Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

55 §. Szögeikonál

55 §. Szögeikonál

Ha a vákuumban terjedő fénysugár valamilyen átlátszó anyagon megy keresztül, akkor iránya az áthaladás után általában más lesz, mint az eredeti. Ennek mértéke természetesen függ az adott test konkrét tulajdonságaitól és alakjától. Általános törvényeket is le lehet azonban vezetni tetszőleges közegen való áthaladás esetére. Azt kell csak feltételeznünk, hogy a vizsgált testen keresztül terjedő sugarakra érvényes a geometriai optika. Az ilyen átlátszó testeket, amelyeken fénysugarakat bocsátanak keresztül, optikai rendszereknek fogjuk nevezni.

Az  53. §-ban megemlítettük, hogy a sugarak terjedése és a részecskék mozgása egymással analóg, ezért ugyanazok az általános törvények érvényesek olyan részecskék irányváltoztatására, amelyek kezdetben egyenes vonalú mozgást végeznek vákuumban, majd valamilyen elektromágneses téren áthaladva, újra vákuumba jutnak. A határozottság kedvéért azonban a továbbiakban fénysugarak terjedéséről beszélünk.

Láttuk, hogy a sugarak terjedését meghatározó eikonál-egyenlet (adott frekvenciájú fényre) (53.11) alakban írható. A továbbiakban az ω∕c állandóval osztott ψ0 eikonált ψ-vel jelöljük. Ekkor a geometriai optika alapegyenlete a következő alakot ölti:

7.17. egyenlet - (55.1)

( ψ ) 2 = 1 .

A fenti egyenlet bármely megoldása valamilyen sugárnyalábot ír le; a tér adott pontján átmenő sugár irányát ψ gradiensének ebben a pontban felvett értéke határozza meg. A mi céljainkra azonban ez a leírás nem kielégítő, mivel nem egyetlen sugárnyalábnak, hanem tetszőleges sugaraknak az áthaladását leíró általános összefüggéseket keresünk. Így olyan alakú eikonált kell használnunk, amellyel tetszőleges, vagyis a tér bármely két pontján áthaladó sugarakat le lehet írni. A szokásos alakjában a ψ(r) eikonál egy adott nyalábban az r ponton áthaladó sugár fázisa. Most az eikonált ψ(r,r′) alakban két pont függvényeként kell felírnunk (r, r′ a sugár kezdő- és végpontjának helyvektorai). Bármely r, r′ pontpáron keresztül vezethetünk egy sugarat, ψ(r,r′) a sugár fáziskülönbsége az r és r′ pontok között (más szóval az optikai úthossz). A továbbiakban r és r′ a sugárnak az optikai rendszeren való áthaladása előtti és utáni pontjaira vonatkoznak.

Ha ψ(r,r′)-ben az egyik helyzetvektort, mondjuk r′-t adottnak tekintjük, akkor r függvényében ψ egy adott sugárnyalábot ír le, mégpedig azt, amely az r′ ponton áthaladó sugarakból áll. Így ψ szükségképpen kielégíti az (55.1) egyenletet, amelyben r szerint kell deriválni. Ha r-et tekintjük adottnak, akkor hasonló módon még egy egyenletet kapunk ψ(r,r′)-re, tehát

7.18. egyenlet - (55.2)

( r ψ ) 2 = 1 , ( r ψ ) 2 = 1 .

A sugár irányát fázisának a gradiense határozza meg. Mivel ψ(r,r′) az r′és r pontok fáziskülönbsége, így a sugár irányát r′ pontban az n′=∂ψ∕∂r′, az r pontban pedig az n=–∂ψ∕∂r vektorok adják meg. (55.2)-ből látható, hogy ezek egységvektorok:

7.19. egyenlet - (55.3)

n 2 = n 2 = 1 .

Az r, r′, n, n′ vektorok között bizonyos összefüggések állnak fenn, mivel közülük kettő (n, n′) egy ψ függvénynek a másik kettő szerinti deriváltja. Ami a ψ függvényt illeti, az eleget tesz az(55.2) kiegészítő feltételeknek.

Az n, n′, r, r′összefüggéseinek levezetéséhez célszerű ψ helyett egy olyan mennyiséget bevezetni, amelyet nem korlátoznak kiegészítő feltételek (vagyis nem kell valamilyen differenciálegyenletnek eleget tennie). Ezt a következőképpen tehetjük meg. A ψ függvényben r és r′ a független változók, és így a dψ differenciál:

d ψ = ψ r d r + ψ r d r = n d r + n d r .

Vezessük be most új független változóként az n, n′ vektorokat r, r′ helyett Legendre-transzformáció segítségével, azaz alakítsuk át a fenti differenciált:

d ψ = d ( n r ) + r d n + d ( n r ) r d n ,

ahonnan a

7.20. egyenlet - (55.4)

χ = n r n r ψ ,

függvényt bevezetve, azt kapjuk, hogy

7.21. egyenlet - (55.5)

d χ = r d n r d n .

A χ függvényt szögeikonálnak nevezzük; amint (55.5)-ből látható, ebben n és n′ a független változók. A χ-t már nem korlátozzák kiegészítő feltételek. Valóban, az (55.3) egyenletek most csak a független változókra tartalmaznak megszorításokat. Ezek következtében az n vektor (és hasonlóan az n′ vektor) három komponense, nx, ny, nz közül csak kettő független. A továbbiakban független változókként az ny, nz, ny′, nz′ komponenseket választjuk, így

nx=1ny2nz2,nx=1ny2nz2.

Ha ezeket behelyettesítjük a

dχ=xdnxydnyzdnz+xdnx+ydny+zdn

kifejezésbe, a dχ differenciálra az adódik, hogy

dχ=ynynxxdnyznznxxdnz+ynynxxdny+znnxxdnz.

Ebből a következő egyenleteket kapjuk:

7.22. egyenlet - (55.6)

y n y n x x = χ n y , z n z n x x = χ n z , y n y n x x = χ n y , z n n x x = χ n z .

Ezek megadják a keresett általános összefüggését n, n′, r, r′ között. Az χ függvény annak a testnek a konkrét tulajdonságait jellemzi, amelyen a sugarak áthaladnak (töltött részecskék mozgása esetén pedig az elektromágneses tér tulajdonságait).

Adott n és n′ mellett (55.6)-ban a két egyenletpár két egyenest határoz meg. Ezek az egyenesek az optikai rendszeren való áthaladás előtti és utáni fénysugarak. Tehát az (55.6) egyenletek közvetlenül megadják a sugarak menetét az optikai rendszer mindkét oldalán.