Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

8. fejezet - MOZGÓ TÖLTÉSEK ERőTERE

8. fejezet - MOZGÓ TÖLTÉSEK ERőTERE

62 §. Retardált potenciálok

Az V. fejezetben nyugvó töltések által keltett állandó mezőt vizsgáltunk, a VI. fejezetben pedig időben változó mezőt, de töltések nélkül. Most olyan eseteket fogunk vizsgálni, amikor a mezők időben változnak, bennük a töltések tetszőleges mozgást végeznek.

Vezessük le azokat az egyenleteket, amelyek meghatározzák a mozgó töltések által keltett mező potenciáljait. Ezt célszerű négydimenziós alakban elvégezni, megismételve a  46. § végén ismertetett levezetést, azzal a különbséggel, hogy most a

F i k x k = 4 π c j i

(30.2) Maxwell-egyenleteket kell alkalmazni, és a jobb oldal különbözik zérustól. Ugyanez a jobb oldal jelenik meg a (46.8) egyenletben is, és miután a potenciálokra kiróttuk a

8.1. egyenlet - (62.1)

A i x i = 0 , vagyis az 1 c φ t + div A = 0

Lorentz-feltételeket, azt kapjuk, hogy

8.2. egyenlet - (62.2)

2 A i x k x k = 4 π c j i .

Ez az egyenlet tetszőleges elektromágneses tér potenciálját meghatározza. Háromdimenziós alakban ez két, A-ra és φ-re vonatkozó egyenletként írható le:

8.3. egyenlet - (62.3)

A 1 c 2 2 A t 2 = 4 π c j ,

8.4. egyenlet - (62.4)

φ 1 c 2 2 φ t 2 = 4 π ϱ .

Állandó erőterek esetén ezek az általunk már ismert (36.4) és (43.3) egyenletekre vezetnek, töltés nélküli változó erőterek esetén pedig a homogén hullámegyenletekre.

(62.3) és (62.4) inhomogén lineáris egyenletek megoldását felírhatjuk a jobb oldal elhagyásával kapott homogén egyenletek megoldásának és az eredeti inhomogén egyenletek speciális megoldásának összegeként. E speciális megoldás meghatározása céljából osszuk fel az egész teret végtelen kis részekre, és számítsuk ki az egyik ilyen térfogatelemben levő töltés által létrehozott erőteret. Mivel az egyenletek lineárisak, a valódi erőtér az egyes elemek által létrehozott erőterek összege lesz.

Az adott térfogatelem de töltése általában véve az idő függvénye. Ha a koordináta-rendszer kezdőpontját az említett térfogatelemben vesszük fel, akkor a töltéssűrűség ϱ=de(t)δ(R), ahol R az origótól mért távolság. Így a következő egyenletet kell megoldanunk:

8.5. egyenlet - (62.5)

φ 1 c 2 2 φ t 2 = 4 π d e ( t ) δ ( R ) .

Az origón kívül δ(R)=0 mindenütt, tehát teljesülnie kell a

8.6. egyenlet - (62.6)

φ 1 c 2 2 φ t 2 = 0 .

egyenletnek. Nyilvánvaló, hogy az adott esetben φ gömbszimmetrikus, vagyis csak R függvénye. Ha tehát a Laplace-operátort gömbkoordinátákban írjuk fel, (62.6) a következő alakot ölti:

1R2RR2φR1c22φt2=0.

Végezzük el ebben az egyenletben a φ=χ(R,t)∕R helyettesítést. Ekkor χ-re azt kapjuk, hogy

2χR21c22χt2=0.

Ez viszont éppen a síkhullámok egyenlete, amelynek megoldása (lásd a  47. §-t) a következő alakú:

χ=f1tRc+f2t+Rc.

Mivel az egyenletnek csak egy speciális megoldását keressük, az f1, f2 függvények közül elég az egyiket megtartani. Általában kényelmesebb az f2=0 választás (erről lásd alább). Ekkor a φ potenciál, az origót kivéve, mindenütt így írható:

8.7. egyenlet - (62.7)

φ = χ t R c R .

A fenti egyenlőségben a χ függvény egyelőre tetszőleges; válasszuk most meg úgy, hogy a potenciálra az origóban is helyes értéket kapjunk. Más szóval χ-nek olyannak kell lennie, hogy az origóban teljesüljön a (62.5) egyenlet. Ezt könnyen megtehetjük, ha észrevesszük, hogy R→0-ra a potenciál a végtelenhez tart, és így a koordináták szerint képzett deriváltjai gyorsabban nőnek, mint az időderiváltja. Ezért R→0 esetén a (62.5) egyenletben az (1/c2)(∂2φ/∂t2) tag elhagyható △φ mellett. Ekkor viszont az általunk már ismert (36.9) egyenletet kapjuk, amely a Coulomb-törvényhez vezet. Így a (62.7) kifejezésnek az origó közelében a Coulomb-törvénybe kell átmennie, ahonnan következik, hogy χ(t)=de(t), vagyis

φ = d e t R c R .

Innen könnyen megkaphatjuk a (62.4) egyenlet megoldását tetszőleges ϱ(x,y,z,t) töltéseloszlás esetén. Ehhez elég behelyettesíteni a de=ϱdV kifejezést (dV a térfogatelem) és integrálni az egész térre. A (62.4) inhomogén egyenlet így kapott megoldásához hozzáadjuk a jobb oldal elhagyásával kapott homogén egyenlet egy φ0 megoldását. Az általános megoldás tehát:

8.8. egyenlet - (62.8)

φ ( r , t ) = 1 R ϱ r , t R c d V + φ 0 , R = r r , d V = d x d y d z ,

ahol r=(x,y,z), r′=(x′,y′,z′), R a távolság a dV térfogatelem és a „megfigyelési pont” (amelyben a potenciál értékét keressük) távolsága. Ezt a kifejezést röviden a következő alakban írjuk:

8.9. egyenlet - (62.9)

φ = ϱ t R c R d V + φ 0 ,

ahol az index azt jelenti, hogy ϱ értékét a t–R∕c időpillanatban kell venni, dV-ről elhagytuk a vesszőt.

Hasonló kifejezéssel határozható meg a vektorpotenciál is:

8.10. egyenlet - (62.10)

A = 1 c j t R c R d V + A 0 ,

ahol A0 a homogén (62.3) egyenlet megoldása.

(62.9) és (62.10) kifejezéseket (φ0 és A0 nélkül) retardált potenciáloknak szokás nevezni.

Álló töltések (vagyis időtől független ϱ sűrűség) esetén a (62.9) képlet az elektrosztatikus tér potenciálját meghatározó (36.8) képletbe megy át; (62.10) pedig a töltések stacionárius mozgása esetén (átlagolás után) az állandó mágneses tér vektorpotenciálját leíró (43.5) képletbe.

(62.9) és (62.10) kifejezésekben a φ0, A0 mennyiségeket úgy kell meghatározni, hogy teljesüljenek a feladat feltételei. Ehhez nyilvánvalóan elegendő lenne megadni a kezdeti feltételeket, vagyis az erőteret a kezdeti időpontban. Ilyen feltételek azonban általában nem fordulnak elő. Ehelyett adott az erőtér a töltésektől nagy távolságokban és minden időpillanatban. Például adott a töltésrendszerre beeső külső sugárzás. Ennek megfelelően a fenti sugárzás és a rendszer kölcsönhatása következtében kialakuló erőtér a külső erőtértől csak a töltésrendszerből kiinduló sugárzásban különbözhet. A töltésrendszerből kiinduló sugárzásnak nagy távolságokban olyan hullámnak kell lennie, amely a rendszertől távolodik, vagyis a növekvő R értékek irányában halad. Ennek a feltételnek éppen a retardált potenciálok felelnek meg. Az utóbbiak tehát a töltésrendszerből kiinduló erőteret adják meg, a φ0 és A0 potenciálokat viszont a töltésrendszerre ható külső erőtérrel kell azonosítanunk.