásához bevezetjük a γαβ=–gαβ+hgαgβ háromdimenziós metrikus tenzort [g-t és h-t (88.11)-gyel definiáltuk]. A (84.9) és (84.12) képletek felhasználásával azt kapjuk, hogy

10.109. egyenlet - (2)

D α = E α h + g β H α β , B α β = H α β h + g β E α g α E β .

Definiáljuk a Bαβ és Hαβ tenzorokkal duális B és H vektorokat

10.110. egyenlet - (3)

B α = 1 2 γ e α β γ B β γ , H α = 1 2 γ e α β γ H β γ

szerint (vesd ezt össze a  88. §  24. lábjegyzetével; a mínusz előjelet azért vezettük be, hogy Galilei-koordinátákban a H és B vektorok megegyezzenek a mágneses tér szokásos térerősségvektoraival). Ekkor (2)-t az alábbi alakban írhatjuk:

10.111. egyenlet - (4)

D = E h + H × g , B = H h + g × E .

(90.2) egyenleteket az (1) definíciók segítségével átírva:

Bαβxγ+Bγαxβ+Bβγxα=0,Bαβx0+EαxβEβxα=0,

vagy a (3) duális mennyiségekre áttérve:

10.112. egyenlet - (5)

div B = 0 , rot E = 1 c γ t ( γ B ) .

(Itt x0=ct. A rot és div operációk definícióit a  88. §  24 számú lábjegyzetében adtuk meg.) Hasonlóan (90.6)-ból a következő egyenleteket kapjuk:

1γxα(γDα)=4πϱ,
1γxβ(γHαβ)+1γx0(γDα)=4πϱdxαdx0,

vagy háromdimenziós vektorjelöléssel:

10.113. egyenlet - (6)

div D = 4 π ϱ , rot H = 1 c γ t ( γ D ) + 4 π c s ,

ahol az s vektor komponensei: sα=ϱdxα∕dt.

A teljesség kedvéért a (90.5) kontinuitási egyenletet is felírjuk háromdimenziós alakban:

10.114. egyenlet - (7)

1 γ t ( γ ϱ ) + div s = 0 .

Érdemes megfigyelni az (5), (6) egyenletek és a folytonos közegben érvényes Maxwell-egyenletek (persze tisztán formális) hasonlóságát. Speciálisan, sztatikus gravitációs tér esetén azokban a tagokban, amelyekben időderiválás szerepel, √γ kiesik, a (4) összefüggés pedig egyszerűen D=E∕√h-ra és B=H∕√h-ra vezet. Ezt az eredményt úgy fogalmazhatjuk meg, hogy a sztatikus gravitációs tér az elektromágneses térre kifejtett hatás szempontjából egy 𝜀=1∕√h elektromos permittivitású és μ=1∕√h mágneses permeabilitású közeggel helyettesíthető.



[121] Könnyű megmutatni, hogy ez az egyenlet Fik;l+Fli;k+Fkl;i=0 alakba is írható, amiből kovarianciája nyilvánvaló.