Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

54 §. Intenzitás

54 §. Intenzitás

Az előzőek szerint a geometriai optikában a fényt sugárnyalábnak tekinthetjük. A sugarak azonban önmagukban csak azt határozzák meg, hogy az egyes pontokban mi a fény terjedési iránya. Számot kell még adnunk a fény intenzitáseloszlásáról is.

Jelöljünk ki az adott sugárnyaláb valamelyik hullámfelületén egy végtelen kis felületelemet. A differenciálgeometriából ismeretes, hogy egy felület minden pontjához tartozik két, általában különböző fő görbületi sugár. Az adott felületelem főköreinek megfelelő kis részei legyenek ac és bd (7. ábra). Ekkor az a és c pontokon átmenő sugarak az O1 a b és d pontokon átmenő sugarak az O2 görbületi középpontban metszik egymást.

7. ábra - 7. ábra

7. ábra

Ha az O1-ből, ill. O2-ből kiinduló sugarak nyílásszöge adott, akkor az ac és bd szakaszok hossza arányos az R1 és R2 görbületi sugarakkal (vagyis az O1O és O2O távolságokkal); a felületelem nagysága arányos az ac és bd hosszak szorzatával,vagyis R1R2-vel. Más szóval, ha adott sugarak által határolt hullámfelületet tekintünk, akkor a sugarak mentén haladva, a felületelem nagysága R1R2-vel arányosan változik.

Másrészről viszont az intenzitás, vagyis az energiaáram sűrűsége fordítottan arányos annak a felületnek a nagyságával, amelyen az adott mennyiségű fényenergia átáramlik. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az intenzitás:

7.14. egyenlet - (54.1)

I = c o n s t R 1 R 2 .

Ezt a képletet a következőképpen kell értelmezni. Bármelyik adott sugáron (AB7. ábrán) létezik két olyan pont, O1 és O2, amelyek az adott sugarat metsző bármely hullámfelületnek görbületi középpontjai. A hullámfelület és a sugár O metszéspontjának az O1, ill. O2 pontoktól mért OO1, ill. OO2 távolságai megadják az adott hullámfelület O pontjához tartozó R1, R2 görbületi sugarakat. Így az (54.1) képlet meghatározza a fény intenzitásának változását egy adott sugár mentén bizonyos, a sugáron elhelyezkedő pontoktól mért távolságok függvényeként. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a fenti képlet segítségével nem hasonlíthatjuk össze az intenzitásokat egy hullámfelület különböző pontjaiban.

Mivel az intenzitást a térerősség abszolút értékének négyzete adja meg, maga a térerősség egy adott sugár mentén az

7.15. egyenlet - (54.2)

f = c o n s t R 1 R 2 e i k R

képlet szerint változik, ahol az eikR fázisszorzóban R jelentheti az R1, R2 távolságok bármelyikét; az eikR1 és eikR2 mennyiségek (az adott sugárra) csak egy állandó szorzótényezőben térnek el egymástól, mivel a két görbületi középpont távolsága, az R1–R2 különbség állandó.

Ha a hullámfelület két görbületi sugara egybeesik, akkor az (54.1) és (54.2) képletek a következő alakot öltik:

7.16. egyenlet - (54.3)

I = c o n s t R 2 , f = c o n s t R e i k R .

Ez a többi között mindazokban az esetekben fennáll, amikor a fényt pontszerű forrás bocsátja ki (a hullámfelületek ekkor koncentrikus gömbök, R pedig a fényforrástól mért távolság).

(54.1)-ből látható, hogy az intenzitás végtelenné válik az R1=0, R2=0 pontokban, vagyis a hullámfelületek görbületi középpontjaiban. Ezt a nyalábban levő összes sugarakra alkalmazva, azt kapjuk, hogy a fény intenzitása az adott nyalábban általában két felületen – a hullámfelület görbületi középpontjainak mértani helyén – végtelenné válik. Ezeket a felületeket kausztikáknak nevezik. Ha a sugárnyaláb hullámfelületei gömbfelületek, akkor a két kausztika egyetlen ponttá olvad össze (fókusz).

Megjegyezzük, hogy – egy felületsereg görbületi középpontjainak mértani helyére vonatkozó, a differenciálgeometriából ismert állítás szerint – a sugarak érintik a kausztikákat.

Előfordulhat, hogy (domború hullámfelületek esetén) a hullámfelületek görbületi középpontjai nem magukon a sugarakon, hanem azoknak az őket létrehozó optikai rendszeren túlnyúló meghosszabbításain fekszenek. Ilyen esetekben képzetes kausztikákról (vagy képzetes fókuszokról) beszélünk. A fény intenzitása ekkor sehol sem végtelen.

Ami az intenzitás végtelenné válását illeti, a valóságban természetesen a fény intenzitásé a kausztikákon nagy lesz, de véges marad (lásd az  59. § feladatát). A formális végtelenné válás azt jelenti, hogy a geometriai optika a kausztikák közelében nem alkalmazható. Ezzel a körülménnyel függ össze az is, hogy a fázis változását egy sugár mentén az (54.2) képlet csak a sugárnak a kausztikákkal való érintési pontjait nem tartalmazó tartományban írja le helyesen. A későbbiekben (az  59. §-ban) megmutatjuk, hogy a valóságban a kausztika mellett elhaladva, a tér fázisa π∕2-vel csökken. Ez azt jelenti, hogy ha a sugár mentén az első kausztikával való érintési pontig a tér eikx-szel arányos (x a sugár menti koordináta), akkor a kausztika melletti elhaladás után ei(kx–π∕2)-vel lesz arányos. Ugyanez történik a második kausztikával való érintési pont közelében, ezután a tér ei(kx–π)-vel lesz arányos.[54]



[54] Bár az (54.2) képlet nem érvényes a kausztikák közelében, ez a fázisváltozás formálisan annak felel meg, hogy a fenti képletben R1 vagy R2 előjelét megváltoztatjuk (azaz eiπ-vel szorozzuk őket).