Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

57 §. Leképezés széles sugárnyalábokkal

57 §. Leképezés széles sugárnyalábokkal

Az előző szakaszban tárgyalt, keskeny nyalábok segítségével megvalósított leképezés csak közelítő; a kép annál pontosabb (azaz élesebb), minél keskenyebbek a nyalábok. Vizsgáljuk most meg a tetszőleges szélességű nyalábokkal végzett leképezést.

Keskeny nyalábok segítségével a tárgyakat bármilyen tengelyszimmetrikus optikai rendszeren keresztül leképezhetjük. Ezzel ellentétben széles sugarak esetén erre a célra csak meghatározott módon felépített optikai rendszerek alkalmasak. Mint azt az  56. §-ban már megjegyeztük, még ilyen megszorítások esetén sem lehetséges leképezés a tér minden pontjában.

A további következtetések egy lényeges megjegyzésen alapulnak. Egy O pontból kiinduló összes sugár a rendszeren áthaladva, találkozzék ismét egy O′ pontban. Könnyen belátható, hogy a ψ optikai úthossz minden sugárra ugyanakkora. Valóban, az O és O′ pontok közelében a bennük találkozó sugarak hullámfelületei O, ill. O′ középpontú gömbfelületek, amelyek a pontok felé közeledve, az O, ill. O′ ponttá zsugorodnak. A hullámfelületek mentén viszont a fázis állandó, így a fázisváltozás különböző sugarakon haladva, két adott hullámfelület között ugyanakkora. Ebből következik, hogy az O és O′ pontok között a teljes fázisváltozás is ugyanakkora a különböző sugarakra.

Határozzuk meg egy kis egyenes szakasz széles nyalábokkal való leképzésének feltételeit. A kép ilyenkor szintén egy kis egyenes szakasz. Vegyünk fel egy-egy tengelyt e szakaszok mentén (jelöljük ezeket ξ-vel és ξ′-vel), az O és O′ kezdőpontokat pedig a tárgy és a kép valamely egymásnak megfelelő pontjaiban vegyük fel. Legyen ψ az O-ból induló és O′-be érkező sugarakhoz tartozó optikai úthossz. Az O ponthoz végtelenül közeli, dξ koordinátájú pontból kiinduló és a kép dξ′ koordinátájú pontjában találkozó sugarakra az optikai úthossz ψ+dψ, ahol

d ψ = ψ ξ d ξ + ψ ξ d ξ .

Vezessük be a leképezés „nagyítását”:

α ξ = d ξ d ξ

mint a kép dξ′és a tárgy dξ hosszelemeinek hányadosát. Minthogy a leképezett szakasz kicsi, az α nagyítást állandónak vehetjük a szakasz mentén. A szokásos módon, ∂ψ∕∂ξ=–nξ, ∂ψ∕∂ξ′=nξ′ (nξ, nξ′ a sugárirányok és a ξ, ill ξ′ tengelyek által bezárt szögek koszinuszai), így

d ψ = ( α n ξ n ξ ) d ξ .

Éppúgy mint a tárgy és a kép tetszőleges, egymásnak megfelelő két pontjára, itt is fennáll, hogy a dξ koordinátájú pontból kiinduló és a dξ′ pontba érkező minden sugárra a ψ+dψ optikai úthossz ugyanakkora. Ebből a következő feltételt kapjuk:

7.35. egyenlet - (57.1)

α ξ n ξ n ξ = c o n s t .

Ez a keresett feltétel, amelynek az optikai rendszerben haladó sugaraknak eleget kell tenniük kis egyenes szakasz széles nyalábok segítségével megvalósított leképezésekor. Az (57.1) feltételnek az O pontból kiinduló minden sugárra teljesülnie kell.

Alkalmazzuk most a kapott feltételt tengelyszimmetrikus optikai rendszer segítségével történő leképezésre.

Vizsgáljuk először az optikai tengelyen (az x tengelyen) fekvő egyenes szakasz leképezését. Szimmetriamegfontolásokból nyilvánvaló, hogy a kép is a tengelyen lesz. Az optikai tengely mentén haladó sugár (nx=1) a tengelyszimmetria miatt a rendszeren áthaladva nem változtatja meg az irányát, vagyis nx′=1. Ebből következik, hogy az (57.1) jobb oldalán szereplő állandó az adott esetben αx–1, és így (57.1)-et a következő alakba írhatjuk:

1 n x 1 n x = α x .

𝜃-val és 𝜃′-vel jelölve egy sugár és az optikai tengely által bezárt szöget, a tárgy és a kép pontjaiban:

1 n x = 1 cos 𝜃 = 2 sin 2 𝜃 2 , 1 n x = 2 sin 2 𝜃 2 .

Így a leképezés feltétele:

7.36. egyenlet - (57.2)

sin 𝜃 2 sin 𝜃 2 = c o n s t = α x .

Tekintsük továbbá a tengelyszimmetrikus rendszer optikai tengelyére merőleges, kis felületelem leképezését. A kép nyilvánvalóan szintén merőleges lesz a tengelyre (57.1)-et a leképezendő felületen fekvő tetszőleges szakaszra alkalmazva, azt kapjuk, hogy

α r sin 𝜃 sin 𝜃 = c o n s t ,

ahol 𝜃 és 𝜃′ továbbra is a sugár és az optikai tengely által bezárt szögek. A leképezendő sík és az optikai tengely metszéspontjából kiinduló és a tengely mentén (𝜃=0) haladó sugárra a szimmetria miatt 𝜃′=0. Így const=0, tehát a leképezés feltétele:

7.37. egyenlet - (57.3)

sin 𝜃 sin 𝜃 = c o n s t = α r .

Könnyen belátható, hogy háromdimenziós tárgyak széles nyalábokkal akkor sem képezhetők le, ha a tárgy térfogata kicsi, mivel az (57.2) és (57.3) feltételek nem egyeztethetők össze.