Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

59 §. Elhajlási jelenségek

59 §. Elhajlási jelenségek

A geometriai optika törvényei szigorúan véve csak abban az ideális esetben érvényesek, amikor a hullámhosszt végtelen kicsinek tekinthetjük. Minél rosszabbul teljesül ez a követelmény, annál nagyobb a geometriai optikától való eltérés. Az ebből származó jelenségeket elhajlási jelenségeknek (diffrakciónak) nevezzük.

Az elhajlást megfigyelhetjük például, ha a fény[60] terjedésének útjába egy akadályt (tetszőleges alakú átlátszatlan testet) helyezünk (az ilyen testet ernyőnek fogjuk nevezni), vagy például, ha a fény egy átlátszatlan ernyő résén halad keresztül. Ha a geometriai optika törvényei pontosan teljesülnének, az ernyő mögötti tartomány – az árnyék – élesen elkülönülne a megvilágított tartománytól. Az elhajlás a fény és árnyék éles határa helyett elég bonyolult intenzitáseloszlást eredményez. Az elhajlás jelensége annál kifejezettebben mutatkozik, minél kisebbek az ernyők és rések méretei, vagy minél nagyobb a hullámhossz.

A diffrakcióelmélet feladata az, hogy a testek adott elhelyezkedése és alakja (és a fényforrások elhelyezkedése) mellett meghatározza a fény eloszlását, vagyis az elektromágneses erőteret a tér minden pontjában. Ez a feladat pontosan csak úgy oldható meg, ha megkeressük a hullámegyenlet olyan megoldását, amely kielégíti a megfelelő peremfeltételeket a testek felületén; ezek a feltételek ráadásul az anyag optikai tulajdonságaitól is függnek. E feladat megoldása általában komoly matematikai nehézségekbe ütközik.

Sok esetben azonban elegendő közelítőleg meghatározni a fény eloszlását a fény és árnyék határán. Ez a módszer alkalmazható, ha a geometriai optikától való eltérés kicsi. Így először is feltételezzük azt, hogy minden méret nagy a hullámhosszhoz képest (ez vonatkozik az ernyők és rések méretére, valamint a testek és a fényforrások, ill. a megfigyelés pontjai közti távolságokra); másodszor pedig azt, hogy a fény terjedési iránya csak kevéssé tér el a geometriai optika által meghatározott terjedési iránytól.

Tekintsünk egy ernyőt, amelynek nyílásán adott források fénye halad át. A  9. ábra az ernyő keresztmetszetét mutatja (vastag vonal); a fény balról jobbra terjed. Jelöljük u-val az E vagy H térerősség tetszőleges komponensét. u-t csak a koordináták függvényének tekintjük, tehát elhagyjuk az időfüggést meghatározó e–iωt szorzótényezőt. Feladatunk a fényintenzitás (vagyis az u térerősség) meghatározása az ernyő mögötti tetszőleges P észlelési pontban. Ha a geometrikai optikától való eltérés csekély, akkor a rés pontjaiban a térerősséget ugyanakkorának vehetjük, mintha az ernyő egyáltalán nem léteznék.

9. ábra - 9. ábra

9. ábra

Más szóval, a térerősség nagyságát ezekben a pontokban megkaphatjuk a geometriai optikából. Közvetlenül az ernyő mögötti pontokban a térerősségeket nullának vehetjük. Ekkor természetesen az ernyő anyagának tulajdonságai semmilyen szerepet nem játszanak. Az is nyilvánvaló, hogy a vizsgált esetekben a diffrakció szempontjából csak a nyílás szélének alakja számít, az átlátszatlan ernyő alakja nem lényeges.

Vegyünk fel az ernyő nyílását elzáró és annak szélével határolt valamilyen felületet (egy ilyen felület metszetét a  9. ábrán szaggatott vonallal jeleztük). Osszuk ezt a felületet olyan df nagyságú részekre, amelyek kicsik a rés méretéhez, de nagyok a hullámhosszhoz viszonyítva. Ekkor azokat a felületdarabkákat, amelyeket a fényhullám elért, úgy tekinthetjük, mintha maguk is fényforrásokká válnának, ahonnan a fény minden irányban terjed. A P pontban a teret ilyen, a nyílást elzáró felület df darabkáiból kiinduló hullámok szuperpozíciójaként tekintjük (ez a Huygens-elv).

A df felületdarabka által a P pontban létrehozott mező arányos u-nak a df darabkán felvett értékével (emlékeztetünk arra, hogy df-ben a térerősséget akkorának tételeztük fel, amekkora az az ernyő nélkül lenne). Ezenkívül a térerősség P-ben arányos a df felület dfn vetületével, ahol n a fényforrásból df-be érkező sugár iránya, és dfn az erre merőleges síkra eső vetület. Ez abból következik, hogy bármilyen alakú is legyen a df darabka, ugyanazok a sugarak haladnak rajta keresztül, ha dfn változatlan, és így hatása a P pontban észlelt térerősségre is ugyanaz.

Így a df darabka által létrehozott térerősség a P pontban udfn-nel arányos. Figyelembe kell még venni a hullám amplitúdójának és fázisának változását, amíg df-ből a P pontba ér. Ezt a megváltozást az (54.3) képlet adja meg. Tehát udfn-et meg kell még szorozni az (1/R)eikR tényezővel (ahol R a df és P közti távolság, k pedig a fény hullámvektorának abszolút értéke); így azt kapjuk, hogy a keresett térerősség

a u e i k R R d f n ,

ahol a egyelőre ismeretlen állandó. A P pontban a teljes térerősség az egyes df darabkák által létrehozott térerősségek szuperpozíciója, tehát

7.44. egyenlet - (59.1)

u P = a u e i k R R d f n ,

ahol a nyílás szélei által határolt felületre kell integrálni. Az adott közelítésben ez az integrál természetesen nem függ a fenti felület alakjától. Az (59.1) képlet nyilvánvalóan nemcsak egy ernyő résén létrejövő diffrakció esetében alkalmazható, hanem akkor is, ha a fény útjába egy ernyőt állítunk, amely körül a fény szabadon terjedhet. Ebben az esetben (59.1)-ben az ernyő szélein kívül eső felületre kell integrálni.

Az a állandó meghatározására tekintsük az x tengely mentén terjedő síkhullámot; a hullámfelületek párhuzamosak az yz síkkal. Ekkor az x tengelyen felvett P pontban a térerősség uP=ueikx. Másrészt viszont a térerősséget a P pontban az (59.1) képletből is meghatározhatjuk, ahol integrálási felületnek például az yz síkot választjuk. Mivel a diffrakció szöge kicsi, az integrálban csak az yz síknak az origóhoz közeli pontjai lényegesek, vagyis amelyekre y, z≪x (x a P pont koordinátája).

Ekkor

R = x 2 + y 2 + z 2 x + y 2 + z 2 2 x ,

és (59.1)-ből:

u P = a u e i k x x + e i k y 2 2 x d y + e i k z 2 2 x d z ,

ahol u állandó (a térerősség az yz síkban); a 1∕R tényezőben R≈x=const írható. A fenti integrálok az y=ξ√(2x∕k) helyettesítéssel a következő alakra hozhatók:

+ e i ξ 2 d ξ = + cos ξ 2 d ξ + i + sin ξ 2 d ξ = π 2 ( 1 + i ) ,

így azt kapjuk, hogy

u P = a u e i k x 2 i π k .

Másrészt viszont uP=ueikx, tehát

a = k 2 π i .

Ezt (59.1)-be helyettesítve, megkapjuk a kitűzött feladat megoldását:

7.45. egyenlet - (59.2)

u P = k u 2 π i R e i k R d f n .

Az (59.2) képlet levezetésében a fényforrást lényegében pontszerűnek, magát a fényt szigorúan monokromatikusnak tételeztük fel. A nem monokromatikus fényt kibocsátó kiterjedt fényforrás esetét azonban nem kell külön vizsgálnunk. Mivel a fényforrás különböző pontjából származó fény teljesen független (inkoherens), és mivel a kisugárzott fény különböző spektrális komponensei is inkoherensek, az eredő elhajlási kép egyszerűen a fény független komponenseiből származó intenzitáseloszlások összege lesz.

Határozzuk meg az (59.2) képlet segítségével a fázis megváltozását, miközben a sugár áthalad a kausztikával való érintési pontján (lásd az  54. § végét). Integrálási felületnek (59.2)-ben válasszuk valamelyik hullámfelületet, és számítsuk ki az uP térerősséget egy adott sugáron, a sugár és a hullámfelület metszéspontjától x távolságra fekvő P pontban. (A koordináta-rendszer O kezdőpontjának a metszéspontot választjuk, a hullámfelületet az O pontban érintő síkot pedig az yz síknak.) Az (59.2) integrálban csak a hullámfelületnek az O pont körül fekvő kis darabkája lényeges. Ha az xy és xz síkokat úgy választjuk meg, hogy egybeessenek a hullámfelület O pontjához tartozó fő görbületi síkokkal, akkor e pont közelében a felület egyenlete:

X = y 2 2 R 1 + z 2 2 R 2 ,

ahol R1 és R2 a görbületi sugarak. A hullámfelület X, y, z pontja és az x, 0, 0 koordinátájú P pont között a távolság:

R = ( x X ) 2 + y 2 + z 2 x + y 2 2 1 x 1 R 1 + z 2 2 1 x 1 R 2 .

A hullámfelület mentén u állandónak vehető; ugyanez vonatkozik az 1∕R tényezőre is. Minthogy bennünket csak a hullám fázisának megváltozása érdekel, az együtthatót elhagyhatjuk, és így

7.46. egyenlet - (59.3)

u P 1 i e i k R d f n e i k x i + e i k y 2 2 1 x 1 R 1 d y + e i k z 2 2 1 x 1 R 2 d z .

A hullámfelület görbületi középpontjai az adott sugáron, az x=R1 és x=R2 pontokban vannak; ezek a sugár és a két kausztika érintési pontjai. Legyen R2<R1. Ha x<R2, akkor az integrandusok kitevőiben az i mellett álló tényező mindkét integrálban pozitív, ezért mindkét integrál egy (1+i) tényezőt tartalmaz. Tehát az első kausztikával való érintési pontig uP∼eikx. Ha R2<x<R1, vagyis az két érintési pont között a dy szerinti integrál egy 1+i, a dz szerinti integrál egy 1–i tényezőt tartalmaz, szorzatunkból tehát i kiesik. Így itt uP∼–ieikx=ei(kx–π∕2), vagyis az első kausztika mellett elhaladva, a fázis még –π∕2-vel ugrik. Végül x>R1 esetén uP∼–eikx=ei(kx–π), vagyis a második kausztika mellett elhaladva, a fázis még egyszer megváltozik –π∕2-vel.

Feladat

Határozzuk meg a fény intenzitásának eloszlását a sugár és a kausztika érintési pontjának közelében.

Megoldás. A feladat megoldásához alkalmazzuk az (59.2) képletet, integrálási felületnek valamelyik, az adott érintési ponttól elég távoli hullámfelületet választva. A  10. ábrán ab a fenti hullámfelület metszete, a′b′ a kausztika metszete; a′b′ az ab görbe evolutája. Bennünket az intenzitás eloszlása érdekel a QO sugár és a kausztika O érintési pontjának közelében. Feltételezzük, hogy a QO szakasz D hossza elég nagy. Jelöljük x-szel az O ponttól a kausztika normálisa mentén mért távolságot, mégpedig x értékét azokra a pontokra tekintjük pozitívnak, amelyek a fenti normálison a görbületi középpont felé helyezkednek el.

10. ábra - 10. ábra

10. ábra

(59.2)-ben az integrandus a P pont és a hullámfelület tetszőleges Q′ pontja közti R távolság függvénye. Az evoluta ismert tulajdonsága szerint az O′ ponthoz húzott érintő Q′O′ szakaszának és az O′O ívhossznak az összege megegyezik az O pontban húzott érintő QO szakaszának hosszával. Közel fekvő O és O′ pontok esetén OO′=𝜃ϱ (ϱ a kausztika görbületi sugara az O pontban). Így Q′O′=D–𝜃ϱ. A Q′O távolság (egyenes vonalban) körülbelül (a 𝜃 szöget kicsinek feltételezve):

Q O Q O + ϱ sin 𝜃 = D 𝜃 ϱ + ϱ sin 𝜃 D ϱ 𝜃 3 6 .

Végül az R=Q′P távolság: R≈Q′O–xsin𝜃≈Q′O–x𝜃, vagyis

R D x 𝜃 1 6 ϱ 𝜃 3 .

Ezt a kifejezést (59.2)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

u P + e i k x 𝜃 i k ϱ 6 𝜃 3 d 𝜃 = 2 0 cos k x 𝜃 + k ϱ 6 𝜃 3 d 𝜃 .

(Az integrandusban a lassan változó 1∕D tényező az exponenciális tényezőhöz viszonyítva lényegtelen, és állandónak tekintjük.) Bevezetve ξ=(kϱ∕2)1∕3𝜃 új integrálási változót, az eredmény:

u P Φ x 2 k 2 ϱ 3 ,

ahol Φ(t) az Airy-függvény.[61] Az I∼|uP|2 intenzitásra írhatjuk, hogy

I=2A2k2ϱ16Φ2x2k2ϱ.

(Az állandó szorzótényező megválasztásáról lásd alább.)

Nagy pozitív x értékekre innen a következő aszimptotikus képletet nyerjük:

IA2xexp4x3232k2ϱ,

tehát az intenzitás exponenciálisan csökken (az „árnyék” tartománya). Nagy abszolút értékű negatív x-ekre

I2Axsin22(x)3232k2ϱ+π4,

tehát az intenzitás gyorsan oszcillál; az oszcillációkra átlagolva értéke:

I¯=Ax.

Innen kiderül az A állandó jelentése – ez határozza meg az intenzitást a kausztikától távol, amelyet megkaphattunk volna a geometriai optikából a diffrakció jelenségének figyelembevétele nélkül.

A Φ(t) függvény maximális értéke 0,949, ezt a t=–1,02 pontban veszi fel; ennek megfelelően az intenzitás x(2k2∕ϱ)1∕3=–1,02 esetén a legnagyobb, ekkor

I=2,03Ak13ϱ16.

[A sugár és a kausztika érintési pontjában az intenzitás I=0,89Ak1∕3ϱ–1∕6, mivel Φ(0)=0,629]. Így a kausztika közelében az intenzitás k1∕3-nal, azaz λ–1∕3-nal arányos (λ a hullámhossz). λ→0 esetben az intenzitás végtelenhez tart, amint az várható (vö. az  54. §-sal).



[60] Az egyszerűség kedvéért fényről beszélünk; az alábbiak természetesen tetszőleges elektromágneses hullámokra érvényesek.

[61] A Φ(t) Airy-függvényt a

7.47. egyenlet - (1)

Φ(t)1π0 cosξ33+ξtdξ


integrál határozza meg (lásd a III. kötet Matematikai kiegészítések b §-át). Nagy pozitív t értékekre Φ(t) exponenciálisan csökken a következő aszimptotikus képlet szerint:

7.48. egyenlet - (2)

Φ(t)12t14 exp23t32.


Nagy abszolút értékű negatív t értékekre Φ(t) csökkenő amplitúdóval oszcillál:

7.49. egyenlet - (3)

Φ(t)1(t)14 sin23(t)32+π4.


Az Airy-függvény kifejezhető az 1∕3 rendű Macdonald-függvény (módosított Hankel-függvény) segítségével:

7.50. egyenlet - (4)

Φ(t)=t3πK1323t32.


(2) képlet a Kν(t) függvény

Kν(t)π2tet

aszimptotikus kifejezésének felel meg.