Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

63 §. Lienard–Wiechert-potenciálok

63 §. Lienard–Wiechert-potenciálok

Határozzuk meg egy adott r=r0(t) mozgást végző részecske által keltett erőtér potenciáljait.

A retardált potenciálokat meghatározó képletek szerint az erőteret a P(x,y,z) észlelési pontban a t időpillanatban a töltésnek egy ezt megelőző t′ időpillanatra vonatkozó mozgásállapota határozza meg, ahol a töltés r0(t′) helyéről kiinduló fényjel éppen t–t′ idő alatt jut el a P észlelési pontba. Legyen R(t)=r–r0(t) az e töltésből a P pontba mutató helyvektor; r0(t)-vel együtt ez is adott függvénye az időnek. Ekkor a t′ időpillanatot a

8.11. egyenlet - (63.1)

t + R ( t ) c = t

egyenlet határozza meg. Ennek az egyenletnek t bármely értékére csak egy t′ gyöke van.[64]

Abban a vonatkoztatási rendszerben, amelyben a részecske a t′ időpillanatban nyugalomban van, az észlelési pontban a t időpillanatbeli erőteret egyszerűen a Coulomb-potenciál adja meg, azaz

8.12. egyenlet - (63.2)

φ = e R ( t ) , A = 0 .

Tetszőleges koordináta-rendszerben a potenciálok olyan négyesvektort alkotnak, amely v=0 sebesség esetén φ-re és A-ra a (63.2) értékeket adja. Észrevéve, hogy (63.1) alapján a (63.2)-ben megadott φ potenciált a

φ=ec(tt)

alakban is írhatjuk, azt kapjuk, hogy a keresett négyesvektor

8.13. egyenlet - (63.3)

A i = e u i R k u k ,

ahol uk a töltés négyessebessége, az Rk négyesvektor pedig Rk=[c(t–t′),r–r′]. Itt x′, y′, z′, t′ kielégítik a (63.1) összefüggést; az utóbbit invariáns alakban is felírhatjuk:

8.14. egyenlet - (63.4)

R k R k = 0 .

Visszatérve a háromdimenziós jelölésekre, egy tetszőlegesen mozgó pontszerű töltés által keltett erőtér potenciáljaira a következő kifejezéseket kapjuk:

8.15. egyenlet - (63.5)

φ = e R v R c , A = e v c R v R c ,

ahol R a töltés helyéből a P észlelési pontba mutató helyvektor, és a jobb oldalon szereplő mennyiségek a (63.1) által meghatározott t′ időpillanatra vonatkoznak. A (63.5) alakban felírt kifejezések a Lienard–Wiechert-potenciálok.

Ha ki akarjuk számítani az elektromos és mágneses térerősséget az

E = 1 c A t grad φ , H = rot A

képletek segítségével, akkor a φ és A potenciálokat az észlelési pont x, y, z koordinátái és az észlelés t időpillanata szerint kell deriválnunk. Viszont a (63.5) képletek a potenciálokat t′ függvényében adják meg, és csak a (63.1) összefüggésen keresztül kapjuk meg az x, y, z, t függést. Ezért a keresett deriváltak kiszámításához először a t′ szerint képzett deriváltakat kell meghatározni. Az R(t′)=c(t–t′) összefüggést t szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

R t = R t t t = R v R t t = c 1 t t

[∂R∕∂t′értékét az R2=R2 azonosság deriválásával és a ∂R(t′)∕∂t=–v(t′) behelyettesítéssel kapjuk; a negatív előjel onnan ered, hogy az R vektor az e töltéstől a P pontba mutat, és nem fordítva]. Ebből

8.16. egyenlet - (63.6)

t t = 1 1 v R R c .

Ugyanazt az azonosságot a koordináták szerint deriválva, azt kapjuk, hogy

gradt=1cgradR(t)=1cRtgradt+RR,

ahonnan

8.17. egyenlet - (63.7)

grad t = R c R R v c .

A fenti képletek segítségével E és H kiszámítása nem okoz nehézséget. A közbenső számításokat elhagyva, közöljük a kapott eredményt:

8.18. egyenlet - (63.8)

E = e 1 v 2 c 2 R R v c 3 R v c R + e c 2 R R v c 3 R × R v c R × v ̇ ,

8.19. egyenlet - (63.9)

H = 1 R R × E .

Itt v̇=∂v∕∂t′; a jobb oldalakon szereplő minden mennyiséget a t′ időpillanatban kell venni. Érdemes megemlíteni, hogy a mágneses térerősség mindenütt merőleges az elektromos térerősségre.

(63.8) elektromos tér két különböző jellegű részből áll. Az első tag csak a részecske sebességétől függ (a gyorsulásától nem), és nagy távolságokban 1∕R2-ként viselkedik. A második tag függ a gyorsulástól, és nagy R-ekre 1∕R-ként csökken. A későbbiekben (66. §) látni fogjuk, hogy az utóbbi tag a részecske által kisugárzott elektromágneses hullámokkal kapcsolatos.

Ami az első tagot illeti, ez, független lévén a gyorsulástól, egy egyenletesen mozgó töltés erőterének felel meg. Valóban, állandó sebesség esetén az

R t v c R t = R t v ( t t )

különbség éppen a töltés és az észlelési pont között a megfigyelés pillanatában mért Rt távolság. Ugyancsak közvetlenül ellenőrizhető, hogy

R t 1 c R t v = R t 2 1 c 2 ( v × R t ) 2 = R t 1 v 2 c 2 sin 2 𝜃 t ,

ahol 𝜃t az Rt és v által bezárt szög. Így azt kapjuk, hogy (63.8) első tagja egybeesik a (38.8) kifejezéssel.

Feladat

A Lienard–Wiechert-potenciálokat a (62.9) és (62.10) képletekből vezessük le közvetlen integrálással.

Megoldás. Írjuk a (62.8) képletet

φ ( r , t ) = ϱ ( r , τ ) | r r | δ τ t + 1 c | r r | d τ d V

alakba [hasonlóan A(r,t)-re], ahol a δ-függvény beírásával megszabadultunk ϱ implicit változóitól. Adott r=r0(t) pályán mozgó pontszerű töltésre:

ϱ ( r , τ ) = e δ [ r r 0 ( τ ) ] .

Ezt behelyettesítve és a dV′ szerinti integrálást elvégezve, azt kapjuk, hogy

φ ( r , t ) = e d τ | r r 0 ( τ ) | δ τ t + 1 c | r r 0 ( τ ) | .

d τ szerint az integrálást a

δ [ F ( τ ) ] = δ ( τ t ) F ( t )

képlet szerint végezzük el [t′ az F(t′)=0 egyenlet gyöke], és ez a (63.5) képletre vezet.



[64] Ez az állítás önmagában is elég nyilvánvaló, de közvetlenül is meggyőződhetünk helyességéről. Válasszuk a P megfigyelési pontot és a t időpillanatot a négydimenziós koordináta-rendszer O kezdőpontjának, és vegyük fel az O pontból kiinduló fénykúpot (2. §). E kúp alsó része, amely az (O ponthoz képest) abszolút múlt tartományát határolja, azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyekből kiinduló fényjel eljut az O pontba. A fenti hiperfelület és a töltés mozgását leíró világvonal metszéspontjai éppen a (63.1) egyenlet gyökeinek felelnek meg. Mivel a részecske sebessége kisebb a fénysebességnél, világvonala mindig kisebb szöget zár be az időtengellyel, mint a fénykúp. Ebből következik, hogy a részecske világvonala a fénykúp alsó részét csak egy pontban metszheti.